高考高中数学：必考大题题型总结

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一、三角函数或数列

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数

列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数

函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归

纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的

数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、

换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;（1）数列本身的有关知识，其中有等

差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数

列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题

为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，

只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

二.立体几何

高考立体几何试题一般共有4道（选择、填空题3道，解答题1道），共计总分27分左右，考

查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的

逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，

立体几何考题正朝着多一点思考，少一点计算的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为

载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

三、统计与概率

1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。

3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问

题。

4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。

6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。

7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率

乘法公式计算一些事件的概率。

8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.

四、解析几何（圆锥曲线）

高考解析几何剖析：

L很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何

元素为基础构成的图形的问题；

2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。

有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外

乎做两项工作：

1、几何问题代数化。

2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。

五、函数与导数

导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学

习，主要是以下几个方面：

1.导数的常规问题:

（D刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题

属于较难类型。

2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方

向，应引起注意。

三角函数

一知识点总结

1.角度制与弧度制的互化：360°=2兀180°=兀

lrad=iso-~57.30°=57°18'.r=-L=0.01745(rad)

x180

2.弧长及扇形面积公式

弧长公式：I=\a\.r扇形面积公式:S=；Lr

a--是圆心角且为弧度制.r一一是扇形半径

3.任意角的三角函数

设a是一个任意角，它的终边上一点p(xsy),r=&+-

(1)正弦sina=2余弦cosa=±正切tana=』

rrx

(2)各象限的符号：

sinacosatana

4、三角函数线

正弦线：MP;余弦线：0M;正切线：AT.

5.同角三角函数的基本关系：

(1)平方关系：sin%+cos%=l・

(2)商数关系：-=tana(a#—+k/r,kez)

cosa2

6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限

(l)sin(2无万+a)=sina,co$(2*/r+a)=cosa,tan(2#/r+a)=tana(£wZ)・

(2)sin(zr+a)=-sma»cos(%+a)=-cosa,tan(zF+a)=tana.

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa»tan(-a)=-tana.

(4)sin(^-a)=sina,cos(^-a)=-cosa,tan(^-a)=-tana.

(5)sin|^--aj=cosa,cos1卜sina.

(6)sin^y+a|=costz»cos[f+a)=-sina.

7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

二用国跋/=tnx/=co«r7=tara

;%/门

iw小，,X

图霰

j°\,/z,4<4

(»«-y.

定义城(-i+«•)(―••.+8)

内弋)

值域[-1.1](-8.斗8)

最大(小)当r-2*x+y

当了=%«.

值

时・(s

JUaIt无

(0型L2H+附

时，>,a*=I»

(*€Z)

当r=2*i-:

3—1

时，二I

寄偏性奇函数偶而也需函整

fflWttr-2ir-2if-1

有界性司界有用无界

在［而一j.

在KA7”.在(h-M•

单调性2*14-y］上郃2H］上郃是喈的

事.

是用谢必*1+-内邮

在【狄凡2

25(2*14-:.(2Ar4-l)«］±是用画数

部息准函载

%i+争上邯

是潮族

8.三角西氤公式：

两角和与差的三角函数关系

sin(a±/?)=sinacos/?icosasin/?

cos(a±p)=cosacospjsinasin夕

tana±tan

tan(a±0=

1tanatanp

倍角公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a

=2cos2a-l

=l-2sin2a

2tana

tanla=

1-tan2a

9,正弦定理：

sinAsinBsinC

10.余弦定理：

a2-b1-i-c2-2bccosA;

b2=c2+a2-IcacosB;

c2=a2+b2-2abcosC.

三角形面积定理,S=-a2>sinC=—besin.4=—cosinB.

222

二、三角函数常考题型

三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿

该题12分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向

量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下三类：

一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。

例1已知向量0=(8§,苍§111；93=(8§1-§也5),且^^6万]一

(1)若a+b\>^3>求X的取值范围；

(2)函数/(x)=aH|a+b|,若对任意"X2H;㈤，恒有1/(七)-/5)|<八求f的取值范围.

解：(1)Qa|=|b|=La6=cos2x,:Ja-6=』2+2cos2x=-2cosx>石,

即cosx<-^.Qxe[y,^],.\^<x<^e

(2)/(x)=a3+a+^|=cos2x-2cosx=2(cosx-^)2-•

Q-lVcosx&O/JCOw=3J(x)g=-l»又Q/aL/S)区/(x)叩-/3mb=4,/.r>4

二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中

心。

例3己知向量a.(sina,一；)，2・Q,2cosa),ex€(0,~)

(1)求sin2a及sma的值；

(2)设函数/(x)=5sin(_2x+q+a)+2cos2x(xe区,勿，求X为何值时，/(x)取得最大值，最大

2242

值是多少，并求八x)的单调增区间.

