高考数学一轮复习专题训练：解三角形（含详细答案解析）

第五单元解三角形（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，由正弦定理，可得．故选D．2．若△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则C=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】角A，B，C的对边分别为a，b，c，故得到，故角，故答案为B．3．在中，若，，，则其面积等于（）A． B． C．28 D．12【答案】A【解析】方法一：由余弦定理，得，所以，所以．故选A．方法二：海伦-秦九韶公式，其中，所以，故选A．4．在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形【答案】B【解析】因为，所以，所以，即，因为，故，故，所以，为直角三角形，故选B．5．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（）A． B．(3，5) C． D．【答案】A【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则保证2所对应的角和a所对应的角均为锐角即可，即，故答案为A．6．在中，，是边上一点，，，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，在△ADC中，由余弦定理可得，则，在中，由正弦定理可得，即，据此可得，故选D．7．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（）A． B． C．60m D．20m【答案】D【解析】，，，由正弦定理得，，，故选D．8．在中，，，，为所在平面内一点，且，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知，则，则，所以，故选D．9．若满足，则为（）A．等边三角形 B．有一个内角为的直角三角形C．等腰直角三角形 D．有一个内角为的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理可知，又，所以，，有．所以．所以．所以为等腰直角三角形．故选C．10．在中，已知，，，如果有两组解，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，则，解得．故选A．11．在中，，向量在上的投影的数量为，，则（）A．5 B． C． D．【答案】C【解析】∵向量在上的投影的数量为，∴．①∵，∴，∴．②由①②得，∵为的内角，∴，∴．在中，由余弦定理得，∴．故选C．12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，，，，所以，因为，，所以．故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的内角，，的对边分别是，，．已知，，，则________．【答案】【解析】由正弦定理，得，又，则，，，本题正确结果．14．已知的边，，的对角分别为，，，若且，则角的大小为_____．【答案】【解析】由正弦定理得，即，，，又，，，由，得，，即，，本题正确结果．15．如图，一栋建筑物AB高m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．【答案】60【解析】由题意可知：，，由三角形内角和定理可知．在中，．在中，由正弦定理可知：，在中，．16．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的最大值为______．【答案】【解析】，由余弦定理可知，，，当且仅当时取等号，，本题正确结果．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，（1）求的值；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，，，所以，，由正弦定理可得，．（2）．18．（12分）在中，分别是角，，的对边，且．（1）求的值；（2）若，且，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以，又，所以，．（2）在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为．19．（12分）如图：在平面四边形中，已知，且，，．（1）求；（2）求四边形的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，由余弦定理得．在中，由余弦定理得：．∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）由（1）得，∴．20．（12分）已知向量，，．（1）求函数的最小正周期；（2）在中，，，若，求的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，所以的最小正周期．（2）由题意可得，又，所以，所以，故．设角，，的对边分别为，，，则，所以，又，所以，故，解得．所以，的周长为．21．（12分）如图，在等腰梯形中，，，，，梯形的高为，是的中点，分别以，为圆心，，为半径作两条圆弧，交于，两点．（1）求的度数；（2）设图中阴影部分为区域，求区域的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设梯形的高为，因为，，所以．在中，由正弦定理，得，即，解得．又，且，所以．（2）由（1）得．在中，由余弦定理推论，得，即，解得，（舍去）．因为，所以．22．（12分）如图，在平面四边形中，，，．（1）求对角线的长；（2）若四边形是圆的内接四边形，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，，由正弦定理得，即．（2）由已知得，，所以，在中，由余弦定理可得，则，即，所以，当且仅当时取等号．第五单元解三角形（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在中，若，，，则角等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，所以，所以，因，所以，故为锐角，所以，故选A．2．若△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，b=3，c=4，则cosC=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】a=2，b=3，c=4，根据余弦定理得到，故答案为A．3．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则△ABC的面积为（）A．2 B． C．4 D．【答案】D【解析】因为，，，所以由余弦定理，可得，所以△ABC的面积为．故选D．4．△ABC中，，，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】△ABC中，，，，故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形．故答案为D．5．钝角△ABC中，若，，则最大边的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为钝角△ABC，所以，，，又因为，，故选A．6．如图，在△ABC中，，D是边上一点，，，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由余弦定理可得，，，得到，故选B．7．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知：，，，，由正弦定理，得，即河流的宽度，本题正确选项D．8．已知的面积为，则角的大小为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，又的面积为，，则，又，，故选D．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】，，，因为，所以，，从而的面积为，故选A．10．已知的内角，，的对边分别为，，，为角的角平分线，交于，，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，由正弦定理得，即，解得，又由，所以，则，所以，又因为，所以为等腰三角形，所以，故选A．11．已知在中，，，分别为内角，，的对边，，，则周长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据三角形正弦定理得到，变形得到，因为，，，，故答案为C．12．在平面四边形中，，，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，平面四边形中，延长BA、CD交于点E，∵∠B＝∠C＝75°，∴△EBC为等腰三角形，∠E＝30°，若点A与点E重合或在点E右方，则不存在四边形ABCD，当点A与点E重合时，根据正弦定理，算得，∴，若点D与点C重合或在点C下方，则不存在四边形ABCD，当点D与点C重合时∠ACB＝30°，根据正弦定理，算得，∴，综上所述，AB的取值范围为．故选D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在中，角所对的边分别为，角等于，若，则的长为_______．【答案】【解析】因为角等于，，所以由余弦定理可得，所以，故答案为．14．在中，，，，则的面积为______．【答案】【解析】，，，由正弦定理可得，解得，，，，可得，，本题正确结果．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为______．【答案】【解析】由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC=15°，由正弦定理得，△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC=30°，由正弦定理，，所以，△ABC中，由余弦定理，，解得，则两目标A，B间的距离为，故答案为．16．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为_______．【答案】【解析】因为，所以由正弦定理可得，又因为，所以由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，即，所以，故的取值范围为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，，且．（1）求边长；（2）求边上中线的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，，由正弦定理可知中：．（2）由余弦定理可知：，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：．18．（12分）已知的内角的对边分别为，若．（1）若，求；（2）若且，求的面积．【答案】（1）；（2）2．【解析】，由正弦定理可得，（1），由余弦定理，可得．（2），由勾股定理可得，．19．（12分）如图，在四边形中，，．已知，．（1）求的值；（2）若，且，求的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，由正弦定理，得．因为，所以．（2）由（1）可知，，因为，所以．在中，由余弦定理得．因为，所以，即，解得或．又，则．20．（12分）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边．角A，B，C成等差数列，，，成等比数列．（1）求的值；（2）若，求的周长．【答案】（1）；（2）的周长为．【解析】（1）角A，B，C成等差数列，，即，成等比数列，．（2）由（1）可知，即，由余弦定理可得，化简得，即，，，因此的周长为．21．（12分）某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为