2024年高中数学专题1-1重难点题型培优精讲空间向量及其线性运算教师版新人教A版选择性必修第一册

专题1.1空间向量及其线性运算1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)假如表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于随意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；支配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．4．共面对量(1)共面对量如图，假如表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.假如直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面对量．(2)向量共面的充要条件假如两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.【题型1空间向量概念的理解】【方法点拨】在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一样，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．【例1】下列命题中正确的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空间随意两个向量共面 D．若a→∥b→【解题思路】A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．依据共面对量基本定理即可推断出；D．利用向量共线定理可知：若a→∥b→，则存在唯一的实数λ，使使【解答过程】解：A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．依据共面对量基本定理可知：空间随意两个向量共面，正确；D．若a→∥b→，则存在唯一的实数λ，使使综上可知：只有C正确．故选：C．【变式1-1】下列命题正确的是（）A．若a→与b→共线，b→与c→共线，则aB．向量a→，C．零向量没有确定的方向 D．若a→∥b→【解题思路】从向量共线反例推断A，共面对量定理推断B，零向量的定义推断C，共线向量定理推断D．推出正确命题选项．【解答过程】解：若a→与b→共线，b→与c→共线，则a→与c→共线，假如b→向量a→零向量没有确定的方向，满足零向量的定义．若a→∥b→，则存在唯一的实数λ使得故选：C．【变式1-2】下列关于空间向量的说法中正确的是（）A．若向量a→，b→B．若|a→|=|bC．若向量AB→，CD→满足D．相等向量其方向必相同【解题思路】依据空间中随意两个向量必定共面，可推断A；依据相等向量和相反向量的定义，可推断B；依据向量不能比较大小，可推断C；依据相等向量的概念，可推断D．【解答过程】解：对于A，若向量a→，b→平行，则若|a→|=|b→|，则向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确．故选：D．【变式1-3】给出下列命题：①若空间向量a②空间随意两个单位向量必相等③若空间向量a④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有BD⑤向量a→=（1，1，0）的模为其中假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】在①中，向量a→与b→方向不愿定相同；在②中，空间随意两个单位向量的方向不愿定相同；在③中，若空间向量a→，b→，c→满足a→⋅c→=b→⋅c→【解答过程】解：在①中，若空间向量a→，b→满足|a在②中，空间随意两个单位向量的模必相等，但方向不愿定相同，故②是假命题；在③中，若空间向量a→，b→，c→在④中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定义得必有BD→=B在⑤中，由模式的定义得向量a→=（1，1，0）的模为2，故故选：C．【题型2空间向量的加减运算】【方法点拨】①巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵敏运用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必留意和向量、差向量的方向，必要时可接受空间向量的自由平移获得运算结果．【例2】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC1→ B．A1C→【解题思路】依据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．【解答过程】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1为平行四面体，∴AB→故选：B．【变式2-1】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC→A．BD→ B．DB→ C．AD→【解题思路】利用空间向量的线性运算法则求解．【解答过程】解：∵DC→∴BC→故选：C．【变式2-2】如图，在空间四边形P﹣ABC中，PA→A．PC→ B．PA→ C．AB→【解题思路】干脆利用向量的线性运算求出结果．【解答过程】解：PA→故选：A．【变式2-3】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC→ B．A1C→ C．【解题思路】依据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．【解答过程】解：由题意可得，AB→故选：C．【题型3空间向量的线性运算】【方法点拨】①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．②明确目标：在化简过程中要有目标意识，奇异利用线段的中点进行解题．【例3】在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则（）A．MN→=12C．MN→=-【解题思路】干脆利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答过程】解：在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点；所以AN→=1故MN→故选：A．【变式3-1】如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，BC→=3CEA．