高三数学全程复习05第五编平面向量解三角形 教学案新人教版

第五编平面向量、解三角形

§5.1平面向量的概念及线性运算

-----8•—自主学习—-----

Q基础自测

1.下列等式正确的是（填序号）.

①a+O=a②a+b=b+a③凝+而WO@AC=~DC+AB+1BD

答案①②④D

2.如图所示，在平行四边行ABCD中，下列结论中正确的是.y----

—►—►—*—»—►—►—»—»—»—►A

®AB=DC®AD+AB=AC®AB-AD=BD@AD+CB=0

答案①②④

3.（2008•广东理，8）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点0,E是线段0D的中点,AE的延长线与CD交于

点F.若公=a,BD=b,贝ijAF=.

答案-a+-b

33

-*-»-N

4.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且A8=a,AD=b,则EE=.

答案b-la

2

5.设四边形ABCD中，有皮二工就，B.\AD\=\BC\f则这个四边形是

2

答案等腰梯形

更多成套系列资源请您访问：

谢谢您对我们的帮助支持！

——一一典例剖析一

例1给出下列命题

①向量凝的长度与向量瓦的长度相等；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；

④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量前与向量而是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上;

⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中假命题的个数为.

答案4

例2如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，

AB//DC,M、N分别是DC、AB的中点，已知获二a,

AD=b,DC=c,试用a、b、c表示8C,MN,

DN+CN.

解BC=BA+AD+^C=-a+b+c,

'：MN=MD+DA+AN,

A1D=--~DC,5A=-AD,AN=-AB,

22

—“11

MN=-ab--c.

22

DN+CN=~DM+~MN+CM+~MN=2MN=a-2b-c.

例3设两个非零向量a与b不共线，

(1)若凝=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),

求证：A、B、D三点共线；

(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

(1)证明AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),

：.BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)

=2a+8b+3a-3b

=5(a+b)=5AB.

：.~AB,而共线，

又\•它们有公共点B,

，A、B、D三点共线.

(2)解：ka+b与a+kb共线，

/.存在实数4，使ka+b=2(a+kb),

即ka+b=Aa+2kb.

(k-2)a=(2k-l)b.

Ta、b是不共线的两个非零向量，

/.k-A=/lk-l=O,k2-l=O.

.,.k=±l.

--*1-*

例4（14分）如图所示，在△ABO中,OC=-OA,

4

—»1—►—►

OO=±O3,AD与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.试

2

用a和b表示向量OM.

解设=ma+nb,

贝(JAM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.

—>—»—»1—»—*i

AD=OD-OA=-OB-OA=~a+-b.

22

义,：A、M、D三点共线，...俞'与IB共线.

存在实数t,使得而=t石，

即(m-1)a+nb=t(-a+—b).4分

2

(m-l)a+nb=-ta+—tb.

2

<t，消去t得：mT=-2n.

n=—

[2

即m+2n=l.①6分

—»—*—►ii

又CM=OM-0C=ma+nb-—a=(m-—)a+nb.

44

—>,—*■—0,11

CB=OB-OC=b--a=~-a+b.

44

又：C、M、B三点共线，而与无共线.10分

.1.存在实数七,使得a7=心在，

a

.zis,.+r1V

..(,m--)a+nb=ti-----+

4I4)

1I

m-----=------1]

..<44,

n=t[

消去ti得,4m+n=l②12分

由①②得m=—,n=—,

77

—*13

・•・OM=-a+-b.14分

77

—知能迁移一----

1.下列命题中真命题的个数为.

①若a|=|b|,则a=b或a=b;

②若凝=灰，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点;

③若a=b,b=c,则a=c;

④若a〃b,b〃c,则a〃c.

答案1

2.在AOAB中，延长BA到C,使AC=BA,在0B上取点D,

1---►---*

使DB=—OB.DC与0A交于E,设OA=a,OB-b,用a,B

3

b表示向量OC,DC.

解因为A是BC的中点，

^^.OA=-(OB+OC),^\iOC=2OA-OB=2ab；

2

—*,—*■—►—►2—*■25

DC=OC-OD=OC--OB=2a-b--b=2a--b.

