人教版数学九年级下册第二十七章相似教学设计学案

27.1图形的相似

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1.理解并掌握两个图形相似的概念；了解成比例线段的概念，会确定线段的比.

2.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；会根据相

似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算.

【重点难点】

1.相似图形的概念与成比例线段的概念；相似多边形的主要特征与识别.

2.成比例线段概念；运用相似多边形的特征进行相关的计算.

知识概览图

“相似多边形的特征：对应角相等，对应边的比相等

图形的相似彳判断两个多边形相似：对应角相等，对应边的比相等

〔比例线段：有四条线段，其中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段

是比例线段

新课导引

【生活链接】如下图所示，有用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，

这些都给我们以形状相同的图形的形象.

【问题探究】这种形状相同的图形叫做相似图形，两个图形相似，其中一个图形可以看作是由

另一个图形放大或缩小得到的.那么相似的图形具有哪些性质呢？

教材精华

知识点1相似图形

我们把形状相同的图形叫做相似图形.两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形

放大或缩小得到的.例如：如图27—1所示的几组图形都是形状相同、大小不同的图形，因此这几

组图形分别都是相似图形.

图27-1

当两个图形的形状相同、大小也相同时，这两个图形也是相似图形,AA,

它们是特殊的相似图形：全等形.例如：如图27—2所示，LABC与AA'

B'C的形状相同，并且大小也相同，因此这两个三角形相似，并且这两

图27-2

个三角形全等.

拓展所谓“形状相同”，就是与图形的大小、位置无关，与摆放角度、摆放方向也无关.有

些图形之间虽然只有很小的差异，但也不能认为是“形状相同”.

知识点2比例线段

对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,

(1)式子0=£也可以写成a：左c：d,通常这里的a叫做第一比例项，力叫做第二比例项，c

bd

叫做第三比例项，d叫做第四比例项.

(2)有时在q=£中，b=c,例如：±=这时我们把力叫做a,d的比例中项，此时方=ad.

bd69

(3)在式子@=£的两边同时乘以右d,得ad=cb,在与比例有关的计算中，我们常通过上述变

bd

形转化字母之间的关系.

拓展通常情况下，四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,6的单

位一致，c,d的单位一致也可以.

知识点3相似多边形

对应边成比例，对应角相笠的两个多边形叫做相似多边形:一

拓展在多边形中，只有当“对应边成比例”、“对应角相等”这两个条件同时成立时，才能

说明两个多边形是相似多边形.

知识点4相似多边形的性质

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.

例如:若△4?。与B'C相似，则N/=N©,N彳=NW,NO=NC'，空=£=匹.

A'B'A'CB'C

拓展如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.

知识点5相似比

相似多边形对应边的比称为相似比.一

拓展相似多边形面积的比等于相似比的平方.

规律方法小结（1）相似的两个图形之间大小、方向、位置可以相同，也可以不同，但它们的

形状必须相同.如：两张大小不同的世界地图或中国地图；两面大小不同的中国国旗；同一底片、

尺寸不同的两张照片.有些图形之间很相像，但不相似，如：哈哈镜中人的形象与本人不相似；农

历十五晚上的月亮与十六晚上的月亮虽然很相像，但并不相似.

（2）学习本节知识时要充分运用转化思想，即把求证的线段之间的关系转化为易证、易求的线

段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论.

探究交流当相似比为1时，相似的两个图形之间有什么关系？

点拨相似比为1的两个图形是全等形.

课堂检测

基本概念题

1、下列多边形中，一定相似的是（）

A.两个矩形B.两个菱形

C.两个正方形D.两个平行四边形

2、下列命题中，正确的是（）

A.相似多边形是全等多边形B.不全等的多边形不是相似多边形

C.全等多边形是相似多边形D.不相似的多边形可能是全等多边形

3、如果线段a是线段A线段c的比例中项,b=3,c=12,那么线段a的长是多少？

基础知识应用题

4、如果两地的实际距离为750m,图上距离为5cm,那么这张图的比例尺是多少？

5、已知四边形力皿与四边形/B'CD'相似，且N8：BC-.CD,%=20：15：9：8,四边

形HB'CD'的周长为26,求四边形HB'CD,的各边长.

