高等数学同步练习册

高等数学同步练习册

（第一册）

主审邱顺大

主编庄小红参编向莹

常州机电职业技术学院

第一章预备知识

一、单项选择题

1.已知A(5,?、B(5,_$、C(—5,—至、D(—5,学,则P这四个点()

(A)在同--条直线上(B)A与C重合

(C)A与D关于极轴对称(D)在同一个圆上

2.曲线p=2和p=4sin(p的交点个数是()

(A)1个(B)2个(C)无数个(D)零个

3.复数a+bi(a,bGR)的平方是纯虚数的条件等价于()

(A)a2+b2=0(B)a2-b2=0(C)a=bw0(D)a=b|0

4.圾mw—1时，复数(n?—3m+2)+(m2-5m—6)i是()

(A)实数(B)虚数(C)纯虚数(D)不能确定

TTTV

5.复数sinicos乙的模是()

66

(D)逅

(A)-(B)1(C)—

422

6.下列每一组数中两个都是实数的是()

(A)Z+Z与与z-z(B)Z+Z与与z・z

(C)z-z与与］(D)z・z与与］

ZZ

二、填空题

1.已知点M的极坐标为(3,1)，则点M的直角坐标为.

2.已知点N的直角坐标为(4,-4),则点N的极坐标为.

3.极坐标方程p=a(a>0)的图象是，极坐标方程甲=a的图象

是

4.曲线x2+y2=4x的极坐标方程是.

5.|3+4i|=,(1+i)4-(1-i)=.

7.如果z=-2+i,则5=，方程x2=—4的解为

8.方程x2+ax+b=0的一个根1+i,则a=,b=.

,n

9.复数e工的三角形式为,极坐标形式为.

10.复数-1+.后的三角形式为；极坐标形式为.

三、澹

1.[3(cosl8°+isin!80)]52.(g+孚

3.四+9：4.3屋久岳若

1-i1+i

四、已知x,,y是实数，且x+y—30—xyi和60i—|x+yi|是共知复数，求x和y的值.

五、解方程X?—2x+10=0

第二章函数、极限和连续

一、单项选择题

1x1

1.设/(x)=U，则lim/(x)是()

X

(A)1(B)-1(C)不存在(D)0

lx-11

2.设J(x)=!——!,则lim/(x)是()

X-l—

(A)1(B)-1(C)不存在(D)0

3.3知函数/(九)在邓处连续,则lim/(冗)=()

I/

(A)邓(B)f(x)(C)/(x0)(D)f'(x)

2

4.lim(l+3x)A=()

XTO

(A)1(B)e6(C)e2(D)oo

5.lim(x+2严=()

XT-1

(A)1(B)e(C)-(D)oo

e

6.函数/(x)在/处连续是lim/(x)存在的()

XfX。

（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）以上都不对

7.若/(x)=e贝=l是/（x）的)

(A)连续点(B)跳跃间断点（C）可去间断点（D）无穷间断点

8.以下结论正确的是（)

tan5xlimx2sin」=1

(A)lim-----=5(B)

KTOxXT。X2

sinx[..sinx-tanx八

(C)lim----=1(D)lim----7-----=0

XT8xiosinx

sin3x

9.设函数/(x)=<x在X=O处连续，则4=()

ax=0

(A)-1(B)1(C)2(D)3

10.lime~xsinx=()

A->+oO

(A)0(B)1(C)00(D)不存在

「sinx

11.lim----()

203x

1

(A)1(B)3(C)(D)0

3

12.设y=21则y'为()

1

(A)xln2(B)(C)2vln2(D)x2x-l

xln2

13.设a(x)与"x)都为x->0时的无穷小量，且lim迫=1,贝U()

1。£(x)

(A)当x-0时，A(x)是比a(x)高阶的无穷小量

(B)当x-0时，夕(x)是比a(x)低阶的无穷小量

(C)当X-0时，〃(x)是比a(x)同阶的无穷小量

(D)当尤f0时,夕(尤)与a(x)是等价无穷小

14.卜列各式正确的是()

