不等关系与比较大小 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

不等关系与比较大小

安徽淮南第四中学2024.6教学目标素养目标1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握作差法比较大小.数学运算逻辑推理2.通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.3.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯.重点：理解不等式（组）的实际背景，掌握作差法比较大小.难点：理解不等式（组）的实际背景，掌握作差法比较大小.本章，我们将在初中学习的基础上，通过具体的实例理解不等式，认识不等关系与不等式的意义与价值；在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要不等式--基本不等式；通过从实际情景中抽象一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式的概念，并利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式相关的问题，从而进一步体会函数观点统一方程和不等式的数学思想方法。

情

境

导

入在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系快与慢问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？60≤v≤120(1)某段高速公路限速(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质含量p应不少于2.3%；(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边ABCabca+b＞ca-b＜c(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.CD＜CE

以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.接着，就可以用不等式研究相应问题了.CABDE┏知识点一

不等关系与不等式在数学中，我们用不等式来表示不等关系.文字语言数学符号文字语言大于＞大于，高于，超过小于＜

小于，低于，少于大于或等于≥至少，不少于，不低于小于或等于≤至多,不多于,不超过不等式a≥b或a≤b的含义(1)不等式a≥b含义是指“a>b,或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.(2)不等式a≤b含义是指“a<b,或者a=b”,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确.

某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆知识点二实数大小比较的基本事实关于实数a,b的大小，有以下基本事实：如果a-b是正数，那么a＞b;如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么a＜b.基本事实也可以表示为：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.

提醒

(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,至于差的值是多少无关紧要,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式;(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小;(3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小.作差法比较两数(式)的大小的最基本和首选的方法例１比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)作差=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)整理=2＞0判定符号所以(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)．例2已知方程x2+4x+m=0两个实根为x1，x2，将A=x12+x22，B=x1x2(x1+x2)表示为m的代数式，并比较A与B的大小由题意得x1+x2=-4，x1x2=m，且△=16-4m≥0，即m≤4A=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-2m，B=x1x2(x1+x2)=-4m，A-B=16+2m，当-8＜m≤4时，16+2m＞0，A＞Bm=-8时，16+2m=0，A=Bm＜-8时，16+2m＜0，A＜B知识点三重要不等式一般地,∀a,b∈R,有a2＋b2≥

2ab

⁠,当且仅当

a＝b

⁠时,等号成立.2ab

a＝b

题型一用不等式(组)表示不等关系1.（2023·全国·高一专题练习）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是()A.5x+4y＜200B.5x+4y≥200C.5x+4y=200

D.5x+4y≤200

依题意满足50x+40y≤2000

2.某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,则题型二作差法比较两数(式)的大小（2023·全国·高一专题练习）(1)已知x＜1，比较x3-1与2x2-2x的大小(2)已知a＞0，试比较a与

的大小解析：(1)

(x3-1)-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2-x+1)因为x＜1，x2-x+1＞0，所以x3-1＜2x2-2x又a＞0，a+1＞0，若a＞1，则a-1＞0，a＞若a=1，则a-1=0，a=若a＜1，则a-1＜0，a＜若a＜0,b＜0,则p