解：(1)ad-sina-cosa-^»(sma-cosa)2-l-sin2a«sin2a»,

)497.34

(sma+cosa/«l*sm2a*—»sina*cosar--cosa-y>sna»-

(2)/(x)-5cos(2x-a)+l+cos2x-5(cos2xcosa+su2xsna)+cos2x+1

-X-co82x4--sm2x)+cos2x+l-4cos2x+4sin2x*l,4>/5sin(2x+2)+l，•二—^x<—»

554242

•，・与，，当x■W时，5)・1+26，要使y・/(x)单调递增,

・•・-《.2匕”入/44+2而，-+，又xwg，］,:.)・/(x)的单调增区间为

24288242

［工-］

l24,8J

三、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用.

例6在△EC中，角AE,C的对边分别为a,b,c.已知向量布=(a+cA-a),"=(a-c,b),且

mLn.

(1)求角C的大小；(2)若sin4+sinB=^，求角A的值，

2

解：(1)由得(a+cXa-c)+S-a)b=O;整理得a2+/-c2-ab=O.

即又c°sC=W又因为―，所以CR.

(2)因为C=g,所以4+8=斗，故3=§-.4.

洛，得sin/+sin(g-/)・络.即sin/+*cos彳▲：sin/=

由sin/+sin3

2

所以石sin〃+cos/・V5.即sin(.4+2)=.因为0<4</乃，所以土</，2<红，

623666

故4+^=2或4+£=卫,.•.4==或4=4.

64641212

三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点,因此,熟练掌握公式和性质是解好小题的必要条件,

在日常训炼中一定要改掉边做题边看公式的坏习惯.再者，填空题答案书写的规范也需反复强调.

数列

一、知识点

1、数列的通项公式与前n项的和的关系

“_(数列｛4｝的前n项的和为4=.+%+L+凡).

2、等差数列的通项公式

a=q+(力-1)4=力?+q-d(nwV).

n«

3、等差数列其前n项和公式为

成勾+4)w(w-l),d5z1公

sn=二二、——=+---d=彳+(q一5d)n.

4、等比数列的通项公式

4=="qn(n€N、;

q

5、等比数列前n项的和公式为

，窄〜或寸号E

na^q=\=l

二、高考常见题型

题型一：数列的通项公式的求法

A、定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

B,公式法：已知S"(即q+q+L+q=/("))求a”，用作差法：4=快"7.

例.已知数列｛aj的前"项和S.满足求数列｛4｝的通项公式.

解：由q=S[=2zj[—lnq=1

，

当*22时，有4=S„-'SB_i=2(fl„-0^)+2x(-1)",

•-4=肛+2«-1尸，

an-i=2a“2+2x(-1)"*2....,a：=2a,-2.

4=21%+2-'x(-l)+2Tx(-lf+L+2x(-l)i

=2-l+(T)'[(-2)T+(-2)i+A+(-2)]

=rl_(_ir4b±^]

经验证q=1也满足上式，所以a”=32”2+(-l)Z]

C、累加法：

若求4:4=(q-、)+(j-4_2)+L+@-q)+q("22)•

D、累乘法：已知也=/(“)求a“，用累乘法：a“=2.4」L.生q(”N2).

a»a.-ia„-iq

E,已知递推关系求a*,用构造法(构造等差、等比数列).

①/(”)为常数，即递推公式为az=pa”+g(其中p,q均为常数，Cwtp-l)*0)).

解法：转化为：*T=p(a”T),其中r=#-,再利用换元法转化为等比数列求解.

1-P

例.已知数列｛4｝中,q=l,anA=2a„+3,求a».

解：设递推公式a“严况+3可以转化为=即ae=2a“-r=r=-3故递推公式为

。标1+3=2(a“+3).令b,=a,+3,则4=q+3=4,且今'=马出号=2.所以机,｝是以"=4为首项，2

鼠a,+3

为公比的等比数列，则々=4x2-1=2?所以a”=2向-3.

二.数列的前n项求和的求法

1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.

常用公式：1+2+3+L+M=1M〃+1),F+2‘+L+/=J"("+1X2"+1),

2o

2,分蛆求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用

公式法求和.

3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考

虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前”和公式的推导方法).