(A)lim(l+-)A+l=e(B)lim(l+-)Jt+l=1

-8XI00X

(C)lim(l+-)t+l=0(D)lim(l+-)f+1=2

mmXXf8X

x2—4

15.x=-2是函数/(x)=------的()

x+2

(A)无穷间断点(B)跳跃间断点(C)第二类间断点(D)可去间断点

16.下列各式正确的是()

(A)lim(l+-)x+1(B)lim(l+-)x+1=1

XT8XXT8%

,、一sinx.,、「sinx

(C)hm------=1(D)lim------=e

XT8%A-»0X

sin2xxw。

17.设函数/(x)=X在X=0处连续，则4=()

x=0

(A)—1(B)1(C)2(D)3

x—2

18.函数/(x)=————的间断点是()

x_x~_2x

(A)x=0,x=—1(B)x=0,x=-l,x=2

(C)x=0,x=2(D)x=l,x=2

19.函数〃x)=3—的间断点是()

x'—2x"-3x

(A)x=0,x=-1(B)x=0,x=-l,x=3

(C)x=0,x=3(D)x=l,x=3

20.在给定过程中是无穷小为()

,、sinx八/、cosX

(A),x―0(B)------,xfoo

XX

X

(C)-------8(D),x—0

COSXsinx

1

21.limex~^=()

Xf1

(A)1(B)不存在但不为00(C)00(D)0

22.函数y=[arctan(3x+2)f的复合过程是()

22

(A)y=u=arctan(3x+2)(B)y=u,u=arcv.v=tan(3x+2)

22

(C)y=u,w=arctanv,v=3x+2(D)y=arctan〃，〃=3x+2

二、填空题

1.函数y=1g2arccosx的复合过程为

2.函数y=arctan(x2+1)2的复合过程为.

3.函数y=lg2(l+/)的复合过程为.

4.函数y=Intan2x的复合过程为—

5.函数y=1.+ln(2x-5)的定义域__________________.

VX2-x—6

6.函数y=「+ln(3x-5)的定义域为__________________.

Vx~+x-6

1_丫I-----

7.函数/(x)=ln--+V1-X2的定义域为.

14-X

.11...sin3x

8.lizm(x-sin—+—•sinxx)=_______；lim------=___________.

xXXT°%

公、几-x1/、sinx

9.如(x)=xsin—,g(x)=---.求：

xx

lim/(x)=；lim/(x)=.

x->0x->oo

limg(x)=；limg(x)=.

,r->0x-><x>

21

10.lim(l+r)/=____________；limxsin-=_____________.

/->0x->oox

+x—2

11.lim---------

—x2-1

12.如果函数y=/(x)在点处连续，那么极限limb(x)-f(xo)]=

三、求下列极限

1.2.lim(x•sin—+尤-----)

2

—x-1XT°xsinx

3.lim(x+2产4.lime~xsinx

Xf—1XT+oO

/一1

5.lim6.lim(l+-)x

XTlx—1A-X»X

7.lim(l+-)-x8.lime~xcosx

SX,r->+oo

sin3x

9.lim无三^10.lim-------

20sinx3°sinx

11.12.lim」T

TX-4ix-3x+2

13.limlJn』+2—[x--2)14.lim(^^)A+,

A->®xtb2x+5

15.lim三三16.lim(必二!■产

xf-2无+2—3x+l

..Jx+1-1

18.lim-----------

sinxtanxXT°X

1-cosx2

19.lim20.lim(4x2-3x+7)

x->0x2XT2

(3、*

21.lim1—

IX)

单元测验

(90分钟内完成)

一、单项选择题

TT

1.函数sin(2x+1)的周期是()

7t

(A)4万(B)2万(C)兀(D)一

2

2.若limf(x)=lim/(x)二：A,则下列说法中正确的是()

+

x—>x0x—>x0-

(A)/(x)在/处有定义(B)/*)在/处连续

(C)/(x0)=A(D)lim/(x)=A

/—4

3.函数/(x)=-----在()变化过程中为无穷大量.

x(x-2)

(A)x-0(B)x->2(C)X—>4-00(D)X—>-oo

4.函数/(x)=xsin，在点x=0处

()

x

(A)有定义且有极限(B)无定义但有极限

(C)有定义但无极限(D)既无定义又无极限

当x20时;

5.如果/(%)=«那么lim/(x)是()