综合应用题

6、等腰梯形加切与等腰梯形/B'C〃，相似，AD=BC,N4=65°,AB=8cm,A'B'=6cm,

助=5cm,求HD'的长及梯形HB'CD'各内角的度数.

7、已知相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m的竹竿的影长为2.5m,那么影长为

30m的旗杆的高度为（）

A.20mB.16m

C.18mD.15m

探索与创新题

8、已知线段N8=8,。为线段N8的黄金分割点，求/。:理的值.

体验中考

在同一时刻，身高为1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米,

则这棵树的高度为（）

A.4.8米B.6.4米

C.9.6米D.10米

学后反思

附：课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析根据相似多边形的定义，两个矩形只满足对应角相等，而对应边不一定成比例；两

个菱形只满足对应边成比例，而对应角也不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是

90°,一定相似；两个平行四边形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等.故选C.

【解题策略】判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两

个条件缺一不可.

2、分析全等多边形是特殊的相似多边形.故选C.

【解题策略】如果两个多边形全等，则一定相似，但是如果两个多边形相似，则不一定全等.

3、分析四条线段a,b,c,d是成比例线段，若第二比例项和第三比例项是两条相同的线段,

即a：b=b：c,贝I］把，叫做a和c的比例中项.将a：b=c：d变形，可得到6c=ad,当a：b=

b:c时，有lf=ac.

解：是力，c的比例中项，且力=3,c=12,

a2=i）c=3X12=36,a=±6.

a是线段，...线段a的长是6.

【解题策略】如果线段a是线段力，c的比例中项，那么a2=6c.（其中a,b,c均为正数）

4、分析图的比例尺是一种比例关系，是图上距离与实际距离的比，通常写成1：x的形式,

也就是说，图上的1cm相当于实际的xcm,如某图的比例尺为1：40000,就是说图上的1cm相

当于实际的40000cm,即400m.

解：V750m=75000cm,A5:75000=1:15000,

即这张图的比例尺是1:15000.

【解题策略】不论是将图形放大还是缩小，比例尺都是图上距离与实际距离的比.

5、分析根据四边形40各边的比为20：15：9：8可得四边形4B'CD'各边的比也为

20：15：9：8,再根据四边形4B'CD'的周长为26,可求出各条边的长.

解：：四边形/劭与四边形/B'CD'相似，且4氏血:5:%=20:15:9:8,

：.A'B'-CD'：D'A'=20：15：9：8.

又•••四边形4B'CP的周长为26,

：.A'B'=26X-----....=10,B'C=26X---------=7.5,

20+15+9+820+15+9+8

CD'=26X---------=4.5,D'A'=26X-----....=4,

20+15+9+820+15+9+8

即四边形HB'CD'的各边长分别为/B'=10,B'C=7.5,CD'=4.5,D'

A'=4.

【解题策略】相似多边形的相似比等于对应边的比.

6、分析充分利用相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质和等腰梯形的性质来解题.

解：•.•等腰梯形力皿与等腰梯形HB'CD'相似，

...NO=65°,ABAD

AB'A'D'

15

即§=工，：.A'D'=(cm),

6A'D'4

B'C'=—cm,/A'==65°,

4

：.AC=/P=180°-65°=115°.

【解题策略】本题是一道综合性题目，在运用相似多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性

质.

7、分析本题考查比例线段的基本性质.因为同一时刻物高与影长成比例，所以

2.5_30・・•旗杆的高度=誓=18血).故选C.

工？一旗杆的高度

【解题策略】解决此类问题时，也可以根据比例式列出方程，通过解方程求出旗杆的高度.

8、分析黄金分割点指的是线段上的某一点，它将线段所分成的两条线段中，较长的一条线

段是较短的一条线段和整条线段的比例中项，其中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比,

黄金比的近似值约为0.618,准确值是或二1.

2

解：当〃＞比1时，a伐避二143=4(下一1),

2

BC^AB—AC=8—4(^/5—1)=12—4百二4(3—^5),

：.AG34(占一1)：4(3一石

2

当时，除避二1/斤4(6一1),

2

.,.心A?—焰4(3—6),

，力。:给4(3)：4(6-1)=

2

【解题策略】对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论.

