高中数学：构造正方体解题

高中数学：构造正方体解题

一、将正四面体补成正方体

例1如图1,在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2,

NDAB=60°,E为AB的中点，将4ADE与aBEC分

别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则三棱

锥P-DCE的外接球的体积为（）

473

27

运

2

A

倔

8

B.等

C.

D.

AEB

解析：根据题意折叠后的三棱锥P-DCE为正四面体，

且棱长为1o以此正四面体来构造正方体，使正四面体

的各棱分别是正方体各面的对角线，如图2。则正方体

72

的棱长为T,正方体的对角线也即正方体外接球的直径

娓

的长为〒。又正方体的外接球也为正四面体的外接球，

76

所以外接球的半径为了。

所以,3#［畔)3=等

故选Co

D

图2

二、将三棱锥补成正方体

例2如图3,/1、勿是相互垂直的异面直线，MN是它

们的公垂线段。点A、B在/］上，AM=MB=MN。

(I)证明AC1NB；

(II)若NACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余

弦值。

--

解析：（I）证明略。

（II）由（I）及NACB=60°,可知NA、NB、NC两

两垂直且相等，故可将三棱锥C-ABN补成正方体

NASB-CQPR,如图4所示。连结PN,由RNJ_BC,

知PN±BCo同理，PNXACo

Q

所以PNJ_平面ABC。设垂足为O,则NOBN就是NB

与平面ABC所成角。

173

设正方体棱长为1,则°N方PN=©

_ON_76

由sinNOBN=^=7,得cos/OBN二亍

三、将三棱柱补成正方体

例3如图5,在直三棱柱ABC-A】B0中，AB=BC,D、E

分别为BBi、ACi的中点。

(I)证明：ED为异面直线BBi与AG的公垂线；

(II)设AAI=AC=72AB,求二面角Ai—AD—Ci的大

小。

A

图5

解析：(1)证明略。

(2)由题设AA1=AC=V2AB,可知AA&C为正方形，

ZABC=90°。

将棱柱补成正方体，如图6所示。易知所求二面角

ALAD-5恰是二面角的一半。作正方体的截面

ARM。由图知ARJLAC],AiCJ.CN,所以kC_L平面A^N]。

同理，AM，平面AMN1。

于是/CAM是二面角Ci-AN「Mi的平面角的补角。而

△A】CM是正三角形，/CAiM=60°,故二面角Mi-ANi-g

为120°,从而二面角片-AD-CI是60°。

CA

图6

四、由共点且两两垂直的三条相等线段构造正方体

例4如图7,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD

中，NABC=90。，SAL面ABCD,SA=AB=BC=1,

i

AD=2O

(I)求四棱锥s—ABCD的体积；

(II)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

s

图7

解析：延长AD到E,使DE=AD,以AE、AB、AS为

棱构造正方体，如图8所示。则有：

图8

_3_31_1

([)VS-ABCD=-VS-ABCE=a乂号"正方律=彳

(II)延长CD、BA相交于F,连结SF,易知

SF〃AB'。又可知AB」面CBS,所以SF_L面SBC,故

ZBSC为面SCD与面SBA所成的角。

在直角ASBC中，SB=a

BC_72

从而tanZBSC=SB=~

五、由共边且互相垂直的两个正方形面构造正方体

例5如图9,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而

且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，

点N在BF上移动，若CM二BN二a

(0<a<72</a<)o

(I)求MN的长；

(II)当a为何值时，MN的长最小；

(III)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的

二面角a的大小。

图9

解析：⑴与（II）略。

（III）以正方形ABCD、ABEF为相邻面构造正方体如

图10所示，面MNA与面MNB所成的角，即面ACE

与