例3、求sin'r+sin。2°+sin'3°+…+sin?88°+sin'89°的值

解:®S=sin210+sin220+sin23°+---+sin2880+sin289°.................①

将①式右边反序得

S=sin2890+sin288°+■--+sin230+sin220+sin21°................②（反序）

又因为sinx=cos（90°-x）,sin:x+cos4x=1

S②得（反序相加）

2S=(sin:1°+cos*10)+(sin22°+cos22°)+---+(sin289°+cos289°)—89

AS=44.5

4.借位相，法：如果裁列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构或，那么常选

用错位相减法(这也是等比数列前〃和公式的推导方法).

例4、求和：S,=l+3x+5x2+7x｝+--+(2«-l)x*-1.................................①

解：由题可知，｛(2x-l)x"T｝的通项是等差数列｛2n-l｝的通项与等比数列｛X-I｝的通项之积

设xS.=lx+3x'+5x'+7x'+...+(2”-l)x*.....................................②(设制错位)

①一②得(1-x)S,=1+2x+2x2+2x，+2x'+…+2x*-'-(2«-l)x*(错位相戒)

再利用等比数列的求和公式得：(l-x)S,=l+2x.t3--(2n-l)x"

1-x

._(2.-1*-(2"+l)x"+(1+x)

（1-xf

5.裂项相消法：如果数列的逋项可“分裂成两项差''的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂

项相消法求和

常用裂项形式有：

①一1—=1--L,②—1—=1(1—

n(n4-1)nM+1n(n4-k)knn+kJ

1_1111

於一(左+1)正

=[]

®«(«+lXn+2)2^^D­(n+lXn+2)；⑤而万丁而万;

6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.

例3、求1+11+111+…+壮十?1之和.

»KM

解：由于U*31=：x罂2.毛9=：(10*-1)(找通项及特征)

:.1+11+111+…+\1小

=^(10^—1)+~(102—1)+-(103-1)+•••+-(10n-1)(分组求和)

=—(io1+102+1034—FIO")—(1+4型2%,砂D

99Ml

10(10”-1)，

-9-10:4—―9

=1(10^-10-9«)

导数

一、知识点总结

1、导数的几何意义：

函数F-/(x)在点X。处的导致的几何意义就是曲线.V・〃x)在点(》J(x))处的切线的斜率，也就是

说，曲线)一“X)在点P(ro，/(x»处的切线的斜率是/'(X。).切线方程为J-)bi/CXx-Xo).

2.、几种常见函数的导数।

①C'=0;②(x")=nx""'；③(sinx)'=cosx;®(cosx)=-sinx;

⑤(a*)'=a*Ina；©(«*)1=ex；®(log,x)=；⑧(lnx)'=」

xinax

3、导数的运算法则

(1)(w±v)=u±v.(2)(uv)=«v+av.(3)(—)-—^-(v^O)

vv*

4、复合函数的求导法则

设函数”=1p(x)在点x处有导数“；=/(x),函数)■=/(“)在点X处的对应点U处有导致

yu=f'(u),则复合函数y=/@(x))在点X处有导数，且或写作£(穴x))=/(“)，(x).

5、极值的判别方法：(极值是在X。附近所有的点，都有"x)V/(x。)，则”xo)是函数aX)的极大值，

极小值同理)

当函数/(x)在点X。处连续时，

①如果在X。附近的左侧/(x)>0,右侧/(x)<0,那么是极大值；

②如果在4附近的左侧/(x)<0,右侧/<x)>0,那么/(均)是极小值

极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

二、常考题型总结

题型一，利用导数研究函数的极值、最值.

1./口)=1-3/+2在区间卜1』上的最大值是？

2.已知函数>=/(x)=Kx-c尸祗=2处有极大值，则常数C?

3.函数)=l+3x-2有极小值？，极大值？

题型二।利用导致几何意义求切线方程

1.曲线丫=4工_/在点(Tl3)处的切线方程是y=x-2

2.若曲线/(x).xJx在p点处的切线平行于直线3*-r0,则p点的坐标为(1,0)

4.求下列直线的方程：

(1)曲线F-2+X+1在处的切线；(2)曲线〉=x'过点P(3,5)的切线；

解.(1)。融(T])在曲出',/♦f+1上.二,・3x2+2x」.k・yki-3-2-l

所以切线方程为)7-xN,耽-).2・0

(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为4均加，则比一斗’①又函数的导数为>

所以过4孙加点的切线的斜率为*7k尸两，又切线过小孙绅、P(3,5)点，所以有沏r②，由

［今・］或(沏-5

①②联立方程组得，1并/卜厂25,即切点为(1，1)时，切线斜率为可=8=4；当切点为(5,25)