体验中考

分析设这棵树的高度为x米，则1.6：0.8=x：4.8,解得x=9.6.故选C.

【解题策略】相同时刻的物高与影长成比例.

27.2相似三角形应用举例

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1.进一步巩固相似三角形的知识.

2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问

题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题.

3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分

析问题、解决问题的能力.

【重点难点】

1.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.

2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.

知识概览图

相似三角形的应用：灵活把握题意，把实际问题转化为数学问题，运用数学建模思想和数形结合思

想灵活地解决问题.

新课导引Q

【生活链接】王芳同学跳起来把一个排球打在离她2m远的地B|上，然后球

反弹碰到墙上，如果王芳跳起击排球时的高度是，排球落地点离墙一I的水平距

ApC

离是6m,假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？

【问题探究】由题意可得到如右图所示的图形.已知AB=\.8m,AP=2m,R=6m,PQY

AC,那么如何求火的长呢？由已知可证Rt△加ssRt^C%,由相似三角形的性质可知空=越，

DCPC

即改=2,所以%=5.4（m）.利用相似三角形的知识还能解决许多实际问题.

DC6

教材精华

知识点应用相似三角形的知识解决实际问题

相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用是建立在数学建模思想和数

形结合思想的基础上，把实际问题转化为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的.

拓展求线段的长度时，可根据已知条件并利用相似建立未知线段的比例关系式，从而求出所

求线段的长.运用数学建模思想把生活中的实际问题抽象为数学问题，通过求解数学问题达到解决

实际问题的目的.

课堂检测

基础知识应用题

1、如图27—38所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标R笊

在近岸取点0和S,使点RQ,S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS\

~~Q-Ab

垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点0且垂直AS■的直线力的交点花4一y

5

如果测得QS=45m,57=90m,，?=60m,求河的宽度7a图27-38

2、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法，如图27—39所示，为了测量金字塔的

高度如，先竖起一根已知长度的木棒。'B',比较木棒的影长/B'与金字塔的影长N8,即可近

似地算出金字塔的高度如且已知。,B'=1米，A'B'=2米，＜8=274米，求金字塔的高度处.

o

AA'B'B

图27-39

综合应用题

3、如图27—40所示，△48。是一块锐角三角形余料，边8C=240nlm,高/〃=160mm,要把它

加工成正方形零件，使正方形的一边在世上，其余两个顶点分别在4?,NC上，则这个正方形零件

的边长是多少？

BQDMC

图27-40

4、如图27—41所示，在武△力欧中，Z5=90°,B(=4：cm,AB=8cm,D,E,尸分别为四，AC,

8c边的中点，P为AB边上一点,过夕作阀〃6。交力。于0,以PQ为一边,在点力的另一侧作正方

形PQMN,若cm,求正方形7W与矩形加郎的公共部分的面积.

图27-41

探索与创新题

5、教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1m的竹竿的影长

为0.9Hi,在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学

楼的墙壁上，如图27—42所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他

们测得落在地面上的影长为2.7m,落在墙壁上的影长为L2m,请你计算树高为多少.

04).9m

(2)

图27-42图27-43

体验中考

小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点8时，要使眼睛。、准星4

目标方在同一条直线上，如图27—45所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星/偏离到，，

若2=0.2m,加=40m,AA'=0.0015m,则小明射击到的点W,偏离目标点6的长度国'

为（）

A.3mB.0.3mC.0.03mD.0.2m

A,一--一一一：

一---「1_________I

OAB

图27-45

学后反思

附：课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析可利用三角形相似的性质来求解.

解：'：/PQR=/PST=9Q°,AP=AP,

：.WXPQRsRtXPST,:.也=雪

PSST

mPQQR.PQ60

PQ+QS~STJ•）。+45-90’

PQX90=（即45）X60,解得PQ=90.

故河宽大约为90m.

【解题策略】利用相似三角形的性质能够测量不方便到达的两点间的距离.

2、分析要求出的长度，可以通过证明△物如40,A1B',从而得到比例式丝=S

O'B'A'B'

进而求解.

