有限单元法原理及应用简明教程课后部分作业

有限单元法原理及应用

简明教程课后作业

学院：机械设计及其自动化

任课教师：

班级：

姓名：

学号：

时间：2011.12

第一章概述

思考与练习

思考题

1-1有限单元法求解工程结构问题的基本思想是什么？

答：有限单元法的基本思想是借助于数学和力学知识，利用计算机技术解决工程技术问题

的一种方法。从数学角度看，有限单元法的基本思想是通过离散化的手段，将偏微分方程或

者变分方程变成代数方程求解。从力学角度看，有限单元法的基本思想是通过离散化的手段,

利用单元的力学特性，把一个复杂的连续体离散成有限个单元体的组合结构。继而经数学规

划后得到一个表征整个求解域问题的线性方程组，一般只有通过计算机与相应的软件技术才

可能得到较为满意的数值解答的方法。

第二章结构几何构造分析

思考与练习

思考题

2-2什么叫计算简图？计算简图一般应如何选取？

答：对实际结构进行合理的简化，使之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计

算的几何图形。这种被抽象化了得简单的理想图形称为结构的计算简图。

选取计算简图，要求其能反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算。其选用需要

具有丰富的经验和对实际结构部件的全面了解。

2-7总结自由度计算公式，并说明公式使用条件，注意点及各符号的物理意义。

答：1.桁架自由度计算公式：

设桁架中结点数为j，杆件数为g，支座连杆数为z,则：

平面桁架W=2j-g-z

空间桁架W=3j-g-z

注：上述两公式仅适用于桁架结构。J包括所有校结点在内，但不包括支座连杆与基础相

连的钱。

2.平面混合结构的自由度计算公式：

设结构的刚片（杆件）数为m,单校数为j,支座连杆数为z,贝

W=3m-2j-z

注：j为单较的数目，如遇复校应换成单较数，不完全钱相当于一个单校。j包括所有

刚片间相连的钱，而不包括刚片与支座连杆相连的较。

习题

2-1计算图示结构的自由度，并作几何结构分析。

由平面混合结构的自由度计算公式得：

W=3m-2j-z=3*4-2*3-5=1

此结构是几何可变结构。

结构组成分析如下：将基础及在基础上增加的由支座连杆①②组成的二元体一起看成刚片

I，显然，它与其他刚片的虚锐位于同一直线上，故此结构是几何可变结构。

第三章杆系结构静力分析的有限单元法

思考与练习

思考题

3-3位移函数应当满足哪些要求？

答：为保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求。

单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一

次项。最高项项数视单元类型而定。

单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。

单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性，即所谓的

相邻单元在公共边界处的位移连续性，单元间的位移协调性，就是要求单元之间既不会

出现开裂也不会出现重叠的现象。

3—9整体刚度矩阵是怎样形成的？有何特点？

答：整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号的顺序组成的行和列的原则,

将全部单元刚度矩阵扩展成nXn方阵后对号入座叠加得到。

其特点如下：1.［胃］中主子块后”由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠加求的,

即Kn=Xg；2.当结点i,j为单元e的相关节点时，［R］中副子块后,7为该单元e相应的

副子块，即兄尸襦；3.当结点i,j为非相关结点时，［团中副子块瓦，为零子块，即后片⑼；

4.［R］仅与各单元的几何特性、材料特性，即A,1,1,E等因素有关；5.［R］为对称矩阵，

6.［欠］为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的

边界约束条件；7.［%］为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与节点编

号有关，最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加1与结点自由度数的乘积，结点号差越大

半带宽也就越大；8.整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确的将结点位移求出，

进而求出结构的应力场。

习题

3-2写出图示钢架结构的结点位移列向量和结点力向量。

NODALSOLUTIONAN

DEC62011

STEP=1

20:10:39

SUB=1

TIME=1

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX=.907363

SMX=.907363

为7333435363738324041124344454g474849505142

1114

1015

16

17

18

19

20

21

22

13

0.201636.403273.604909.806545

.100818.302454.504091.705727.907363

图一刚架的位移云图

LINESTRESS

DEC62011

STEP=1

20:14:05

SUB=1

TIME=1

11

MIN=-.214E+07

ELEM=30

MAX=856761

-.214E+07-.148E+07-809495-142993523510

-.181E+07-.114E+07-476244190258856761

图二刚架的弯矩图

图三刚架的剪力图

LINESTRESS

DEC62011

STEP=1

20:18:32

SUB=1

TIME=1

33

MIN=-.141E+ll

ELEM=30

MAX=.565E+10

-.141E+11-.974E+10-.534E+10-.943E+09.345E+10

-.119E+11-.754E+10-.314E+10.126E+10.565E+10

图四刚架的弯曲应力图

3—7用有限元法对图示结构进行分析。

a.