时，切线斜率为*2=%=1。；所以所求的切线有两条，方程分别为

y-1=2(x-1)爽-25=10(x-5).=2x-l5g=10x-25

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

1.已知函数/(x)=d+bx+G过曲物，=/(x)上的点尸(L/(l))的切线方程为y=3x+l

(I)若函数/(X)在*=-2处有极值，求/(X)的表达式；

(in在(I)的条件下，求函数y=7(x)在：一3,1］上的最大值；

<m)若函数丫=/3)在区间［-2,1］上单调递增，求实数b的取值范围

解：(1)由+妆:+bx+c,求导数得/<'(x)=3x2+2ox+b.

过)'=/(x)上触(L/。))的切线方程为：

v-/(I)-/'(l)(x-1),即》—(a+6+c+1).(3+2a+b)(x-1).

而过尸〃X)上叩,/(1)的切线方程为F=3x+L

［3+2a+b・3j2a+5.0®

故［a-…3!、a-…3②

・.,y■/(x)在x--有极值，数/2)-0,「.-4a+6■—12③

32

由①®③得a=2,b-4,c=5,../(X)-X+2X-4X+5.

(2)/'a)=3_+4x-4=(3x-2Xx+2).

当-34x<-2BtJ'(x)>0;当-24x<：时J'(x)<0;

当沁朝又/⑴=4"(x)在一…上最大值是⑶

(3)y=f(x)在［-2,1］上单调递增，又/'3=3/+兄+4由①知2a+b=0.

依题意/'(X)在［-2,1］上恒有f'(x)》o,gp3x2-hx+i>0.

x=然=f'a)=3-b+b>0,：.b^6

①当6；

x=1s-2时,/'(x)皿=/'(-2)=12+26+b20...be。

②当6；

61

-2<-<~£0,Mo<b<6.

③当b12

综上所述，参数b的取值范围是。内)

题型四：利用导数研究函数的图象

1.如右图：是f(x)的导函数，/(*)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是(D)

3.方程乂-6x2+7-0在(0,2)内根的个效为(B)

A.0B、1C、2D、3

题型五，求参数取值苑国、恒成立及存在性问题

A、分离常数法

例1、已知函数/(x)=xlnx.(I)求/(x)的最小值；(11)若对所有xZl都有/(x)Zac-l,求实数

a的取值范围.

解：(1)/0：)=1!1乂+1,4/'(X)=0,解椒」.

e

又易知/(X)在(0,4)上单调递减，

Q

“X)在(0+8)上单调递增，

所以/a)的最小值为“3=-1

(H)依题意，得/(x)Wov-l在口,+8)上恒成立，即不等式aSlnx+工对于xe[l,+8)恒成立(分更

x

常数).

令g(x)=lnx+1，则g，(x)=L-3=3'l-?|.当x>l时，因为g'(x)=3'l-Il>0,

XXXX\xjxj

故g(x)是(l>+8)上的增函数，所以氟工)的最小值是E1)=1，所以a的取值范围是(-8,1].

B、与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系

求解策略：

1、利用“要使/(x)>a成立，只需使函数的最小值f(x)>a恒或立即可；要使/(x)<a或立,

min

只需使函数的最大值f(x)<a恒成立即可

max

2、已知函数的单调性及单调区间，则转化为关于导致大于或者小于0在给定区间上恒成立的问爨

3、利用子空间的思想，即首先求出函数的单调增或减区间，然后让题所给的区间是所求区间的子集

类型1.参数放在函数表达式上

例1.设函数/(x)=2x'-3(a+l)x2+6ax+8其中aeK.

(1)茬/8)在x=3处得极值，求常蜘的值

(2)却(x)在(YO,O)上为增函数，求a的取值范围

<1)由/(3)=0解得a=3经检验知a=涧,x=3为/\x)的极值点

(2)方法1：/(x)=6x2-6(a+l)x+6a=6(x-a)(x-1)

当a>时,/(x)在(7cJ).(a,+x)上递增.符合条件.

当a=时J(x)=6(x-l)220恒或立J(x)在(To,+oo)上递增

方法

当a<耐J(x)在(-8,a),(l,M)上递增，要保证f(x)在(Y,0)上递增，则0<a<l

综上所述.a>函J(x)在(-oo,0)上递增.