333

3.若a,b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a,tb,'(a+b)三向量的终点在同一

3

条直线上？

解设0A=a,OB=tb,0C--(a+b),

AB=OB-OA=tba.

要使A、B、C三点共线，只需AC二；IA3

91

即一一a+—b=4tb-2a

33

・••有

.•.当t=L时,三向量终点在同一直线上.

2

4.如图所示，在aABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，

且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP：PM的值.A

解方法一设e尸前，©2二K,/I

贝U丽7二就+%=-3e2-ei,/I

赢二就+国=2ei+©2./P

因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数//、4,使

=2AM=-32e2-/lei,

BP—nBN—2fj,©i+〃**•BA—BP—AP—(X+2〃)e[+(34+〃)©2,

另外互二就+曰=2ei+3e2,

r[一

〃

[32+=3A=3

—*3—*■

BP=-BN,AAP：PM=4：1.

方法二设=

—»—*1—*3—»

AM=(AB+AC)=-AB+-AN,

—*,A,—*,3—*

・・・AP=—AB+-2AN.

VB>P、N三点共线，Z.AP-AB=t(AB-AN\

：.A尸二(1+t)AB-tAN

—/=—Z

234

A—+-4=二，AAP：PM=4：1.

245

活页作业一•《＞♦—

一、填空题

1.下列算式中正确的是（填序号）.

@AB+BC+CA=O®AB-AC=BC®0-AB=0@A(〃a)=4•〃•a

答案①③④

2.(2008•全国I理)在△ABC中，AB=c,AC=b,若点D满足丽=2而，则行（用b,c表示）.

答案鸿。

3.若耗=36,CD=-5ei,Ji.|AD|=lBCI.则四边形ABCD是.

答案等腰梯形

4.如图所示，平面内的两条相交直线0P,和03将该平面

分割成四个部分I、II、III、IV（不包括边界）.若丽

=aOP,+bOP:,且点P落在第HI部分，则实数a,b满足

a0,b0.（用或"="填空）

答案＞＜

5.设协=x3i+y云，且A、B、C三点共线（该直线不过端点0）,则x+y=.

答案1

6.已知平面内有一点P及一个AABC,若超+港+定=凝，则点P在线段上.

答案AC

7.在AABC中，C4=a,CB=b,M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P,则X?可用a、b表示

为.

答案二a+。

33

8.在4ABC中，已知D是AB边上一点,若石二2而，丽」5+4贝”二

3-

答案I

二、解答题

—>■2—*,—►—►

9.如图所示，AABC中，AO=£AB,DE〃BC交AC于E,AM是BC边上中线，交DE于N.设AB=a,AC=b,

3

用a,b分别表示向量旋，BC,DE,DNAM,AN.

DEIIBC

—,■2—*■2

解—*,2—*,z^AE=-AC=-b.

AD=-AB33

3

BC=AC-AB=b—a.

—>2—>9

由△ADEsaABC,得。E=&=2(b-a).

33

由AM是aABC的中线，DE〃BC,得

DN=-DE-(b-a).

23

------*,---->------►1-----*-1

ITIJHAM=AB+BM=a+-BC=a+-(b-a)

22

；(a+b).

\ADNs\ABM

—►2-----»1

2—*,>=>AN=—AM=—(a+b).

AD=-AB33

3

—*■2—*,

10.如图所示，在4ABC中，D、F分别是BC、AC的中点,AE=-AD,AB=a,AC=b.

3

(1)用a、b表示向量AD、AE、AF>BE、BF；

(2)求证：B、E、F三点共线.

—*,1—►

(1)解延长到G,使AD=LAG,

2

连接BG、CG,得到ABGC,

口

所以AG=a+b,

——►1——►1

AD=-AG=-(a+b),

22

—*,2—*

AE=-AD-(a+b).

33

—*1—*

AF=-ACb>

2I

BE=AE-AB=—(a+b)-a=—(b-2a).

33

BF=AF-AB=—b-a=—(b-2a).

22

—*9—*■

⑵证明由⑴可知BE、43月，所以B、E、F三点共线.

3

―>1―►——►

11.已知:任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点,求证:EF=-(AB+DC).

2

证明方法一如图,

•・・E、F分别是AD、BC的中点,

:.EA+ED=QfFB+FC=Qf

XVAB+BF+FE+EA=Q,

EF=AB+BF+EA①

同理E/=EO+OC+CF

由①+②得,

2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC.