解：.••太阳光是平行光线,

：.ZOAB=ZO'A'B'.

又•：/A8O=NA，B'O'=90°,

:.AOABsAO,A'B',

：.OBtO'B'=AB：A'B',

AB.O'B'打凶=137（米）.

A'B'

故金字塔的高度为137米.

【解题策略】本题重点考查阅读理解能力和知识的迁移运用能力，从而计算出不能直接测量

的物体的高度.

3、分析若四边形/W为正方形，则力朋这样△加W的高可以写成/。一切=/〃一可

再由褥-即可找到/W与已知条件之间的联系.

解：设正方形/W为加工成的正方形零件，边做/在8c上，顶点尸，N分别在N8,AC±.,△

N回的高与正方形7W的边;W相交于E,设正方形的边长为xmm.

'JPN//BC,:.丛APNS&ABC,

.AEPN

・・茄一法，

.•.图二=上，解得尸96（1!1111）,

160240

・♦.加工成的正方形零件的边长为96mm.

【解题策略】本题中相似三角形的知识有了一个实际意义，所以在解题时要善于把生活中的

问题转化为数学问题来解决.

4、分析由于国〃a；所以理=丝，从而可求出收的长，而四边形/W是正方形，所以

BCAB

BV的长及册的长都可以求出来.由于正方形凰脉与矩形匐协的公共部分是矩形,故只要求出DN,

腑的长，就可以求出矩形的面积.

解：在Rt△力欧中，ZB=9Q°,AB=8cm,8C=4cm,D,E,尸分别为49,AC,a1边的中点,

则A9=4an,DE//BC,DELAB.

又PQ//BC,：.△AB。，

.•.空=理，即3

ABBC842

由四边形/w是正方形，得分-3,

2

o1

:•卜N=-,DN=AN—AD=-,

22

・..正方形/W与矩形匐即的公共部分的面积为：

DN.吩〃PQ=-X1=1(cm2).

224

【解题策略】本题考查了直角三角形、正方形与相似三角形知识的综合应用，要熟练掌握每

一种几何图形的性质.

5、分析首先根据题意画出示意图(如图27—43所示)，把实际问题抽象成数学问题，从而利

用丛PQRs丛DEC,△尸数。^45。求出树高4?.

解：如图27—43⑴所示，延长”，庞相交于C,则四是树的影长的一部分.

由题意可得△龙g.•.丝=图,

DEEC

艮哈嘿・•.匠1.08(m),

：.BC=BE+CE=2.7+1.08=3.78(m).

又,：XPQRsXABC,...铝=返，

ABBC

即_L=".../斤4.2(m),

AB3.78

故树高为4.2m.

体验中考

分析由三角形相似可得僚一篇如一七二竺答3。.3M故选B.

【解题策略】解决此题的关键是根据AA'〃BB'，从

27.2.3相似三角形的周长与面积

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

2.能用三角形的性质解决简单的问题.

【重点难点】

1.相似三角形的性质与运用.

2.相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解,

特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解.

知识概览图

「相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比

相似三角形

的周长与面［相似三角形周长的比等于相似比（相似多边形周长的比等于相似比）

积

U相似三角形面积的比等于相似比的平方（相似多边形面积的比等于相似比的平方）

新课导引

【生活链接】如果两个三角形相似，那么它们的周长之间有什么关系？它们的面积之间有什

么关系？两个相似多边形呢?

【问题探究】前面我们已经学习了相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边的比相

等.那么相似图形的周长与面积又具有怎样的性质呢?

教材精华

知识点1相似三角形对应高的比等于相似比

如图27-57所示，如果B'C,=k,那么

ffl27-57

△四C与△/B'C的相似比为々，过/作曲，式；过H作〃D'LB'。'，垂足分别为。，〃，

在△力劭与B'D'中，/B=/B,,ZADB=ZA'D'B'=90°,所以B'

D',所以学=坐=/，即相似三角形对应高的比等于相似比A.