因为/Xx)在(7,0)上递增

所y/(x)20在xe(-x,0)上恒成立

°BPx(x-1)>a(x-1)在xe(TO,0)上恒成立

0x<0t..x-1<0

：.x

从而aNO

方法3.

保证<(x)=6x2-6(a+l)x+6a在(YD⑼上最小值大于或等于零

[a+1AS+l>n

故有[2或《2

,AMO[/'(0)20

可解得a20

解题方法总结：求/(X)后，若能因式分解则先因式分解，讨论/(x)=0两根的大小判断函数/(X)的

单谪性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.

类型2.参数放在区间边界上

例2.已知函数/(»=/+疗+6+曲=0处取得极值,曲线)，=/(x)过原点和点P(-1,2),若曲线

y=f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45。且切线的侦斜角为钝角.

(1)求f(x)的表达式

(2)若/(x)在区间上递增，求m的取值范围.

略解(1)/(X)=X3+3X2

(2)/(x)=3x?+6x=3工(》+2)可钝"(x)在(-oo.-2),(0,+x)上递增，在(-2,0)上递减

从而只要保证［2m-l,m+1］是(-®,-2)或(0,田)的一个子区间

+2—120

所以《或《

［ZM+1>2m-1［w+1>2/M-1

解得me(70,-3］Y［；,2］

总结:先判断函数的单调性，再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.

C,已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围

类型1.参数放在不等式上

例3.已知/(x)=x3+ax2+版+«:在3£=-：与工=时都取得极值

⑴求a、b的值及函数/(x)的单调区间.

(2)若对xe［-L2I不等式“x)<J恒成立，求c的取值范围.

略解：(l)a=-l,Z>=-2

(2)./(x)=3/2,由3x'_x-2=0第x=-：%=［且j)=^+c,/(D=-^+c

/(-I)=g+cJ⑵=2+c,所W(x)在［-1,2］上的最大值为〃2)=2+c

从而c'>2+c,解得c<-l或c>2

总结:区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值.

类型2.参数放在区间上

例4.已知三次函数/(x)=o?-5/+cr+d图象上点(1,8)处的切线经过点(3Q),并且/(x)在x=3处有

极值.

(1)求/(x)的解析式.

(2)当xe(o,m)时，/(x)>0恒或立.求实数m的取值范围.

分析:⑴/(x)=/-5/+3x+9

(2)./(x)=3x2-1Ox+3=(3x-l)(x-3)

虹(x)=。得七=；,a=3当xe(0,1M/-'(X)>0J(x)单调递增，所期(x)>/(O)=9

当xe(9)时/(x)<0J(x)单调递/所以/)>/(3)=0D、知函数图

所以当加>3时/(x)>0在(O,M)内不恒成立，当且仅当加e(0,3W(x)>0在(O,m)内恒或立

所以物的取值范围为(0,3]

象的交点情况，求参数的取值范围.

解题思路，1画出两个图像，即穿线图和趋势图(先增后减再增或者先减后增再减)

2由趋势图结合根的个数写不等式(主要看极值与。的关系)

3解不等式

例5.已知函数/(x)=e?+bx2-3、在^=-1/=1处取得极值

(1)求函数/(4)的解析式.

⑵若过点41,孙加工-2)可作曲线产/(x)的三条切线,求实数m的取值范围.

略解⑴求得/(X)=X3-3X

(2)设切点为必软,4-3x)因为f'(x)=3d-3

所以切线方程切-3)(x-l),又切线过点M

所以x；-3%-加=(3x^~3)(%T)

即2x；-3xJ+?M3-0*

因为过点4可作曲线的三条切线所以关于％的方程*育三个不同的实数根

设g(/)-24一3方+洲+3则g'(%).6x；-6x:

由g(/)=。得=。或/=1

所以g(x0)在(70,0),(1,田)上单调递墙在(0J)上单调递减,故函数g(%0)的极值点为%=0,%=1总结从

所以关于X。的方程*有三个不同实根的充要条件是眄?解得-3<m<-2

悟⑴<0

所求的实数”的取值范围是(-3.-2)

函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x轴交点个数.