—*1—►—►

Z.EF=-(AB+DC).

2

方法二连结EB,EC,

则EC=ED+DC,

EB=EA+AB,

—»1—►—*

:.EF=-(EC+EB)

2

=-(ED+DC+EA+AB)

2

i—*—»

=-(AB+DC).

2

12.已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且与7二x获，AN=)/AC,

求工+工的值.

xy

解根据题意G为三角形的重心,

----*1----►----»

故AG二士(AB+AC),

3

A4G=AG-AM=-(AB+AC)-xAB

3

i―>i——»

=(--x)AB+-AC,

33

GN=AN-AG=yAC-AG

——►1—►—»

=yAC--(AB+AC)

3

i—*i—►

二(y--)AC--AB,

33

由于标与加共线，根据共线向量基本定理知

—*,—»1—►1—►

MG=AGN=(――x)AB+-AC

33

二4(y-^)AC-jAB

1

----x

一3

3

=>x+y-3xy=0两边同除以xy得,+J_=3.

%y

§5.2平面向量基本定理及坐标表示

自主学习

Q基础自测

13

1.已知平面向量a=(1,1),b=(l,-1),则向量一a--b二

22

答案(-1,2)

2.(2008•安徽理)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若获二(2,4),就二(1,3),则丽=.

答案(-3,-5)

3.若向量a=(l,1),b=(l,T),c=(-2,1),则c=(用a,b表示).

答案-La-3b

22

4.已知向量a=[8,5x),b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)//(2a+b),则x的值为.

答案4

5.设a=6inx,q),b=^,^-cosx^,且2〃1),则锐角x为,

答案-

4

-----i•—典例剖析—-----

例1设两个非零向量6和比不共线.

(1)如果A5二e「e2,BC=3ei+2e2,CD=-8ei-2e2,

求证：A、C、D三点共线；

(2)如果获二电+e2,BC=2e-3e2,cB=2e-ke2,且A、C、D三点共线，求k的值.

(1)证明AB=e-e2,BC=3ei+2e2,CD=-8ei-2e2,

AC=AB+BC=4ei+e2

ii—>

:——(一8©1-2a)--—CD,

22

・•・就与而共线,

又「元与而有公共点C,

:・A、C、D三点共线.

(2)解AC=AB+BC=(61+62)+(2ei_3e2)=3ei2e2.

••,A、C、D三点共线，

・♦・元与无共线，从而存在实数4使得元二4五,

即3e-2e2=2(2e-ke2),由平面向量的基本定理,

得「二一解之得k=:

例2已知点A(1,0)、B(0,2)、C(-1,-2),求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D

的坐标.

解设D的坐标为(x,y).

(1)ABCD,贝I」由标二丈得

(0,2)-(H))=(-1,-2)-(x,y),

即(-l,2)=(-l-x,-2-y),

f-l-x=-l

j―2—y=2/.x=0,y二一4.

・・・D点的坐标为(0,-4)(如图中的D1).

(2ADBC,贝lj由ZB=通得

(x,y)-Ql,0)-(0,2)-(-1,-2),

即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.

・・・D点坐标为(2,4)(如图中的D2).

(3ABDC,贝！|由凝二而得

(0,2)口Q\,0)=(x,y)-(~1,-2),

即(-1,2)=(x+l,y+2).

解得x=-2,y=0.

，D点的坐标为(-2,0)(如图中的D,).

综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0,-4）或（2,4）或（-2,0）.

例3(14分)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：

(1)若(a+kc)〃(2b-a),求实数k;

(2)设d=(x,y)满足(d-c)//(a+b)且|d-c|=1,求d.

解<1)V(a+kc)//(2b-a),

又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2分

2X(3+4k)-(-5)X(2+k)=0,4分

.,.k=--.6分

13

(2),/d-c=(x-<y-1),a+b=(2,4),

又(d-c)//(a+b)且|d-c|=1,

,j4(x-4)-2(y-l)=0

22，

■,[(.-4)+(y-l)=l

解得12分

14分

知能迁移—

1.如图所示，在平行四边形ABCD中，M,N分别为DC,BC的中点，已知=c,AN=d,试用c,d表示4B,

AD.

