2023-2024学年湖南省岳阳一中等多校高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省岳阳一中等多校高二（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=(1−i)2，则|z+2iA.5 B.52 C.42.已知集合A={x|x2+2x−8<0}，B={x||x|≤2}，则A∩B=A.(−4,−2) B.(−2,2) C.[−2,2) D.[−2,2]3.已知变量x，y的部分数据如下表，由表中数据得x，y之间的经验回归方程为y=0.8x+a，现有一测量数据为(35,n)，若该数据的残差为1.2，则x21232527y15181920A.25.6 B.28 C.29.2 D.24.44.若直线x+y+2=0与圆M：(x−a)2+(y−a)2=8A.2 B.4 C.22 5.已知向量a=(2,y),b=(x−1,1),a⊥bA.2+2 B.22−1 6.从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(B|A)=(

)A.34 B.56 C.677.已知函数f(x)在R上单调递增，且f(x+1)是奇函数，则满足(x2−4)f(x)>0的x的取值范围是A.(0,1)∪(2,+∞) B.(−∞,0)∪(2,+∞)

C.(−2,1)∪(2,+∞) D.(0,2)8.若不等式lnx−ax2+x+lna≤0在[1,+∞)上恒成立，则a的最小值为A.1e B.1e C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)，对任意实数x都有f(x)≤|f(π8A.f(x)的最小正周期为π2 B.φ=π4

C.f(x)的图象关于x=π4对称 10.设数列{an}的前n项和为Sn，已知aA.若a=1，则{an}为等差数列

B.若a=−1，则S2024=2024

C.若a=1，则{Snn}是公差为−211.已知抛物线C：y=4x2的焦点为F，A，B为C上的两点，过A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线AB的斜率为kA.C的准线方程为y=−1

B.k1，k3，k2成等差数列

C.若P在C的准线上，则k1k2=−1

D.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−2x)13.已知O为坐标原点，若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上存在两点A14.已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在数列{an}中，已知a1=1,1an+1=2an+1．16.(本小题15分)

近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：体育运动时长小于1小时体育运动时长大于或等于1小时合计近视4无近视2合计(1)请完成上表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？

(2)为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量X为体育运动时长小于1小时的人数，求X的分布列和数学期望，

附：α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82参考公式：χ2=n(ad−bc)17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面ADP，AB/​/CD，CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点．

(1)证明：AE⊥PC；

(2)若PA=3AB，求平面PBC与平面ABE夹角的正弦值．18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点P(0,1)，且△PF1F2为等腰直角三角形．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点Q为C上的一个动点，求△PF19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ln(ex2+e−x2)+x2+4b4有两个零点．

(1)求b的取值范围；

(2)答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.C

6.A

7.C

8.C

9.BD

10.ABD

11.BCD

12.112

13.(214.(3+215.(1)证明：由1an+1=2an+1，得1an+1+1=2(1an+1)，

又∵1a1+1=2≠0，

∴数列{1an+1}是首项为2，公比为2的等比数列；

(2)解：由(1)知数列{1an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴1an+1=2⋅2n−1，即1an=2n−116.解：(1)某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，

则列联表如下：体育运动时长小于1小时体育运动时长大于或等于1小时合计近视8412无近视23638合计104050零假设H0：学生是否近视与体育运动时长无关，

χ2=50×(8×36−2×4)212×38×10×40=122557≈21.491>10.828，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充分证据推断出H0成立，

因此可以认为H0不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关；

(2)X的可能取值为0，1，2，3，

P(X=0)=CX0123P1122814E(X)=0×15517.解：(1)证明：由于△ADP是等边三角形，E为DP的中点，

故AE是等边△ADP的中线，则AE⊥PD，

又因为CD⊥平面ADP，AE⊂平面ADP内，可得CD⊥AE，

且CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PDC，可得AE⊥平面PDC，

由PC⊂平面PDC，所以AE⊥PC．

(2)取PC的中点F，连接EF，BF，

因为E是PD的中点，可知EF是三角形PCD的中位线，故EF//CD，

因为CD⊥平面ADP，EF//CD，

所以EF⊥平面ADP，即EA，EF，EP三线两两垂直，

以E为坐标原点，EP,EA,EF的方向分别为x，y，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，

则由CD=4，AB=2，EF=12CD=2，EP=ED=12PD=12PA=3，

则EA=PA2−EP2=36−9=33，

可得P(3,0,0)，B(0,33,2)，C(−3,0,4)，

则PB=(−3,33,2)，PC=(−6,0,4)，

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)18.解：(1)设椭圆C的焦距为2c，

因为椭圆C的离心率为12，点P(0,1)，且△PF1F2为等腰直角三角形，

所以c=1ca=12a2=b2+c2，

解得a=2，b=3，c=1，

则椭圆C的标准方程为x24+y23=1；

(2)易知F2(1,0)，直线PF2的斜率为−1，且|PF2|=2，

设直线PF2的方程为y=−x+m，

联立y=−x+mx24+y23=1，消去y并整理得7x2−8mx+4m2−12=0，

令Δ=64m2−4×7×(4m2−12)=0，

解得m2=7，

当m=7时，直线y=−x+7与直线PF2：y=−x+1的距离为7−12，

所以△PF2Q的面积为12×2×7−12=7−12，

当m=−7时，直线y=−x−7与直线PF2：y=−x+1的距离为7+12，

所以△PF2Q的面积为119.解：(1)∵f(x)=ln(ex2+e−x2)+x2+4b4，定义域为R，

又f(−x)=ln(e−x2+e−−x2)+(−x)2+4b4=ln(ex2+e−x2