AD'A'B'

知识点2相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比

如图27—58所示，在△航和△©B'C中，AD,A'D'分别为△

N8C和B'C的中线，BE,B'E'分别为△/欧和4B'C的

角平分线，若△/比。△/B'c,则/2=丝=上\

A!D'A'B'BDCB'D'C

知识点3相似三角形周长的比等于相似比图27一58

如果B'6V，并且△/以与△/B'C的相似比为次,那么丝=生=支=/,

AB'B'C'AC

则AB=k•A'B',B(=k-B'C',AC=k•A'C',因此

f白黑=W+BC+CA姑®+SC'+.C'/(A®+B'C'+C'A)s即相似三角形周长的比

△A'B'C'的周长A'B'+B'C+C'A'A'B'+B'C+C'A'A'B'+B'C'+C'A'

等于相似比.

例如：已知△/比B'C,它们的周长分别为60cm和72cm,且48=15cm,B'C

=24cm,则这两个三角形的相似比为竺=*,因为四=15cm,B'C=24cm,

726A'B'B'C6

所以"B'=18on,80=20on,所以40=60—15—20=25(cm),A'C=72-18-24=30(cm).

知识点4相似多边形周长的比等于相似比

如果多边形44…4与多边形4'4」…4」相似，并且多边形44…4与多边形4,

4J…4’的相似比为k,贝ij半'==*=-4^=4,.•.44=44'A2',A2A3=kA2'4,，…，

A&A,A34A

1

A“A1=kAn'A,,：.A1A2+A2A3+-+A„A1=kW4'+4'4'+-+J/4'),今色+4A十十乃八

AW+4'A；+…+44

=k,即相似多边形周长的比等于相似比.

知识点5相似三角形面积的比等于相似比的平方

若△456。△/B'C,△4?。与△/B'C的相似比是N,AD,A'D'分别是8。与WC

]BC，AD

边上的高，则叁---=埠=*=4•上之即相似三角形面积的比等于相似比的平方.

BCAD

SAAB。LR'C'.A'D'

知识点6相似多边形面积的比等于相似比的平方

对于两个相似的四边形，可以把它们分成两对相似的三角形，可以得出这两个四边形面积的比

等于相似比的平方.对于两个相似的多边形，用类似的方法，可以把它们分成若干对相似的三角形,

从而得出相似多边形面积的比等于相似比的平方.

规律方法小结(1)如果两个三角形相似，那么它们对应高的比、对应角平分线的比、对应中

线的比、对应周长的比都等于相似比.

(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方.

(3)类比相似三角形的性质可知，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

(4)本节内容中求相似三角形对应边的比和面积的比的问题可以互相转化，对于没有指明对应

顶点的相似三角形仍然要分类讨论.

课堂检测

基本概念题

1、(1)若两个相似三角形的面积比为1：2,则它们的相似比为；

(2)若两个相似三角形的周长比为3：2,则它们的相似比为；

(3)若B'C,且4?=5,A'B'=3,△/B'C的周长为12,则△力的周

长为.

基础知识应用题

2、如图27—59所示，在△4?。和△颂中，AB=2DE,AC=2DF,NA=N。,△力欧的周长是

24,面积是48,求△龙尸的周长和面积.

图27-59

3、如图27—60所示，在锐角三角形力火中，力〃，◎'分别为/£边上的高，AABC和4BDE

的面积分别为18和2,应=2,求力。边上的高•

A

BDC

图27-60

4、如图27—61所示，在△力比1与中,AD//BC,CD交.AB千前E,且延即=1:2,EF//

BC交〃于点F,且S△加E=1，求反腔和S-EF.

图27-61

5、如图27—62所示，力〃是△28。的角平分线，于点H,g助于点4,求证28•加

=AC*DH.

图27-62

综合应用题

6、如图27—63所示，在梯形N85中，对角线力C,劭相交于点0,若△。切的面积为成，△

N处的面积为况其中a>0,b>0,求梯形的面积S.

图27-63

探索与创新题

7、如图27—64所示，口/皿的对角线NC,劭相交于点。，£是/6延长线上一点，0E交BC

于点/，AB=a,BC=b,BE=c,求跖的长.

