甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题【含答案解析】

高一年级期中考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（为虚数单位），则虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算和复数的概念求解即可.【详解】因为，所以，所以复数的虚部为1．故选：A．2.已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由公式求出与共线的单位向量：，比对各选项选出答案即可.【详解】，，与共线的单位向量是．故选：A．3.在中，若，，，则（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】根据题意利用余弦定理运算求解.【详解】由余弦定理可得，即，解得或（舍去）．故选：D．4.某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为（）A.20 B.30 C.50 D.80【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可.【详解】某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为，则A被抽的抽样比为，所以抽出100件产品中A型号产品的件数为，故选：A5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过平方求出，判断范围，再结合求值，最后联立方程求出，结合二倍角公式即可求解.【详解】由①得，即，因为，所以，，则，即②，联立①②可得：，则.故选：C6.某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（）A.B组打分的极差小于A组打分的极差 B.B组打分的中位数为75C.A组的意见相对一致 D.A组打分的众数为50【答案】C【解析】【分析】对于A：根据折线图结合极差的定义分析判断；对于B：将数据按升序排列，结合中位数分析判断；对于C：根据方差的性质分析判断；对于D：根据题中数据结合众数的定义分析判断.【详解】对于A：观察折线图可知，小组B的极差大于小组A的极差，故选项A错误；对于B：小组B打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，所以中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；对于C：小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；对于D：小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47，所以小组A打分的分值的众数为47，故选项D错误．故选：C．7.已知、为实数，是关于的方程的一个根，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知关于的方程的两个虚根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，即可得解.【详解】因为、为实数，是关于的方程的一个根，所以，关于的方程的两个虚根分别为、，由韦达定理可得，可得，，解得，故.故选：B.8.已知是定义在R上的单调减函数，则能使成立的一个区间是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再利用辅助角公式及正弦函数的性质求出不等式的解集，最后根据集合的包含关系判断即可.【详解】解：因为是定义在R上的单调减函数，则不等式等价于，所以，令，解得，所以不等式的解集为，，因为，故时满足.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下表是某校高三（1）班三名同学在高三学年度的六次数学测试中的分数及班级平均分表．下列叙述中正确的是（）学生测试序号第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲同学138127131132128135乙同学130116128115126120丙同学108105113112115123班级平均分128.2118.3125.4120.3115.7122.1A.甲同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平B.乙同学的数学学习成绩不稳定，总在班级平均水平上下波动C.丙同学的数学学习成绩始终低于班级平均水平D.通过与班级平均分的对比，可发现丙同学的数学成绩在稳步提高【答案】ABD【解析】【分析】将每位同学的成绩与班级平均分比较，判断正误.【详解】甲同学每次成绩都高于平均分，故A正确；乙同学3次成绩高于平均分，3次成绩低于平均分，故B正确；丙同学第6次成绩高于平均分，故C正确；丙同学成绩逐渐提升，且第6次成绩高于平均分，故D正确.故选：ABD.10.若函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于对称D.函数的图象关于点对称【答案】BCD【解析】【分析】化简的解析式，然后根据三角函数的周期性、单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】所以最小正周期为，A错误；当，则，故在上递增，B正确；由，故是的一条对称轴，C正确；由，故是的一个对称点，D正确.故选：BCD11.下列说法中错误的有（）A.若，，则B.已知向量，，则不能作为平面向量的一个基底C.已知，，若，则实数m的值为1D.是所在平面内一点，且满足，则是的内心【答案】AC【解析】【分析】举出反例说明A选项错误；由，说明，则不能作为平面向量的一个基底，故B选项正确；由两个向量垂直所适合的公式，求出，故故C选项错误；由题意证明出是的内心，故D选项正确．挑选错误选项即可.【详解】对A选项，若，则不共线的，也有，，故A选项错误；对B选项，，则，则不能作为平面向量的一个基底，故B选项正确；对C选项，，，若，则，得，故C选项错误；对D选项，因为，由可知，垂直于的外角平分线，所以点在的平分线上，同理点在的平分线上，点在的平分线上，所以是的内心．故D选项正确．故选AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角、、的对边分别为，，，若，，则=_______.【答案】.【解析】【分析】由可以求出，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，因为，由正弦定理得：，因为，所以.故答案为：.13若，则___________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.14.已知向量，满足，，则最大值为________，最小值为________．【答案】①.②.##【解析】【分析】利用整体法得到，再利用向量数量积的运算法则，结合三角函数的值域即可得解.【详解】，，设和的夹角为，，又，，当时，取得最大值，即取最大值；当时，取得最大值，即取最小值.故答案为：；．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？（1）实数；（2）纯虚数；（3）在复平面内表示的点位于第四象限．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）若为实数，可知虚部为0，列式求解即可；（2）若为纯虚数，可知虚部不为0，实部为0，列式求解即可；（3）由题意可知虚部小于0，实部大于0，列式求解即可.【小问1详解】若为实数，则，解得或．【小问2详解】若为纯虚数，则，解得．【小问3详解】若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得．16.已知函数.（1）将函数化为的形式，其中，，，并求的值域；（2）若，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式化简可得，根据三角函数的值域可得答案；（2）由求出，由的范围求出，由展开代入可得答案.【小问1详解】，∵，∴；【小问2详解】由，可知，∵，∴，∴，∴17.上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计（若该校全体学生的成绩均在分），按照，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取8人，则抽得分数在的人数为3人．（1）求频率分布直方图中的，的值；并估计本次考试成绩的平均数（以每一组的中间值为估算值）；（2）该高三数学组准备选取数学成绩在前的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？【答案】（1），；平均数为分（2）小明能被选取【解析】【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图即可求得，然后代入公式即可求得平均数；（2）根据题意，由条件列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设由分层抽样可得分数在的人数与分数在的人数之比为，所以，则，，又由频率分布直方图可知分数在频率为0.04，分数在的频率为0.06，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.2，分数在的频率为0.3，分数在的频率为0.14，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.06．则平均数为分.小问2详解】由题意可知分数在的频率为6%，所以前5%在该组，不妨设第5%名的分数为，则可得等式为，∴，∵，故小明能被选取.18.如图，在中，，边上的两条中线，相交于点，且，，．（1）求的大小；（2）求的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，边上的两条中线相交于点,可得，得到；（2）表示出，求解，，即可求解的余弦值.【小问1详解】为的中点，，．，，，，．又，．【小问2详解】为的中点，，，，，又与向量，的夹角相等，故的余弦值为．19.已知，，分别为三个内角A，，的对边，．（1）求证：；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．