新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测（十六） 奇偶性

课时跟踪检测(十六)奇偶性

A级——学考合格性考试达标练

1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()

解析：选B选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图

象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y

轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B.

2.函数/(x)=呈一x的图象()

A.关于y轴对称B.关于直线y=x对称

C.关于坐标原点对称D.关于直线y=-x对称

解析：选C二/⑺的定义域为(一8,0)U(0,+8),关于原点对称，且大一对=一!一

(―X)=X——f(x)9.7危0是奇函数，图象关于原点对称.

3.若川口二“^+公+以.#。)是偶函数，则g(x)=ax3+8x2+cx是()

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

解析：选A因为｛X)=OX2+B尤+c(“WO)是偶函数，所以由大一工)=八尤)，得Z>=0.所以

g(x)=ax3+cx.

所以g(—x)=a(—x)3+c(—x)=—g(x),

所以g(x)为奇函数.

4.如果奇函数/(x)的区间［-7,-3］上是减函数且最大值为5,那么函数/(%)在区间［3,

7］上是()

A.增函数且最小值为一5B.增函数且最大值为一5

C.减函数且最小值为一5D.减函数且最大值为一5

解析：选C/>)为奇函数，."U)在［3,7］上的单调性与［-7,—3］上一致，且八7)为

最小值.又已知八一7)=5,：.f(,7)=-f(-7)=-5,选C.

5.设/(X)是R上的偶函数，且在［0,+8)上单调递增，则/(-2),/(一“)，/(3)的大小

顺序是()

A.f(-n

B./Jn)>f(-2)>f(3)

C.f(3)>f(-2)>f(~n)

D.

解析：选A是R上的偶函数，

又｛x)在［0,+8)上单调递增，且2<3<TT,

.•.八n)>f(3)>f(2),即f(-n)>f(3)>f(-2).

6.已知函数八x)是定义在R上的奇函数，当xG(—8,0)时，八用=2*3+丫2,则直2)=

解析：由已知得，八一2)=2X(—2户+(—2尸=-12,

又函数/U)是奇函数，所以1A2)=—八-2)=12.

答案：12

7.已知函数｛x)为偶函数，且当丫<0时，f(x)=x+l,贝！Ix>0时，f(x)=.

解析：当x>0时，一x<0,x)=—x+1,又I/(x)为偶函数，.*./(x)=—x+1.

答案：一无+1

8.若定义在(一1,1)上的奇函数/(©=寿*p则常数m,〃的值分别为.

解析：由已知得｛0)=0,故机=0.

由犬工)是奇函数，知八一X)=一八幻，

-x+0x+O

P“2—x2+nx+l,

Ax2-nx+l=x2+nx+l,.\n=0.

答案：0,0

9.(1)如图①，给出奇函数y=Ax)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出｛3)的值.

1

-3-2-1~,l1r0123

-2

-3

①②

(2)如图②，给出偶函数y=/(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较/(I)与/(3)

的大小.

解：(1)奇函数在y轴左侧图象上任一点P(-x,—/(一X))关于原点的对称点为

P'(x,Ax)),图③为图①补充后的图象，易知｛3)=-2.

f

(2)偶函数y=/(x)在y轴左侧图象上任一点P(一",八—x))关于y轴对称点为P(xff(x))9

图④为图②补充后的图象，易知人1)次3).

10.设函数/(x)是R上的奇函数，当x20时，1Ax)=/+4元

⑴求/(x)的表达式；

(2)证明兀r)在区间(0,+8)上是增函数.

解：(1)当X<0时，-X>0,所以八一x)=(-X)2+4(—丫)=丫2—4x.

因为人x)是奇函数，所以八一x)=-/U),

所以f(x)=—f(—x)=­(/-4x)=-x2+4x(x<0).

x2+4x,x20,

所以/(x)=

—x2+4x,x<0.

(2)证明：设任意的Xl,X2G(0,+°°),且X1<X2,贝

f(X2)­f(xi)=(冠+4X2)—(xi+4xi)=(X2—Xi)-(X2+X1+4).

因为0<Xl<X2,所以*2—Xl>0,X2+XI+4>0,

所以/te)-«Xl)>0,所以｛Xl)勺i>2),

所以/(x)是(0,+8)上的增函数.