图桁架的位移云图

b.

1

NODALSOLUTIONAN

DEC62011

STEP=1

20:47:19

SUB=1

TIME=1

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX=.02718

SMX=.02718

.00302.00906.0151.02114.02718

图一刚架的位移云图

LINESTRESSAN

DEC62011

STEP=1

20:50:42

SUB=1

TIME=1

11

MIN=-.155E+07

ELEM=165

MAX=.161E+07

ELEM=151

-.155E+07-848811-1472905S4232.126E+07

-.120E+07-498050203471904993.161E+07

图二刚架的弯矩图

1

LINESTRESSAN

DEC62011

STEP=1

lllllllllllllll20:51:29

SUB=1

TIME=1

22

MIN=-561376

ELEM=76

MAX=676467

ELEM=153

-561376-286299-11223263853538929

-423838-148761126315401391676467

图三刚架的剪力图

LINESTRESSAN

DEC62011

STEP=1

20:52:02

SUB=1

TIME=1

33

MIN=-.744E+08

ELEM=1€5

MAX=.771E+08

ELEM=151

-.744E+08-.407E+08-.707E+07.266E+08.603E+08

-.576E+08-.239E+08.977E+07.434E+08.771E+08

图四刚架的弯曲应力图

图一刚架的位移云图

图二刚架的弯矩图

图三刚架的剪力图

LINESTRESSAN

DEC62011

STEP=1

21:40:26

SUB=1

TIME=1

33

MIN=".167E+08

ELEM=241

MAX=.165E+08

ELEM=242

-,167E+08-.932E+07-.193E+07.545E+07.128E+08

-.130E+08-.S€3E+07.176E+07.915E+07.165E+08

图四刚架的弯曲应力图

第四章平面结构问题的有限单元法

思考与练习

习题

4-2用有限单元法对图示结构进行分析

NODALSOLUTION

STEP=162011

SUB=118:53:12

TIME=1

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX=.686E-03

SMX=.686E-03

0.152E-03.305E-03.457E-03.610E-03

.762E-04.229E-03.381E-03.533E-03.686E-03

图一面板的位移变形云图

NODALSOLUTIONAN

STEP=1DEC62011

18:54:06

SUB=1

TIME=1

SEQV(AVG)

DMX=.686E-03

SMN=1507

SMX=.505E+08

MX

1507.112E+08.225E+08.337E+08.449E+08

.562E+07.168E+08.281E+08.393E+08.505E+08

图二面板的等效应力云图

第五章等参元

思考与练习

习题

5-1用有限单元法对图示结构进行分析和比较

NODALSOLUTION

STEP=172011

12:37:46

SUB=1

TIME=1

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX.272E-04

SMX.272E-04

0.604E-05.121E-04.181E-04.242E-04

.302E-05.906E-05.151E-04.211E-04.272E-04

图一面板的位移变形云图

NODALSOLUTIONAN

STEP=1DEC72011

SUB=1MN12:38:43

TIME=1

SEQV(AVG)

DMX=.272E-04

SMN=90.708

SMX=.127E+08

90.708.283E+07.565E+07.848E+07.113E+08

.141E+07.424E+07-707E+07.989E+07.127E+08

图二面板的等效应力云图

b.

NODALSOLUTION

STEP=1

SUB=1

TIME=1

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX=.247E-04

SMX=.247E-04

0.548E-05.110E-04.164E-04.219E-04

.274E-05.822E-05.137E-04.192E-04.247E-04

图一面板的位移变形云图

图二面板的等效应力云图

第六章空间问题的有限单元法

思考与练习

习题

6-1用有限单元法对图示结构进行分析

b.

