第二讲椭圆的标准方程及简单几何性质（学生）

椭圆的标准方程及简单几何性质一、知识清单1．椭圆的定义平面内与两个定点的距离的和等于常数（>）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．定义拓展：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是线段F1F2。(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹不存在。（※※※）椭圆方程的推导（了解）：建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为F1（−c,0）和F2（c(x+c)2+y为了化简方程(x+c)2对方程②两边平方，得(x+c)2+y2整理，得a2−cx=对方程③两边平方，得a4−2整理得a2−c2将方程④两边同除以a2x2由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a令b=

PO=x2a2+y2b2=1椭圆的标准方程与几何性质区别焦点在哪个轴：焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.标准方程图象范围焦点焦距顶点左右顶点上下顶点左右顶点上下顶点长轴、短轴长轴，短轴对称性原点，轴，轴离心率离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近,椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近0,椭圆越圆。通径（※）（过焦点且垂直于长轴的弦）准线方程（※）三、常用方法椭圆中的焦点三角形与焦半径xyOF1xyOF1F2MNθαβ在焦点三角形中，设，，，1．焦点三角形（1）的周长为；（2）的周长为；（3）；（4）当为椭圆上顶点时，最大，最大，最大；2．焦半径（椭圆上一点到焦点的距离）（1）焦半径最大值为，最小值为，最大值为，最小值为；（2）已知是椭圆上任一点，点到左焦点对应的左准线的距离为，点到右焦点对应的右准线的距离为，则有．（椭圆的第二定义），则焦半；3.（※※※）椭圆的第二定义：椭圆上任意一点到焦点距离与该点到相应准线距离的比等于离心率e点与椭圆的位置关系焦点在x轴上焦点在y轴上点在椭圆内点在椭圆上点在椭圆外直线与椭圆的位置关系1、直线与椭圆的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数的关系；（4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；（5）代入求解．直线与椭圆相交的弦长公式1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2、求弦长的方法（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：解决椭圆中点弦问题的两种方法1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴。特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。经典讲解1.已知点，动点满足，则动点的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆2.若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．3.经过两点，的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4.（多选）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（）A．离心率为B．长轴长是C．焦距2D．焦点坐标为5.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．且6.已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（）A．B．C．D．7.在直角坐标系中，长为的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点在线段上，且有，则点的轨迹方程为8.椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上运动，则的周长为（）A．6B．C．8D．109.若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（）A． B． C． D．10.已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标为，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．11.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．12.已知是椭圆的左焦点，点在上，在上，则的最大值是（）A．B．C．D．13.已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．614.椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，是面积为的等边三角形，则=15.设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为.16.已知椭圆的离心率为，点在