图27-64

8、如图27—65所示，在△力回中，。是8C边上的中点，且”=47,DE1BC,应与”相交于

点、E,欧与/。相交于点£

⑴求证

(2)若见酉=5,BC=10,求应的长A

图27-65

体验中考

1、已知△48。与△龙F相似且面积比为4：25,则AABC与ADEF的相似比为

2、如图27—67所示，在△45C中，BOAC,点D在BC上,且〃C=4C,

/力力的平分线切交”于尸，点£是"的中点，连接机

(1)求证EF//BC-,

(2)若四边形物硬的面积为6,求△/劭的面积.图27-67

学后反思

附：课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析⑴・•・两个相似三角形的面积比等于相似比的平方,且Q3仁日.⑵

•••相似三角形的周长比等于相似比，且周长比为3:2,.•.相似三角形的相似比为3：2.(3)\•相似

...相勺周长=3.又的周长为12,.弼周长_5

比5：3,B<c1••------------..-/.丛ABC的周

△ABC'的周长3123

长为20.

答案：⑴72：2(2)3：2(3)20

【解题策略】解决此类题时，可直接应用相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系来求

解.

2、分析先说明△应况再运用相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似

比、面积比等于相似比的平方进行求解.

解：在△45C和△龙户中，

'：AB^WE,AO2DF,，迫=吧=工

ABAC2

又,：/D=NA,:ZEFS^ABC,且相似比为

2

.△。跖的周长_1即的周长_1

■•ZkABC的周长一324-2，

△龙F的周长为12.

•*S&DEF12.

即△颂的周长为12,面积为12.

【解题策略】解决此类问题时，可利用相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的

比等于相似比的平方来求解.

3、分析若求/。边上的高，就要把NC边上的高作出来，由于△ABC的面积为18,因此只要

求出NC边的长，就可以求出NC边上的高.

解：过点8作母工AC,垂足为点尸.

•：ADLBC,CELAB,:./ADB=/CEB=9G°,

又＜/ABD=/CBE,.".RtAJZ!5^RtAC£B.

...些=空即变=些，豆/ABO/DBE,

BECBABCB

:.丛EBD^ACBA,

又,：DE=2,：.AC=6.

'：S^=-AC•BF=18,/.BF=6.

c2

【解题策略】解决此题的关键是根据已知条件说明△座少△烟.

4、分析由”〃比；可得LADEsLBCE,求必松比较容易，而求必旃不易利用相似三角形的

面积关系来求解.由物〃"可知△/"与△矶。是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积

比就等于底边长的比，求出即：就可以求出△/跖的面积.

解：'：AD//BC,...△力庞s△兆瓦

••S&ADE：SABC产，'百：BS.

又＜AE:BE=\：2,，必,:5kB=1:4,

*S0越£iJ•*S&SCE♦

又,：EF〃BC,:.XAEFsXABC,

：.EF\BC=AE-.49=1:3.

又,：丛ADEs丛BCE,:.AD：BC=AE：BE=\：2,

：.BC=2AD,：.EFx49=2：3.

又,：AD"EF,:.AADE与AAEF等高.

=

••SAAE*S^ADE=EF\AD2：3.

•y_]•s_2

3

【解题策略】利用相似三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形

面积相等、同底（或等底）三角形的面积之比等于对应高之比、同高（或等高）三角形的面积之比等于

对应底边长之比等等.

5、分析由已知易证△班9s△酸9,AA即sLACK,从而易得竺=%=也即AB・D后AC・DH.

ACCKDK

证明：'：BHLAD,CKLAD,：.BH//CK,

:.△BHD^XCKD,.••也=”①

DKCK

TAD平分/8AC,：.Z1=Z2.

XVZBHA=ZCKA=9Q°,

.•.四=胆.②

ACCK

由①②可知"=里，.•DK=AC*DH.

ACDK

【解题策略】在本题中，利用竺二把空和里联系起来，通常把这里的也叫做中间比，它

CKACDKCK

起到桥梁的作用.

6、分析梯形的面积等于4个三角形的面积之和，而△/如和△CW的面积都已用a,力表示

出来，因此关键是求出△/如和△8%的面积.由图可知△力如和△方％的面积相等，而△力如和4

在力。边上的高是同一条高，因此△力如和△CW的面积比就等于A0-.0C,这样就可以求出△力出

的面积.

