高中数学精英班：放缩法

放缩法

一、零点问题中放缩取点

例1(2017全国I)已知函数/(无)=ae2x+(a-2)e'-x.(1)讨论f(x)的单调性⑵若f(x)有两个零点，

求”的取值范围.

解：(1)的定义域为(3,+8),/'a)=2«e2v+(a-2)e'-1=(aer-l)(2e'+1),

(i)若。忘0，贝［|/'(x)<0，所以/(x)在(-8,+8)单调递减.

(ii)若。>0，则由/"(x)=0得x=-lna.当xe(-oo,-Ina)时，f\x)<0;当16(—1!10,+00)时，

/'(x)>0,所以/(x)在(-8,Tna)单调递减，在(-Ina,+8)单调递增.

(2)(i)若。W0,由(1)知，/(x)至多有一个零点.

(ii)若。〉0，由(1)知，当x=-lna时，/(x)取得最小值，最小值为/(—Ina)=1—，+lna.

a

①当a=1时，由于/(一Ina)=0,故f(x)只有一个零点；

②当ae(l,+a>)时，由于l-'+in。>。,gp/(-ln«)>0,故/(x)没有零点；

a

③当ae(0,l)时，1一，+lna<0,即/(-ln«)<0.

a

X/(-I)=ae-2+(a-2)e-1+1>-2e-'+1>0,故/(x)在(f,-Ina)有一个零点.

设正整数“°满足％>ln(--1),则f(〃o)=e""(ae'%+a-2)-%>e%-〃。>2'b-%>0.

a

由于ln(2-,因此/(x)在(—Ina,+8)有一个零点.

a

综上，。的取值范围为(0,D.

例2(2016全国1)已知函数,f(x)=(x—2)e，+a(x—Ip有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设

%,2是/(x)的两个零点,证明：xt+x2<2.

解:⑴由已知得:=+2a(x-l)=(x-l)(e*+2a)

①若a=0，那么/(x)=0o(x-2)e*=0ox=2,/(x)只有唯一的零点x=2，不合题意；

②若a>0,那么e*+2a>e*>0，所以当x>l时,/'(x)>0,单调递增，当x<l时,/'(x)<0,/(x)

单调递减，即：

(-8,1)(1,同

X1

尸(X)—0+

/(X)1极小值T

故/(X)在(1,+<»)上至多一个零点，在(-8,1)上至多一个零点，由于〃2)=4>0,/⑴=-e<0,则

/(2)/(1)<0根据零点存在性定理J(x)在(1,2)上有且仅有一个零点而当x<l时，e、<e,x-2<-l<0,

故f(x)=(x-2)e'+a(x-l)2>e(x-2)+a(x-l『=a(x-l)2+e(x-l)-e,贝(]/(x)=0的两根

4=-e-Jf,.2=1+、：+,“"-+1,<t2,因为〃>(),故当x<4或x>/2时，

2a2a

a(x-l?+e(x-l)-e>0，因此，当x<1且x<小时，>0，又〃l)=-e<0，根据零点存在性定理，/(x)

在(—1)有且只有一个零点.此时，“X)在R上有且只有两个零点，满足题意.

③若-；<a<0，则ln(-2a)<lne=l,当x<ln(-2a)时，x-1<ln(-2a)-l<0,ex+2a<eln,-2u)+2«=0,

即f(x)=(x-l乂e"+2cz)>。，单调递增；当ln(-2a)<x<1时，x-1<。,ex+2a>eln('2a)+2a=0，即

,f'(x)=(x-l)(e*+2a)<0,/(x)单调递减；当x>l时,x-l>0,ex+2a><?'"<2,11+2«=0，即,f'(x)>0,

f(x)单调递增.即：

(-00,In(-2a))In(-2^7)(ln(-2«),l)(l，+8)

X1

广⑺+0-0+

/(X)T极大值1极小值t

而极大值/[ln(-2a)]=-2,/[ln(-2a)-2]+a[ln(-2a)-l]-=«^ln(-2a)-2]'+1|<0

故当启1时，/(x)在x=ln(-2a)处取到最大值川n(-2a)L那么〃力守[皿-2切<()恒成立，即/(x)=0

无解

而当x>1时，/(x)单调递增，至多一个零点此时〃x)在R上至多一个零点，不合题意.

④若4=—|，那么ln(-2a)=1,当x<1=ln(-2a)时，x-1<0,ex+2a<g||'(-2,,)+2a=0，即/'(x)>0,

单调递增，当x>l=ln(-2a)时，x-l>0,e'+2a>en['2a)+2a=0,即/'(x)>0,单调递增

又〃x)在、=1处有意义，故在R上单调递增，此时至多一个零点，不合题意.