B级—面向全国卷高考高分练

1.(2019•宁波高一检测)已知八*)=丫5+。*3+公一83,B是常数)，且八一3)=5,贝(1八3)

=()

A.21B.-21

C.26D.-26

解析：选B设80)=X5+依3+必，则g(x)为奇函数.由题设可得八-3)=g(—3)—8

=5,得g(—3)=13.又g(x)为奇函数，所以g(3)=—g(—3)=-13,于是八3)=g(3)—8=—

13-8=-21.

2.设兀r)是R上的偶函数，且在(0,+8)上是减函数，若不<0且xi+*2>0,贝!1()

A./(—X2)

B.f(—Xi)—f(—X2)

c.f(—Xl)<f(—X2)

D.八一Xl)与八一X2)的大小关系不确定

解析：选A因为*2>—xi>0,1Ax)在(0,+8)上是减函数，所以八通)勺(一x1).

又ZU)是R上的偶函数，所以八一X2)=1Ax2),

所以人—工2)勺(一Xl).

3.(2019•开封高一检测)设於)为偶函数，且在区间(一8,0)内是增函数，|-2)=0,

则研*0的解集为()

A.(-1,0)U(2,+00)

B.(-8,-2)U(0,2)

C.(-2,0)U(2,+8)

D.(-2,0)U(0,2)

解析：选C根据题意，偶函数/(x)在(-8,0)上为增函数，且八-2)=0,

则函数八x)在(0,+8)上为减函数，且八一2)=八2)=0,作出函,

数/U)的草图如图所示，

/

又由项X)<0,/Z2-'lOi\\3J

x>0,[x<0,9[、

可得,、或,、

f(x)<0\f(x)>0,

由图可得一2<x<0或x>2,

即不等式的解集为(-2,0)U(2,+0°).故选C.

4.函数/(X)在(-8,+8)单调递减，且为奇函数.若犬1)=-1,则满足一l《/a-2)Wl

的X的取值范围是()

A.[-2,2]D.[-1,1]

C.[0,4]D.[1,3]

解析：选D•.•/(X)为奇函数，x)=—_/(x).

故由-2)W1,

得八1)W1/U-2)W八一1).

又｛x)在(-8,+8)单调递减，

.KW3.

5.设奇函数/(x)的定义域为[-6,6],当xW[0,6]时/(x)的图象如y

图所示，不等式八*)<0的解集用区间表示为.

解析：由/U)在[0,6]上的图象知，满足八©<0的不等式的解集中7U

为(0,3).又/U)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[-6,0)上，不等式八用<0的解集

为(一6,-3).综上可知，不等式_/U)<0的解集为(-6,-3)U(0,3).

答案：(-6,—3)U(0,3)

6.若fix)=(m-l)x2+6mx+2是偶函数,则人0),加,八一2)从小到大的排列是

解析：；/U)是偶函数，

...八一X)=/(*)恒成立，

即(加-1)/—6/nx+2=(，"-1)/+6»1*+2恒成立，

，”=0,即/(x)=—x2+2.

••VU)的图象开口向下，对称轴为y轴，在［0,+8)上单调递减,

又•••八幻=一/+2为偶函数，

即八一2)勺Q)勺(0).

答案：/(-2)</(1)</(0)

mx~\-1

7.已知函数/(*)=彳不/是R上的偶函数.

⑴求实数m的值；

⑵判断函数/(尤)在(一8,(J］上的单调性；

⑶求函数/(x)在［-3,2］上的最大值与最小值.

mx~\~1

解：⑴若函数作:)=于彳■是R上的偶函数，

…m(-x)+1mx+1

则/(一%)=力>)，即1+(_*)2=不后

解得m=0.

(2)函数八x)在(一8,0］上单调递增.理由如下：

由(1)知八》)=不占，

设任意的X1,刈€(—8,0］,且Xi<X2,

则/Ui)-/U2)=错误！一错误！=错误！=错误!.

因为XIVQWO,所以*2+XI<0,X2—XJ>0,(1+xf)(l+xl)>0,

所以｛Xl)</(X2),

所以函数7U)在(-8,o］上单调递增.

(3)由(2)知函数_/U)在(-8,0］上是增函数.

又/(x)是R上的偶函数，

所以/(X)在(0,+8)上为减函数，

所以人X)在［-3,0］上为增函数，在［0,2］上为减函数，

又人-3)=击，犬0)=1,/(2)=|,

所以兀*»”=1/(0)=1,1AX)min=/(-3)=土.

C级—拓展探索性题目应用练

已知函数/U)=x2-/nx(/n>0)在区间［0,2］上的最小值为g(m).

(1)求函数g(»i)的解析式；

(2)定义在(-