AB→+13C．AB→+1【解题思路】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【解答过程】解：∵BC→∴D==AB故选：A．【变式3-2】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，AG→=2GEA．13AB→-C．-23AB【解题思路】利用向量加法法则能求出结果．【解答过程】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，AG→则GF===-故选：D．【变式3-3】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CM→=MDA．AM→=12C．AQ→=1【解题思路】依据题意利用空间向量基本定理求解即可．【解答过程】解：∵，CM→=MD→1，∴CM∴AM→=AB→∵CQ→=4QA→1，∴CQ所以AQ→故选：D．【题型4空间向量的线性运算（求参数）】【例4】已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且NM→=xAB→+yAD→+zAP→，PM→=2MCA．-23 B．23 C．【解题思路】由空间向量的线性运算干脆计算即可．【解答过程】解：由题可知PC→=AB所以NM→所以x=23故选：B．【变式4-1】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=12DDA．﹣1 B．0 C．13 D．【解题思路】依据已知条件，结合空间向量及其线性运算法则，即可求解．【解答过程】解：EF====-=x即x＝﹣1，y＝1，z=1∴x+故选：D．【变式4-2】如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM=12BB1，D1N=13D1D，若MN→=xA．17 B．16 C．23【解题思路】利用向量的三角形法则、向量的运算性质即可得出．【解答过程】解：∵MN→=AN→-∴MN=-∴x＝﹣1，y＝1，z=1∴x+y+z=1故选：B．【变式4-3】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若AM→=aAB→+b①a+b+c＝2；②13＜b③a＝1；④a＝2c；⑤a＝b．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】依据空间向量的线性运算表示向量AM→【解答过程】解：如图所示：AM==AB即a＝1，b=12，c所以a+b+c＝2，①正确，13＜b＜2a＝1，③正确，a＝2c，④正确，a＝2b，⑤错误，故选：D．【题型5向量共线的判定及应用】【方法点拨】①推断或证明两向量，(≠)共线，就是找寻实数λ，使＝λ成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．②推断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))；【例5】已知非零向量a→=3m→-2n→-4p→，b→A．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13【解题思路】依据向量共线可得b→=λa→，从而可解方程组求出x，y【解答过程】解：∵m→，n→，p→不共面，故m→，∵a→∥b→，故存在λ≠即（x+1）m→+8n→+2yp→=3λ∴x+1=3λ8=-2λ则x+y＝﹣5．故选：B．【变式5-1】在四面体O﹣ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若OG→=13OA→+x4A．1 B．2 C．23 D．【解题思路】由已知可得ON→=12(OB→+OC→)，OM→=【解答过程】解：ON→=1假设G与M，N共线，则存在实数λ使得OG→与OG→=13OA解得x＝1．故选：A．【变式5-2】已知空间的一组基底{a→，b→，c→}A．2 B．﹣2 C．1 D．0【解题思路】依据m→与n→共线可得出n→=km→【解答过程】解：因为m→与n→共线，空间的一组基底所以xa所以x+y＝0．故选：D．【变式5-3】如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E→=23A1D【解题思路】法一：分别求出EF→，FB法二：求出EF→=23FB→，结合EF∩FB＝F，从而证明【解答过程】证明：【方法一】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接EF，FB，A1B．因为A1E→所以EF==2FB==3明显，EF→=2又EF∩FB＝F，所以E，F，B三点共线．【方法二】证明：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接EF，FB．由题意，A1E→易得EF→所以EF→∥FB→．又EF∩FB＝F，故E，【题型6向量共面的判定及应用】【方法点拨】①若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．②证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面对量定理，证明过程中要灵敏进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．【例6】已知M，A，B，C为空间中四点，随意三点不共线，且OM→=-2OA→+xOB→+yOC→，若M，A，A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】由共面对量定理能求出x+y．【解答过程】解：M，A，B，C为空间中四点，随意三点不共线，且OM→=-2OA→+xOB→+yOC→，则由共面对量定理得：﹣2+x+y＝1．解得x+y＝3．故选：D．【变式6-1】下列条件中，确定使空间四点P、A、B、C共面的是（）A．OA→+OB→C．OA→+OB【解题思路】要使空间中的P、A、B、C四点共面，只需满足OP→=xOA→+yOB→【解答过程】解：对于A选项，OP→=-OA→-OB→-OC→，（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3对于B选项，OP→=OA→+OB→+OC→，1+1+1＝3≠对于C选项，OP→=12OA→+12OB→对于D选项，OP→=13OA→+13OB→故选：D．【变式6-2】对于空间随意一点O，若OP→=12OA→+13A．确定不共面 B．确定共面 C．不愿定共面