X+1当x<0时,

(A)0(B)1(C)0或1(D)不存在

2-1

6.lim(l-x)”=()

(A)1(B)e(C)e''(D)e2

e~x-1

7.lim-~—=()

A>。sinx

(A)0(B)1(C)oo(D)-1

8.当X10时与jm-JK等价的无穷小量是()

(A)2x2(B)2x(C)x2(D)x

二、填空题

1.函数y=Insin2x的复合过程为

2.已知a.b为常数，lim""+""+!=4,则a=______;b-________

〃T82n+3

3.如果函数y=/(x)在点/处连续，那么极限lim"(x)-〃/)]二—

I/

4.设/(x-l)=/+2光一1,贝ljlim/(x)=.

三、求极限

..X4-11Jx+Ax

1.lim———2.lim--------------------

—x-1&->。Ax

1-cosx

3.lim4.lim‘七!一(k为常数)

.v->0xtanxXT8X+X+1

xx-sinx

5.lim(——)x6.lim

XT8Ri—°x+sinx

sin2x

xw0

四、设函数/（尤）=x在x=0处连续，求匕的值.

b+xx=0

五、证明方程x=asinX+/其中a>0,b>0）至少有一个正根，并且它不超过a+b.

第二章导数和微分

一、单项选择题

1.设＞=0/"),其中/(X)为可导函数，则y"等于)

(A)efM(B)efMf(x)

(C)efM[fXx)+f(x)](D)/⑴[(/'(x))2+/"(x)]

2.设/(x)在点x0处可导，且/(x0)=3,则lim/(x)等于()

*-＞殉

(A)x0(B)3(C)/'(Xo)(D)不存在

3.若函数/(x)在点x=a连续，则下面说法正确的是()

(A)函数/(x)在点x=a可导(B)函数/(x)在点x=a不可导

(C)函数/(x)在点x=a不一定可导(D)lim"*)一"幻不存在

Xfax-a

4.设函数/(x)在点4处可导，且/(x0)=l，则lim/(x)=()

f%

(A)1(B)/(x0)(C)/'(x0)(D)不存在

5.函数y=N，则函数在点x=0处()

(A)连续且可导(B)连续且可微(C)连续不可导(D)不连续不可导

6.设f(x)=sin(©2),则广⑷为()

(A)cosa3(B)2a2cos/(C)x2cos(tzx2)(D)2a2cosa，

7.设〉=01^皿》2,则dyl]=()

x——

2

42,

(A)-f=dx(B)-；=■clx(C)dx(D)0

V15V15

8.下列函数中,在点x=0处导数等于零的是()

(A)y=sinx(B)y=cosx(C)y=x(D)y=ln(l+x)

9.直线/与x轴平行，且与曲线丁=》-/相切，则切点坐标为()

(A)(0,-1)(B)(1,1)(C)(0,1)(D)(一1,1)

10.设/(x胜点/处可导，且〃/)=3,贝i」lim/(x)=()

XT3

(A)x0(B)3(C)/'(x0)(D)不存在

11.直线/与x轴平行，且与曲线y=2x—e*相切，则切点坐标为()

(A)(0,-1)(B)(ln2,21n2-2)(C)(0,1)(D)(-1,1)

12.下列说法正确的是()

(A)若/(x)在x=x()处连续，则/(x)在x=x()处可导

(B)若/(x)在x=x()处不可导，则/(x)在x=Xo处不连续

(C)若/(X)在X=Xo处不可微，则/(X)在X=Xo处极限不存在

(D)若/(x)在x=x()处不连续，则/(x)在x=处不可导

13.设)，=幺，则力等于)

X

/、xex-ex.e"/、ex-xex.