解方法一设获=a,AD=b,

贝！Ja=AN+NB=d+1-gb]

①

②

b=AM+MD=c+

将②代入①得a=d+

47

=>a=—d--c,代入②

3333

方法二设获二a,AD=b.

因M,N分别为CD,BC的中点,

—*1----►i

所以BN二一b,DM=-a,

22

L12

c=b+—aa=y(2d-c)

因而2

2

d」=a+—ILbb=y(2c-d)

2

—*■9—*9

IPAB=-(2d-c),AD=-(2c-d).

33

2.已知A(-2,4)、B(3,-1)>C(-3,-4)且函二3五，CN=2CB,求点M、N及曲的坐标.

解VA(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4),

：.CA=(1,8),CB=(6,3),

ACM=^CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).

设M(x,y),则有应=(x+3,y+4),

.(x+3=3.(x=0

[V+4=24[y=20

点的坐标为(0,20).

同理可求得N点坐标为(9,2),因此MN=(9,-18),

故所求点M、N的坐标分别为(0,20)、(9,2),

MN的坐标为(9,-18).

3.已知A、B、C三点的坐标分别为(T,0)、(3,T)、(1,2),并且AE=±AC,BF=-BC.

33

求证：~EF//~AB.

证明设E、F两点的坐标分别为(x“y。、(x2,y:),则依题意，得就=(2,2),BC=(-2,3),

AB=(4,-1).

BC

AE=(xi,yi)-(~1,0)=(g'g)

BF=(x2,y2)-(3,-l)=

••・（才1,丫1）=（卷,等）+（-1，0）=（—^，春），

（T2，V）=（--^~，1）+（3,—1）=（与，。）。

・，・石尸=（&,M）一（工i,y）=（毋,,

又,.・15=（4,一1）,

4X（一件）一（—1）X,=0,・,•丽〃而

活页作业―

一、填空题

1.已知向量a=(2,3),b=(T,2),若ma+nb与a-2b共线，则'=.

n

答案」

2

2.设a、b是不共线的两个非零向量，已知标=2a+pb,BC=a+b,而二a-2b.若A、B、D三点共线，则

P的值为.

答案T

—»—»1—►

3.已知向量OM=(3,-2),ON=(-5,-1),则上MN二

2

答案n

4.(2007•北京文)已知向量a=(2,4),b=(l,1),若向量b_L(a+Xb),则实数无的值是.

答案-3

5.(2008•辽宁文)已知四边形ABCD的顶点A(0,2)、B(T,-2)、C(3,1),且前=2r，则顶点D的

坐标为______.

答案年

6.设0WeV2%,已知两个向量函二(cos。，sin。)，丽=(2+sin。，2-cos。)，则向量袍长度的

最大值是.

答案3拒

7.(2008•全国H文)设向量a=(l,2),b=(2,3),若向量Xa+b与向量c=(-4,-7)共线，则;1=.

答案2

8.(2008•荷泽模拟)已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m〃n(a>0,b>0),则ab的最小值是.

答案16

二、解答题

9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).

设蕊=a,BC=b,CA=c,且而'=3c,CN=-2b,

(1)求：3a+b_3c；

(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.

解由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(l,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)

=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).

(2)Vmb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

.•尸…=5，解得卜=7

[―3m+8〃=—5[n=—1

10.若a,b为非零向量且a〃b,2i,且；h&W0.

求证：储a+42b与九a-；12b为共线向量.

证明设a=(xi,yi),b=(x2,y2).

・・・a〃b,bWO,aWO,，存在实数m,使得a二mb,

即a二(Xi,yO—(mx2,my2),

/.2ia+22b=((m21+22)x2,(m/i+22)y2)

=(m21+22)(x2,y2)

同理埋a-42b=(m21-22)(x2,y2),

A(21a+A2b)//(2ia-42b)//b,

而bWO,「•(A.1a+X2b)〃(413—42b).

11.ABCD中，A(1,1),AB=(6,0),点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.

(1)%R=(3,5),求点C的坐标；

(2)当闫时，求点P的轨迹.