解：'：AB//CD,：.^COD^/\AOB,

•C°-_S&COD_"

…后一一屏'

CO_[a^~_a

AO~W~b

3^•S&ABC—S/\ABD，

S&ABC-S&AOB~SMBD一&4OB，

即S/\BOC=S^AOD*

又・.•_40_b

S/\CODCOa

:.S”。/•S^-a=ab.

aa

••S丛COB-S/\AOD-ab.

二・梯形/比刀的面积S=a^ab^ab^lj=(a+Z?)2.

【解题策略】底在同一条直线上，高相同的两个三角形面积的比等于底边长的比，而相似三

角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意区别这两个性质.

7、分析显然所求线段必与已知线段龙在同一个三角形中，如果能找到一个与△龙尸相似

且有已知边的三角形，问题便可解决，但在图中不

能直接找到，如果过。作+〃&1交N6于G,就能得到△叱s4£co,此题可解.

解：过点。作必〃笈交N8于G,於XEBFSXEGO.

":口ABCD的对角线相交于点0,：.OA=OC,AG=(R.

又,：XEBFS/XEGO,

GOEG

'：AG=GB=-AB,：.0G=-BC.

22

又AB=a,BC=b,BE=c,

0G=-b,GB=-a,GE=-a+c.

222

【解题策略】解决此类题的关键是构造相似图形，而构造相似图形的一般方法是作平行线.

8、分析由反。是8C的中点，可得N8=N1,由力〃=/C,可得/2=/力切，从而相

似可证.过力作/吐园垂足为必求庞的长可以在切〃A"的基础上利用比例线段求得.

证明：（。•：DE1BC,。是的中点，

：.EB=EC,:

又•.,A9=/C,：./2=/ACB,

:.XABCsXFCD.

解：⑵过点力作4a8C,垂足为必

"：XABCs^FCD,BC=2CD,

又•S/\PCD=5,••S^MC=20.

■:SAABC=LBC・AM,且欧=10,

2

A20=1X10•M：.AM=^.

2

又：庞〃/么

AMBM

、：BM=BNDM,BD=-BC=5,DM=-DC=-,

222

：.BM=^+-=—,

22

・DE5.八力_8

4153

~2

体验中考

1、分析相似三角形的面积之比等于相似比的平方.故填2：5.

2、证明:(1)6平分NR%,.\Z1=Z2.

又•：DC=AC,••.b是4力切的中线,

・••点/是”的中点.

又：点£是四的中点,

：.EF//BD,即EF//BC

解：⑵由⑴知，EF//BD,

:.丛AEFS^ABD,

又・：AE=LAB,SXAEF~Szw-S四边形BDFE=-6,

2

•*S&ABD8,

劭的面积为8.

27、3位似图形

学习目标：

1、能利用图形的位似将一个图形放大或缩小.

2、有意识地培养学生学习数学的积极情感，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度，多

方法想问题的学习习惯.

学习过程:

一、课前准备

1.知识链接

（1）什么叫位似图形？有哪几种位似的类型？

（2）位似图形的性质是什么？

2.预习检测

（1）通过预习你能总结出利用位似把一个图形进行放缩的方法吗？

（2）利用位似放缩图形用到了位似的哪些性质？

二、学习过程

探究1

请同学们观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2：1,同学们在

小组间互相交流，看一看有几种方法？

总结上述作法我们可归纳出：

（一）“利用位似将图形放大或缩小的作图步骤.

第一步:在原图上选取关键点若干个,并在原图外任取一点P作为位似中心。

第二步:以点P为端点向各关键点作射线.（或以各关键点为端点向P作射线）

第三步:分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例.

第四步:顺次连接截取点.

即可得到符合要求的新图形.

简记方法：

（二）作位似图形的几种可能:

放大缩小

同侧正像

异侧侄M

探究2

小明想把△ABC进行适当的缩小和放大，他设计了以下几种方案，都可行吗?

1.分别在△A3C的边A3、AC上取点。、E,使那么△ADE是△A3C缩小后的图形.

如图1所示.

c-E