(A)ex\nxdx(B)----dx(C)—dx(D)--------dx

xxx

14.设y是满足方程x+y=ev的隐函数，则y=()

21y

(A)ey(B)—(C)-----(D)e——

"ey-l2

15.曲线,二炉在(0,0)处的切线方程为)

1-

(A)不存在(B)y=0(C)y=-x3(D)x=0

3

16.直线/与直线y=2平行，且与曲线y=x相切，则切点坐标为()

(A)(1,-1)(B)(-1,1)(C)(0,1)(D)(0,-1)

17.设/(x)=arcsin?2x,则，'(x)为()

/八2/「、4arcsin2x,72arcsin2x1

(A)/(B)/(C)/(D)

Vl-4x2Vl-4x271-4x21-x2

18.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+l=O的切线方程是()

(A)y=-(x+1)(B)y=x-1

(C)y=(lnx-l)(x-l)(D)y=x

19.如果函数/(x)在点x可导，则/(%)二()

(A)+—(B)■f-(X)

AA->0八丫Ar->0\x

(C)lim」—小一曲(D)lim」f)T(x)

'TOAXA—O2AX

20.设函数/(x)在点x0处可导，且/(x0)=4,则lim/(x)=()

XfX。

(A)4(B)/(x0)(C)f\x0)(D)不存在

21./(x)在x=x()处连续是/(x)在x=x()可导的()

(A)充分而非必要的条件(B)必要非充分条件

(C)充分且必要的条件(D)既非充分又非必要的条件

22.设lim存在,则它等于()

(A)f'(XQ)(B)/'(Ax)(C)fXxQ+A,v)(D)0

23.W(Jl+2x)等于()

dx

(A)―7：1=(B)----J_(C)_厂1;(D)--T1r

2Jl+2x2Jl+2xJl+2xJl+2x

24.设/(x)在x0处可导，则lim，"4―2")二"与)=()

(A)/(x°)(B)-2f'(xQ)(C)(D)-r(x°)

25.设函数/(x)在点处的导数不存在，则曲线y=/(x)()

(A)在点网处间断(B)在点(xo，/(x()))的切线必不存在

(C)lim/(x)不存在(D)在点(邓,/(邓))的切线可能存在

X-

26.设/(〃)可导，y=/(Inx)贝Iy'=()

(A)f'(\nx)(B)-/(Inx)(C)-/\lnx)(D)-[/(lnx)J,

XXX

27.设有函数/(x)和g(x),且/'(x)=g'(x),以下说法错误的是()

(A)/(x)和g(x)的变化率相同(B)/(x)不一定等于g(x)

(C)/(x)和g(x)有同一切线(D)/(x)和g(x)切线平行

PXY<0

28.使/(%)=(~在x=0点处可导的。,6为()

a-vbxx>0

(A)a=b=0(B)a=b=\

(C)a=0,b=1(D)。=1,。为任意实数

X=COSt71

29.曲线1.在f=々处的切线方程是()

y=2sinf4

(A)y-V2=-2(x-

/-1-1-\/^2

(C)y—A/2=——(x—^-)(D)y-,2=5(%—^―)

二、填空题

1.已知函数y=Insin2x,则y'1,=

2.若f'(/)=2,则曲线y=/(x)在/处的切线方程为;法线方程为

3.函数y=ec°s*的二阶导数丈=

4.设y=e*cosx,贝Uy"=

5.当函数y=》2在％=1,加;=0.01时，则对应的函数增量△），=;函数增量

的主部dy=_____________

6.曲线>=》2-1在点（1,0）处的法线斜率为.

7.函数y=/+x2+x+i的5阶导数y⑸=.

8.过曲线,=干史上点（2,3）处的法线的斜率为.

9.过曲线y=上点（2,5）处的法线的斜率为.

3-x

10.已知函数,=%/*,贝lly"=.

11.已知函数函数y=e-*的微分dy=.

12.函数y=x*的导数y'=.

13.已知函数）?=%6"，则y"=.

2

14.已知函数y=Insinx,贝ijy'=;y'x=n/=

15.已知函数y=Insinx,则y"=;y"x=7y=•

2(rt)

16.已知y("2)=x+sinx,则y=•

17.曲线y=；/-1在点(1,-g)处的法线方程为-

18.d()=sec3xtan3xdxd(^x~+1)=()dx

19.已知曲线y=/(x)在x=2处的切线的倾斜角为红，贝,⑵=______一

20.设物体的运动方程为

s(f)=a『+历+。(其中a/,。为常数，且。*0),当，=一2时，物体的速度为

2a

;物体的加速度为-

21.设y=诞由方程尤y+lny=0确定的函数，则dy=

三、求下列函数的一阶导数

sinx

1.2.y=Insinx2

3.y=x*ex4.y=3~x-cos3x

5.y=ln(x+vx2+a2)6.y=ex-sinx

7.y=ln(x4-y/x2-a1)

四、求由参数方程［x=ln（l+〃）所确定的函数的一阶导数.

y=t-arctant

五、已知函数y满足方程ye*+lny=l,求电

dx尸।

六、求由方程+V+2xy=0所确定的隐函数的一阶导数.