在文科数学中,涉及到高次函数问题一般可用导致知识解决,只要把导数的几何意义，用导数求函

数的极值及最值，用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄懂，那么,利用导致求参数的取值范围这

个问题即可迎刃而解

圆锥曲线

一、知识点总结

(-)圆

1、定义：点集｛MlIOMI=r),其中定点。为圆心，定长r为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(』b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2

(2)一般方程：①当D2+E2<F>0时，一元二次方程x2r2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为

(_£_£)JD2+E、4F

22半径是2.配方，将方程x2+y2+Dx+EjH-F=0化为

)£D：+E：-4F

(x+2)232)2=4

DE

②当D2+E2-4FR时，方程表示一个点G2*工);

③当D2+E2-4FC0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(xO,yO),则IMCI<r<=>点M在圆C

内，IMCI=r=点M在圆C上，IMCI>r。点M在圆C内，其中IMCI=J(x°㈤?+(y()-a.

直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交=有两个公共

点；直线与圆相切=有一个公共点；直线与圆相离=没有公共点.

②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(血)利用圆心C(ab)到直线Ax+By+C=O的距离

\Aa+Bb+C\

d——/,=M—

与半径r的大小关系来判定.

(二)椭圆、双曲线、抛物线।

椭圆、双曲线、抛物线性质对比

慵圆双曲线抛物线

1.到两定点F1,F2的距1.到两定点F1.F2的距离

离之和为定值之差的绝对值为定值与定点和直线的£巨离相

定义

2a(2a>|FlF2|)的点的轨2a(0<2a〈|FlF2|)的点的轨迹等的点的轨迹.

迹2.与定点和直线的距离之

2.与定点和直线的距离比为定值e的点的轨迹.

之比为定值e的点的轨(e>l)

迹.((Xe<l)

点集：({M11MF1+1点集：{Ml1MFI1-1

轨迹条点集｛Ml1MF1=点

MF21=2aJF1F21<MF2I.

件M到直线1的距离｝.

2a}=±2a,1F2F21>2a}.

一

*JJ

图形1--

标准X2y2.4-^=i

方-y+-y=1K=2px

方程a-b1(以>b>o)a*b2(a>0,bX))

程

参数fx=acos0Jx=asecJ[x=2pt2

Ij=bsin8\y=btan6卜=2口”为参数)

方程(参数所离心角)(参数所离心角)

范围-a<x<af—b<y^bx|Aa,yeRx>0

中心原点0(0,0)原点O(0,0)

(a,0),(-a,0).(0,b).

顶点(a,0),(—a,0)(0,0)

(05-b)

x轴，y轴；x轴，y轴；

对称轴x轴

长轴长2a,短轴长2b实轴长2at虚轴长2b.

畤0)

焦点Fl(c»0).F2(­c.0)Fl(c,0)tF2(—cr0)

QQp

L7

x=±Cx=±CX一*-

准线

准线垂亶于长轴，且在准线垂直于实轴,且在两顶准线与焦点位于顶点两

椭圆外.点的内侧.ffl.且到顶点的距离相等.

Ja^b1)

焦距2c(c=2c(c='

c.・、

离心率e=£(0<e<l)<?=­(«>1)e=l

aa

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：双曲线x'/=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为>=",离心率”右.

⑷共筑双曲线：以己知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共能双曲

^-£-24-4-0

线.屋护与不4:互为共趣双曲线，它们具有共同的渐近线：a一二

W■-占r=4(4*0)—±—*0

⑸共渐近线的双曲线系方程：/&2的渐近线方程为“*如果双曲线的渐近线为

—±—-0-=

。b时，它的双曲线方程可设为a，b-

【备注2】抛物线:

、R£

(1)抛物线V=2px(p>0)的焦点坐标是(2,0),准线方程X—2,开口向右；抛物线y=-2px(p>0)

ppp_

的焦点坐标是(-5,0)，准线方程x=3,开口向左；抛物线f=2py(p>0)的焦点坐标是(0,5),准线方

P

程12,开口向上；

PP_

抛物线x'=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-2),准线方程y=2,开口向下.

2=XQ+~2

(2)抛物线N=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离2.抛物线J'=2px(p>0)上的点

|阿=。-/

M(x0,y0)与焦点F的距离2

,P_

(3)设抛物线的标准方程为P=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为彳，顶点到准线的距

£

离2,焦点到准线的距离为p.

(4)已知过抛物线J=2px(pX)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设

A(xi,yl),B(x2,y2),则弦长〔明=外+与+p或"回一启£(a为直线AB的做斜角)，)仍=-/，

叱号团网叫做焦半径).

二、常考题型

常用知识点总结

1、中点坐标公式;：X=3；*‘y=其中X」是点幺（巧,、1>3（々,为）的中点坐标.

2、弦长公式：若点4（再Ji）,56,%）在直线¥=h+H左工。）上，

则凶=际+5%=生+6,这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

⑷=J（甬-々）2+5