解⑴设点C坐标为(Xo,y0),

^AC=AD+AB=(3,5)+(6,0)=(9,5),

即(xoT,y(»T)=(9,5),

Axo=lO,y0=6,即点C(10,6).

(2)由三角形相似，不难得出正二2而

设P(x,y),则

BP=AP-'AB=(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1),

'AC=AM+^C=-AB+3MP

2

=3AP-AB=(3(x-1),3(y-1))-(6,0)

=(3x-9,3y_3)>

VIAB|=|ADIABCD为菱形，

.,.AC±BD,口

：.AC±BP,即(x-7,y-1)•(3x-9,3y-3)=0.

(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0,

.,.x2+y2-10x-2y+22=0(yWl).

(x-5)2+(y-1)z=4(yWl).

故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=l的两个交点.

12.A(2,3),B(5,4),C(7,10),泰=获+B就.当；I为何值时，

(1)点P在第一、三象限的角平分线上；

(2)点P到两坐标轴的距离相等？

解(1)由己知凝=(3,1),AC=(5,7),

则AB+4AC=(3,1)+2(5,7)=(3+52,1+72).

设P(x,y),则A尸二(x-2,y-3),

.(x-2=3+5A.Jx=5+52

>[^-3=1+72，*[y=4+72，

・・♦点P在第一、三象限的角平分线上,

：.x=y,即5+54=4+72,4」.

2

(2)若点P到两坐标轴的距离相等，

则|x|=|y|,即|5+52|=|4+72I,

13

・・・X二一或"一.

24

§5.3平面向量的数量积

自主学习—

Q基础自测

1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为.

答案—

5

2.在边长为1的正三角形ABC中，设AB=c,AC=b,则a•b+b・c+c・a=.

答案-

2

3.向量a=(cosl5。，sinl5°),b=(-sinl5°,-cosl5°)，贝|a-b|的值是.

答案73

4.(2009•常州市武进区四校高三联考)已知向量a=(2,l),b=(3,4)(/>0),若(2a-b)_Lb,则;1=.

答案3

5.(2008•浙江理)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)•(b-c)=0,贝(j|c|的

最大值是.

答案V2

一♦—典例剖析一♦«♦■

例1已知向量a=^cos-^-x,singxj

b=(cos3一sin二]且xe「出二.

I22；L34j

(1)求a・b及|a+b|;

(2)若f(x)=a・b-1a+bI，求f(x)的最大值和最小值.

343x

解(1)a•b=cos—xcos--sin—xsin—=cos2x,

2222

(3xx.3.x\

a+b=cos-----Feos—sin—x—sin—

{2222)

=\/2+2COS2H=2Icosrd,

*/xC[----»-pJ*.,•COSJ£>0,

Ia+b|=2cosx

⑵由(1)可得千(x)=COS2X-2COSX=2COS2X-2COSXT

当cosx=工时，f(x)取得最小值为-3；

22

当cosx=l时，f(X)取得最大值为T.

例2已知a=(cosa,sina),b=(cosp,sinp)(0<a</3<TT).

(1)求证：a+b与a-b互相垂直；

(2)若ka+b与a-kb的模相等，求尸-a.(其中k为非零实数)

(1)证明(a+b)•(a-b)=a2-b2=|a|2-1b|2

=(cos2a+sin2a)~(cos20+sin20)=0,

Aa+b与ab互相垂直.

(2)解ka+b=(kcosa+cos°,ksincr+sin0),a-kb=(cosa-kcosp,sina-ksin0),

+b|二J左2+2kcos(j3—OL)+1,

|a-杜FJl-2左cos0—a)+左2.

v|Z:a+b|=|a-Z:b|,

二.2kcos(尸-a)=-2kCOS(J3-a).

又kw0,cos(夕-a)=0.

jr

而0Va<P<7i,p-a--.

2

例3(14分)设两个向量e1,e2满足|ej=2,|62|二1,61与62的夹角为?，若向量2t61+7©2与61+七©2的夹

角为钝角，求实数t的范围.