单元测验

(90分钟内完成)

一、单项选择题

1.曲线y=lnx上某点的切线平行于直线y=2x-3,该点的坐标是()

(A)(-,ln2)(2,In-)(B)(2,-In-)(C)(-,-ln2)(D)(-,ln2)

22222

2.曲线y=产+%-2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标为()

(A)(0,1)(B)(1,0)(C)(0,0)(D)(1,1)

3.设/(〃)可导，y=/(ln2x),则了=()

(A)/'(In2x)(B)21nV，(ln2x)(C)(D)

XX

4.设函数y=/(—x2),则dy=()

(A)xf'(-x2)dx(B)-2X/-,(-X2)JX(C)2f'(-x2')dx(D)Ixf'i-x1)dx

5.由方程siny+xe'=0所确定的曲线y=y(x)在点(0,0)处的切线斜率为()

(A)-1(B)1(C)-(D)--

22

6.设/(x)在点处可导，且/(%)=1,则lim/(x)=()

(A)1(B)x0(C)/(%)(D)不存在

f(x+aj\x)-f(x-bAx)

7.设/(x)在x处可导，。力为常数，则lim)

A.v->0Ar

(A)f'(x)(B)(a+b)/'(x)(C)(a-b)f\x)⑴)(尸⑴

8.®/(x)=arctan22x,则/'(x)为()

、2,、4arctan2x、2arctan2x

(A)----y(B)------Z—(C)------『(D)——r

l+4x_l+4x_1+4x-1+x2

二、填空题

1.(sin2x)f+(cos2x)r=-

2.设=x(x—1)。-2)(x一3)(%一4),则/(0)=

3.设)=arctan'，则y'=iyn=

x

4.设函数》=/(〃),〃=0(x)可微，则dy=dx.

44-丫

5.过曲线y=—^上点(2,3)处的法线的斜率为________-

4-x

三、求下列函数的一阶导数

3

1.y=5x9+—-2A+4cosx2.y=cos(ln2x)

x

3.y=ln[ln(lnx)]4.y=es,nvcos(sinx)

四、求下列函数的二阶导数

1.y=(1+x2)arctanx2.y=x21nx

|x=3cosZ3

五、求椭圆4.在，=—万处的切线的斜率.

[y=4sinr4

六、求卜.列函数的微分

・x1-x

1.y-arcsi•n一2.y=—In

a2T+x

第三章导数的应用

一、单项选择题

1.以下结论正确的是（）

（A）函数/（X）的导数不存在的点，一定不是/（X）的极值点

（B）若X。为函数/（X）的驻点，则X。必为/（X）的极值点

（C）若函数/（x）在点H处有极值，且/'（%）存在，则必有/'（%）=0

（D）若函数/（x）在点/处连续，则/'（X。）一定存在

2.对于函数y=lnx,l<x<e,下面结论成立的是)

（A）最大值为1（B）最小值为0（C）极大值为1（D）无最大值且无最小值

3.如果一个函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则)

（A）极大值一定是最大值（B）极小值一定是最小值

（C）极大值必大于极小值（D）以上说法都不一定成立

4.函数/（%）=21"或211》一》在区间（一8,+00）内（）

（A）单调递增（B）单调递减

（C）有时单调递增，有时单调递减（D）以上结论都不对

5.5列函数对应的曲线在定义域内凹的是)

