高中数学人教版（A版）选择性必修 第一册(2019)-一：离心率 公开课

专题：圆锥曲线中的离心率问题（求值）

—.知识回顾：

1.离心率的定义2.椭圆离心率的范围：

3.双曲线离心率的范围：4.抛物线离心率的值：

二.方法总结：

离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两

类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。一般来说，求

椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a,b,c的一个方程，就可

以从中求出离心率.

一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从三个方面来研究：

1.考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等三角形中的知识；

2.通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式.

三.典型例题:

（05全国III）设椭圆的两个焦点分别为耳、骂,过耳作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,

若公耳尸工为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

A-TB辛CXD.J

2.设耳，鸟分别为双曲线与-』=1（。〉0力〉0）的左、右焦点，双曲线上存在一点尸使

ab

Q

得|尸耳|+|尸耳|=3"|尸用・|尸耳|二：〃"则该双曲线的离心率为（）

459

A.一B.—C.—D.3

334

22

3.设直线x-3y+m=0(mw0)与双曲线二一==1(〃>人>0)两条渐近线分别交于点

ab

A,B,若点P（m,0）满足|曰二|尸耳，则该双曲线的离心率是一

4.如图，耳，同是椭圆G：手+y2=i与双曲线。2的公共焦点，分别是G，在第

二、四象限的公共点。若四边形为矩形，则。2的离心率是

尤2-V2b

5.椭圆。+4=1(°>6>0)的右焦点F(c,O)关于直线y=—x的对称点Q在椭圆上，椭圆的

ab~c

离心率是

练习:

1.设居，居是双曲线雪―4=1(。〉01〉0)的左右焦点，点4是以耳，工为直径的圆

ab

与双曲线在第一象限的交点，延长A工与双曲线交于点8,若忸玛|=3|A乙则此双

曲线的离心率为.

2.椭圆斗+当=13泌>0)上一点A关于原点的对称点为B,尸为其右焦点，若AFJ_BF,

rrjr

设/AB/,且《6[一,—],则该椭圆离心率的取值范围为

124

22

4.已知点尸（-c,0）（c>0）是双曲线三-二=1的左焦点，过E且平行于双曲线渐近

ab

线的直线与圆N+y2=c2交，于点P,且点P在抛物线y2=4cx上，则该双曲线的离心率是

5.设片，咒是双曲线三-二=1（。>0,人>0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存

ab

在一点P,使（而+丽）-9=O（。为坐标原点），且|尸耳|=退|「工I，则双曲

线的离心率为

6.如图，已知片，工为双曲线C:J—==1（。〉0］〉0）的左右焦点，点P在第一象限，

ab

且满足用=a,（帝+而）•声=0,线段PB与双曲线。交于点。，若

F\P=5F\Q,则双曲线的渐近线方程为.

2v

6-1.（类似题）点可为双曲线c：—%—三=1（。〉0,6〉0）的左右焦点，点48人分别

ab

为双曲线上三个不同的点，且AC经过坐标原点。，并满足

--1-->—..

AF

2=~F2B,ABCF2=0,则双曲线的离心率为

,V17

答案：——

3

专题：圆锥曲线中的离心率问题（求范围）

22

1.已知片，工是双曲线二―二=1（。〉01〉0）的左右焦点，双曲线上存在一点尸，使

ab

得忸周=2|尸引,NF]PFz=90°,求双曲线的离心率.

解：由题可知，|尸耳|=4。，|尸叫=2a,国工|=2c,

5PF2=90。,（4a）2+（2a）2=（2c）2,e=-=V5.

一a

22

变式1:已知片，工是双曲线t—二=1（。〉01〉0）的左右焦点，双曲线上存在一点P,

abA

使得忸制=2忸闾，，求双曲线的离心率的范围.\

解：由题可知，|PG|=4a,户用|=2a,|大剧=2c,刁耳一1".

由三角形两边之和大于第三边可得，\PF\+\PF^=6a>2c,/\\

（或利用焦半径公式，可得|尸制=4。2a+c）,e<3..•.双曲线的范围为l<e<3.

变式2：已知片,此是双曲线二—三=1（。〉0]〉0）的左右焦点，双曲线上存在一点尸,

ab

使得smNPK&=4,求双曲线的离心率的范围.

c

sin/尸772K

'sinNPG工_\PF^_a

解:<sin/P^K—|P耳「1

\PF^-\PF^=2a

2

nI尸箱\pF\=2^L^\PF\>a+c,>a+c,e-2e-l<0,

c-ac-ac-a

1—V2<eVV2+1,二.双曲线的离心率的范围为l<e<V2+1.

22

变式3：已知椭圆三+==1（。〉6〉0）的左右焦点为片，工，若椭圆上存在一点尸，使得

ab

ZFlPF2=120°,求椭圆离心率的范围。

简解:可得P点在尸'时，N片最大