图一轴承座的位移云图

NODALSOLUTIONAN

STEP=1DEC72011

SUB=111:56:23

TIME=1

SEQV(AVG)

DMX=.103E-05

SMN=34.263

SMX=.305E+07

34.263677015.135E+07.203E+07.271E+07

338525.102E+07.169E+07.237E+07.305E+07

The3Dmodel

图二轴承座的应力云图

第七章轴对称旋转单元

思考与练习

习题

7-1用有限单元法对图示截面球体进行分析

NODALSOLUTIONAN

DEC72011

STEP=1

SUB=119:45:32

TIME=1

USUM(AVG)

RSYS=0

0.232E-06.465E-06.697E-06.929E-06

.116E-06.348E-06.581E-06.813E-06.105E-05

图一截面球体的位移云图

第八章板壳单元

思考与练习

习题

8—2用有限单元法对图示结构进行分析

NODALSOLUTION

STEP=1DEC72011

20:49:52

SUB=1

TIME=1

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX.183E-03

SMX.183E-03

.408E-04.815E-04.122E-03.163E-03

.204E-04.612E-04.102E-03.143E-03.183E-03

图一板壳结构的位移云图

NODALSOLUTIONAN

DEC72011

STEP=1

20:50:41

SUB=1

TIME=1

SEQV(AVG)

DMX=.183E-03

SMN=11065

SMX=.228E+08

11065.507E+07.101E+08.152E+08.202E+08

.254E+07.759E+07.126E+08.177E+08.228E+08

图二板壳结构的应力云图

第九章结构动力分析的有限单元法

思考与练习

思考题

9-1写出多自由度系统的振动方程，并对式中的向量及矩阵的物理意义加以解释。

答：多自由度系统的振动方程为：

["]{6}+[C]{5}+[K]{5}={尸⑺}

式中：为结构的质量矩阵；[C]为结构的阻尼矩阵；[K]为结构的刚度矩阵；{5}

为加速度列向量；{5}为速度列向量；{3}为位移列向量；{尸⑺}为激振力列向量。

习题

9—1对图示结构进行模态分析。

1

NODALSOLUTIONAN

DEC72011

STEP=2

21:14:38

SUB=1

FREQ=16.48

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX=.19777

SMX=.19777

MX

,______________——

,3NX

_________

0043949.087898.131846.175795

.021974.065923.109872.153821.19777

图一一阶位移云图

图二一阶应力云图

NODALSOLUTIONAN

DEC72011

STEP=2

21:18:28

SUB=4

FREQ=103.781

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX=.195723

SMX=.195723

MX

袒X.__—

一一—一

0.043494.086988.130482.173976

.021747.065241.108735.152229.195723

图三二阶位移云图

图四二阶应力云图

NODALSOLUTIONAN

DEC72011

STEP=2

21:20:41

SUB=3

FREQ=55.298

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX=.121E-14

SMX=.121E-14

0.270E-15.539E-15.809E-15.108E-14

.135E-15.405E-15.674E-15.944E-15.121E-14

图五三阶位移云图

图六三阶应力云图

1

NODALSOLUTIONAN

DEC72011

STEP=2

21:22:54

SUB=4

FREQ=103.781

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX=.195723

SMX=.195723

MX

袒X

_____一一一------

0.043494.086988.130482

.021747.065241.108735.152229.195723

图七四阶位移云图

NODALSOLUTIONAN

DEC72011

STEP=2

21:22:27

SUB=4

FREQ=103.781

SEQV(AVG)

DMX=.195723

拜X

------------------------------

图八四阶应力云图

NODALSOLUTIONAN

DEC72011

STEP=2

21:23:42

SUB=5

FREQ=168.799

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX=.234E-14

SMX=.234E-14

MX

—■

_x_---—一

0.521E-15.104E-14.156E-14.208E-14

.260E-15.781E-15.130E-14.182E-14.234E-14

图九五阶位移云图

1

NODALSOLUTIONAN

DEC72011

STEP=2

21:24:10

SUB=5

FREQ=168.799

SEQV(AVG)

DMX=.234E-14

,4HX

图十五阶应力云图

NODALSOLUTIONAN

DEC72011

STEP=2

21:25:08

SUB=6

FREQ=286.127

USUM(AVG)

RSYS=0

DMX=.351E-12

SMX=.351E-12

0.781E-13.156E-12.234E-12.312E-12

.390E-13.117E-12.195E-12.273E-12.351E-12

图十一六阶位移云图

图十二六阶应力云图

第十章结构非线性分析的有限单元法简介

思考与练习

思考题

10-1非线性问题一般分为几类？如何定义的？

答：线性弹性力学的基本方程的特点为：1.本构方程为线性关系；2.几何方程保持线性

关系；3.结构原始状态的基础之上；4.结构的边界条件为线性关系。不同时满足以