分组与分配问题的解决方法高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

“分组”与“分配”问题的解决方法第六章计数原理2024/6/29例1．要把6本不同的书分为三份，一份1本，一份2本，一份3本，则共有多少种不同的分法？解：可分三步完成第一步：先从6本书中取1本作为第一份，第二步：再从剩下的5本书中取2本作为第二份，第三步：剩下的3本作为第三份即可故总共有种分法变式：要把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，

一人1本，一人2本，一人3本，又有多少种分法？分析：可先分成3份，再分别分配给这3人即可

不同元素完全不均匀分组问题（无序）

不同元素完全不均匀分配问题（有序）1.不同元素的分组及分配问题——①完全不均匀分组探究新知练习：要把7位同学分到3个班中，一个班1人，一个班2人，一个班4人，共有几种分法？

题型一：不同元素完全不均匀分组/分配问题归纳总结变式．把6本不同的书分为三份，每份2本，则总共有多少种不同的分法？例2．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分法解：若分三步考虑，即第一步：甲先从6本书中取2本有

种方法

，第二步：乙再从剩下的4本书中取2本有

种方法

，第三步：丙剩下的2本取2本有

种方法，则共有种分法

不同元素完全均匀分组问题（无序）

不同元素完全均匀分配问题（有序）1.不同元素的分组及分配问题——②完全均匀分组变式．把6本不同的书分为三份，每份2本，则总共有多少种不同的分法？1.不同元素的分组及分配问题——②完全均匀分组分析：每堆两本，分三步完成，第一步从六本中任取两本作为第一堆，有种取法，第二步从剩下的四本中任取两本作为第二堆，有种取法，第三步剩下的两本作为第三堆，有种取法.据分步乘法原理，分堆方法数是种.问题1：这样分堆会有重复吗？变式．把6本不同的书分为三份，每份2本，则总共有多少种不同的分法？1.不同元素的分组及分配问题——②完全均匀分组答：会造成重复分堆，例如假设这六本书编号为1，2，3，4，5，6号，先取两本，取到3，4作为第一堆，再取5，6两本作为第二堆，剩下1，2作为第三堆，这是一种分堆的方法.然后第二次分堆时，先取到1，2作为第一堆，再取到5，6作为第二堆，剩下3，4作为第三堆，显然这种分堆方法跟第一种分堆方法是一样的.而且继续下去，这种分堆方法会重复3次，即次.问题2：怎么样才能去掉重复的分堆呢？答：6次只算1次，可以除以得到，所以六本不同的书，平均分成三堆，最后的分堆方法数是种.问题1：这样分堆会有重复吗？题型二：不同元素完全均匀分组/分配问题①分组：一般地，把n个元素平均分成m组，每组k个元素（其中n=mk），则不同的分组方法有②分配：一般地，把n个元素平均分配给m个目标，每个目标k个元素（其中n=mk），则不同的分配方法有归纳总结练习：（列出式子即可）1、(1)要把8个人分成4组，每组2人，共有几种分法？(2)若分成3组，一组1人，一组3人，一组4人呢？2、某工厂招了9名新工人，现要把他们分到3个车间，每个车间3人，共有几种分法？课堂练习例3、要把5本不同的书分成3组，其中一组1本，另两组各2本，有多少种不同的分法？变式：要把5本不同的书分给甲，乙，丙3个人，

一人1本，

两人2本，有多少种不同的分法？解：第一步：先选1本出来作为一组，第二步：剩下的4本再均匀分为两组即可故总共有种分法不同元素部分平均分组问题（无序）不同元素部分平均分配问题（有序）1.不同元素的分组及分配问题——③部分均匀分组部分均匀分组：各组依次选取,有k组均匀,

则除以k的全排列.练习1：7本不同的书，分成3份，两份各2本，另一份3本，有___种不同的分法.13254672513467部分均匀分组：各组依次选取,有k组均匀,则除以k的全排列.练习2：将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一个盒子中，有___种不同的放法.先分组，后分配：1.不同元素的分组及分配问题——③部分均匀分组课堂练习探究新知不同元素的分组与分配问题(1)完全平均分组：在分组时，每组元素的个数都相等.①只分组无分配时，需要除以这几组的“全排列”，以确保消去重复；②分组且分配时，一种方法是先分组再分配；另一种方法是可以用分步乘法计数原理解题.(2)部分平均分组：在分组时，每组的个数是不均等的，而是有一部分个数相同．需要除以相同的组的“全排列”，保证没有重复．(3)非平均分组：每组所要分的元素个数是不相同的．这种分组不考虑重复现象.解题思想：先分组、后分配1.不同元素的分组及分配问题——④多样化分组例4：某学校派出5名优秀教师去边远地区的3所中学进行支教，每所中学至少派到一名教师，有____种不同的分配方法.①“3、1、1型”：②“2、2、1型”：150先分组，后分配：探究新知练习：6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，有___种不同的分法。①“1、1、4型”：②“1、2、3型”：③“2、2、2型”：共有90+360+90=540种方法.先分组，后分配：课堂练习例5:将6个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一球，有____种不同的放法.分组方法：①1、1、4型②1、2、3型③2、2、2型(分组分配法)共3+6+1=10种分法.分配方法：甲乙丙甲乙丙相同元素分3份，需2个不相邻的隔板2.相同元素的分配问题——探究新知隔板法变式1：将14个相同的球放入4个不同盒子，每个盒子至少一球，有____种方法.相同元素分4份，需3个不相邻的隔板14个球间有13个间隔2.相同元素的分配问题——探究新知隔板法变式2：方程x+y+z=18的正整数解有_______组.析：把18看成18个1相加，相当于在17个间隔中插入2块隔板111111111111111111[例6]将20个相同的球放入编号为1,2,3,4的4个盒子，每个盒内的球数不少于它的编号数，有____种放法.先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再将剩下的14个球放入4个盒子，每个盒子至少再放一球，即在14个球形成的13个空隙中插入3块隔板12342.相同元素的分配问题——探究新知隔板法2.相同元素的分配问题——探究新知隔板法2.相同元素的分配问题——探究新知隔板法变式：12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，允许部分盒子不放球，则不同的放法有多少种？分析：允许部分盒子不放球，就意味着在用隔板分球时，隔板与隔板之间可以没有球，即隔板可相邻1234不妨先把3块隔板和这12个球看成相同的元素来排成一列则此题可看成在总共15个位置中选3个来放隔板故隔板的位置有种不同的放法使用“隔板法”应注意问题：（1）适用范围：相同元素分配问题；（2）隔板的数量等于分组数减1；（3）“隔板不可相邻”与“隔板可相邻”的做法不同。问