解由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，

得气产2%+制〈0,3分

2

|与+702眄+e2|

即(2tei+7ez)•(ei+te2)<0,

化简即得：2t°+15t+7c0,

解得-7<tV」，7分

2

当夹角为万时，

也有(2tei+7e2)•(ei+te2)<0,

但此时夹角不是钝角，2te1+7e2与e】+te2反向.9分

设2tei+7e2=2(ei+te2),2<0,

12分

14分

—知能迁移一*

1.向量a=(cos23°,cos67°)，向量b=(cos68°,cos22°).

⑴求a・b；

(2)若向量b与向量m共线，u=a+m,求u的模的最小值.

解(1)a,b=cos23°•cos68°+cos67°•cos22°

=cos23°-sin220+sin23°-cos22°=sin45°=—.

2

(2)由向量b与向量m共线，

得£R),

u=a+m=a+2b

=(cos23°+2cos68°,cos67°+2cos22°)

=(cos23°+2sin22°,sin23°+2cos22°),

|U|2=(COS23°+2sin22°)2+(sin23°+2cos22°)2

2+1=L+中)+；,

.•.当4=-也时，|u|有最小值为变.

22

2.已知平面向量a=1-；,呼j,b=(-Vi,T).

⑴证明:a±b;

(2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(/-2)b,y=-ka+t2b,且x_Ly,试把k表示为t的函数.

/.a±b.

(2)解Vx±y,Ax-y=0,

即[a+(t2-2)b],(-ka+t2b)=0.

展开得-ka?+V-2)1a・b+t2(t2-2)b2=0,

Va-b=0,a2=|a|2=l,b2=|b|M,

A-k+4t2(t2-2)=0,Ak=f(t)=4t2(t2-2).

3.设a=(cosa,sina),b=(cosp,sinp),且a与b具有关系|ka+b|二方|a-kb|(k>0).

⑴用k表示a•b；

(2)求a-b的最小值，并求此时a与b的夹角.

解(1)V|ka+bjffl^Ia-kb|,

/.(ka+b)2=3(a-kb)2,且|a|二|b|二1,

即k2+l+2ka・b=3(l+k-2ka・b),

2

4ka•b=k2+l./.a,b=―—―(k>0).

4k

(2)由(1)知：Vk>0

・・・a•b的最小值为工(当且仅当k=l时等号成立)

2

设a、b的夹角为夕，此时COSO'Y5?」.

1412

JT

owew乃，，o——.

3

故a*b的最小值为工，此时向量a与b的夹角为三.

活页作业一

1.点。是三角形ABC所在平面内的一点，满足百•荷=55-OC=OC-OA,则点。是AABC的___心.

答案垂

2.若向量a,b满足|a|=l,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a^b+b^b的值为.

答案5

3.已知向量a,b满足|a|二l,|b|=4,且a・b=2,则a与b的夹角为.

4.若a与be都是非零向量，则“a-b=a-c”是＜4a±(b-c)”的条件.

答案充要

5.已知a,b是非零向量，且满足(a-2b)±a,(b-2a)_Lb,则a与b的夹角是.

答案

6.(2009•成化高级中学高三期中)已知3a+4b+5c=0,且|a|二|b|二|c|=1,则a•(b+c)=.

答案q

7.(2008•天津理，14)如图所示，在平行四边形ABCD中，

—»—»—►—►Dr

AC=Cl,2),BD=(-3,2),则AO-AC=.~TV

答案3

8.(2008•江西理，13)直角坐标平面内三点A(1,2)、B(3,-2)、C(9,7),若E、

F为线段BC的三等分点，则AE-AF

答案22

二、解答题

9.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120

⑴求证:(a-b)±c;

⑵若|ka+b+c|>l(k£R),求k的取值范围.

(1)证明(a-b)•c=a-cb•c

二|a|•|c|•cosl20°-|b|,|c|•cosl20°=0,

/.(a-b)±c.

(2)解|ka+b+c|>10Ika+b+c12>1,

<^>k2a2+b2+c2+2ka•b+2ka•c+2b•c>l.

V|ahlb|=|c|=l,且a、b、c的夹角均为120。,

/.a2=b2=c2=La,b=b•c=a,c=-—，

2

.\k2+l-2k>l,BPk-2k>0,Ak>2或k<0.

_(.4。4<9Y.2020}口口二「八兀一

10.已矢口a—sin—,cos—,b=—sin—,cos—，.B.00,一.

(333)|_3_

(1)求肯]的最值；