(A)y=e~x(B)y=ln(x+x2)(C)y=x2-x3(D)y=sinx

6.设函数y=x3+x在［oj］匕满足拉格朗日中值定理条件，则J等于（）

（A）-73（B）-x/3（C）（D）—

33

7.函数、=》一111（1+X2）的极值为（）

（A）0（B）不存在（C）-l-ln2（D）l-ln2

8.（0,0）是曲线y=/的（）

（A）最高点（B）最低点（C）无切线之点（D）拐点

9.下列函数为单调函数的是（）

(A)y=ln(l+x2)(B)y=x+cosx(C)y=|x|(D)y=xex

10.函数y=2*在定义域内是严格单调（）

（A）增加且凹的（B）增加且凸的（C）减少且凹的（D）减少且凸的

11.若在区间伍，刀内恒有/（x）＜0,/”（x）＞0,则下列说法正确的是（）

（A）f（x）在力）区间内单调递减且曲线在（4力）是凹的

（B）/（X）在（4力）区间内单调递增且曲线在（。力）是凹的

（C）/（X）在（4力）区间内单调递增且曲线在（。力）是凸的

（D）/（x）在（。力）区间内单调递减且曲线在伍力）是凸的

12.若在区间伍力）内恒有/'（x）＜0,/"（x）＞0,则在他力）内曲

线弧y=/(x)为)

（A）上升的凸弧（B）下降的凸弧（C）上升的凹弧（D）下降的凹弧

13.下列函数中在上满足罗尔中值定理条件的是（）

,1

（A）InIxl（B）x--1（C）——（D）ex

x2-1

14.下列说法中正确的是（）

（A）若/'（x）=0,则/（X。）必是极值

（B）若/（%）是极值，则/（x）在/可导且/'（/）=0

（C）若/（x）在可导，则/'（%）=0是/（X。）为极值的必要条件

（D）若/（x）在/可导，则/'（/）=0是/（项））为极值的充分条件

3T

15.曲线y=上一的渐近线方程为（）

X—1

（A）x=1和y=3（B）x=3和y=1（C）x=1（D）y=3

16.卜列函数为单调函数的是()

2x

(A)y=ln(l+x)(B)y=xe(C)y=|x|(D)y=x+sinx

17.（0,0）是曲线y=x'的（）

（A）最高点（B）最低点（C）无切线之点（D）拐点

18.函数y=ln（l+x）的单调增区间为)

(A)(-2,+oo)(B)(-oo,-1)(C)(-oo,+oo)(D)(-1,+oo)

19.下列说法中正确的是（）

（A）若/'（x）=0,则/（%）必是极值

（B）若/（%）是极值，则“X）在X。可导且/'（尤。）=0

（C）驻点和不可导点是函数的极值点

（D）函数的极值点是函数单调性发生转折的点

20.(0,—3)是曲线y=/-3的()

（A）拐点（B）极值点（C）最高点（D）最低点

2x

21.函数y=—的极值为()

Inx

(A)0(B)In2(C)2e(D)不存在

22.函数y=的单调减区间是()

1+X

(A)(-oo,-l)(B)(-1,0)(C)(―8,—1)和(—1,0)(D)(0,+8)

二、填空题

Y

1.曲线/（X）=-f—的水平渐近线为；垂直渐近线为.

X2

2.曲线/（x）=,的水平渐近线为_________;垂直渐近线为________

（X+1）-

X2

3.曲线/（x）=,的水平渐近线为_________;垂直渐近线为________

（x-1）2

4.y=/+x在点(o,0)处的曲率.

5.函数/(%)=/在［1,2］上满足拉格朗日中值定理的条件，其中-

6./+》2=1在点(0,1)处的曲率;曲率半径为.

7.函数y=x3(i-x)的凹区间；凸区间.

8.曲线/。)=一一-1的水平渐近线为；垂直渐近线为.

X2-1

9.若点(1,3)是曲线y=ax'+人X?的拐点，则a=;b=.

10.函数/(x)=d在闭区间［2］上满足拉格朗日中值定理条件，则4=.

11.函数/(x)=/+x在闭区间［0,1］上满足拉格朗日中值定理条件，则，=.

12.函数了=X3-3;?+5,在区间是单调增加；在区间是单

调减少，极大值是;极小值是.

13.设函数/(x)=2+x-/在闭区间［0,5］上的最大值是;最小值是

14.曲线丁=/+3方2+3%的拐点是.

15.函数/(x)=/一2%一1在闭区间［0,5］上的最大值是;最小值是

三、求下列极限

ln(l+x)

1.lim2.lim(-----—)

2

XT+ooln(l+x)xex-1

「InVx4.limf---------1—]

3.lim———

Ix一1