⑤若“<,则ln(-2“)>1,当x<1时，x-1<0,e'+2a<e'+2a<elll(2,,)+2a-0,即/'(x)>0,

f(x)单调递增，当l<x<ln(-2a)时，x-l>0,/+2“<e'M&)+2a=0,即6(力<0,/(x)单调递减

当x>ln(-2a)时，x-l>ln(-2a)-l>0,e，+2a>*(&)+2a=0,即尸(x)>0,f(x)单调递增，即：

(8,1)(Mn(-2a))In(-2^7)(in(-2a),+oo)

X1

/(X)+0-0+

“X)t极大值1极小值t

故当xWln(-2a)时,/(x)在x=l处取到最大值〃l)=-e,那么〃x)W-e<0恒成立，即/(x)=0无解

当x>In(-2〃)时，/(.Y)单调递增，至多一个零点，此时/(x)在R上至多一个零点，不合题意.综上所述,

当且仅当a>0时符合题意，即a的取值范围为(0,+oo).

⑵由已知得：〃々)=/(兑)=0,不难发现,故可整理得：一"，-2)：1=("2)*

(4-1)-(与-1)一

设8(力=生芈，贝履(占)=8(%)，那么且。)=(72)：1/，当*<1时，g，(x)<o,g(x)单调递减;

(尤-1)(x-l)

当A->1时，g'(x)>0,g(x)单调递增.设,n>0,构造代数式：

2

g(1+加)-g(1--Z^e'r"=(^—^e"'+1]

m~m-m~(根+l)

e2ra+l,m>0,贝！上Je2M>0,故饰”)单调递增,有〃(间>力(0)=0.因此,

m+l(M+1)-

对于任意的m>0,g(1+加)>g(1-加).由于百)=g(x2)可知西、尤2不可能在g(x)的同一个单调区间上,

不妨设不<々,则必有X,<1<x,,令/«=1-X|>0,贝!!有

g[l+(l-Xi)]>g[l-(l-X1)]og(2-xJ>g(xJ=g(X2)，而2-百>1,x2>1,g(x)在(l,+oo)上单调递增，

因此：g(2-xJ>g(X2)=2-X|>多，整理得：xt+x2<2.

例3

已知函数/(J-)=(.r+l)ln(.r+l)-y«,r2-.r(«GK).

(I)设/'(T)为函数/Cr)的导函数,求函数/'1)的单调区间；

(II)若函数/(了)在(0.+8)上有最大值,求实数a的取值范围.

解：(I)/,(x)=ln(x+l)-ax，令/2(x)=/'(x)=In(x+l)—ax,/z/(x)=—;

1。当aWO时,"(x)>0在(T+oo)上递增，无减区间”(尤)=0

2。当a>0时，<$-A,(x)>O=>-l<x<--1,令〃'(x)<0=>x〉，-l

所以，/(力在上单调递增，在9-1，”)上单调递减；

(口)由(I)可知，当aVO时，；J(x)在(0,e)上递增，.••/<)>/'(0)=0

・・・/(X)在(0,+8)上递增，无最大值，不合题意；

1°当a21时，/z'(x)=-^—47<1—47«0,二/(X)在(0,+oo)上递减，/'(x)<f(O)=O,

・・・/(X)在(0,+8)上递减，无最大值，不合题意；

2。当0<a<l时，:一1>0,由(I)可知f(x)在(0,5-j上单调递增，在1j—L+oo]上单调递减;

设g(x)=x-l-lnx，贝=泠g'(x)<0=0<x<l泠g'(x)>0=x>l,:.g(x)在(。,1)

上

单调递减，在(1,+8)单调递增；.•・g(x)2g(l)=0,BP!nx<x-l

由此，当x>0时，InVx<G-1<\[x,即In犬<2五.

(错解)所以，当x>o时，Mx)<2Gi-ax<2jx+l-a(x+l)=Jx+l(2-aJx+l).

取1二4—1,贝!Jf>，—1,且〃Jf+1(2-a，r+l)=0.

又因为/?[：-1]>刈0)=0，所以由零点存在性定理，存在，使得〃(毛)=0；

当%<0,%)时,〃(x)>0,即/'(x)>0；当xe(面,”)时，〃(x)<0,即r(x)<。；

所以，/(%)在(。,题)上单调递增，在(与,+。。)上单调递减，在(。,+8)上有最大值/(X。).

综上,()<a<1

正解一：正解二：

当m福丽一。刎升0传,1―,，油t六-Ma+a-#公h*

/N2±=吨,it-aArtro,-oM»，…""=省’”%。，,,-

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“幻=e'-t'TG”)i让r(ti,。％生

外./跟g尸。

正解三：

3。<4〈同

加片“TD湘/质了/=〉/；f炉”

力。力州-4XW2保i

红=病>),为2(-t-i)-^(f-i)<ffffa-比+”a>°

•L"2)>°'；｛”.，,£>系寸_/>/

E屈7>件-//"3V。.

取麻=»广八=士巴，沏<0.

二、放缩法证明不等式

(1)利用基本不等式放缩

9x

例4设f(x)-ln(x+1)+>Jx+\-1,证明：当0<%<2时，/(x)<

x+6

证明由基本不等式，当、>0时,

2/(x+1)x1<x+2,

故Vx+I(手+1,

/./(.V)=lll(.V+I)+JX+1-1

<In(x+1)+当0<X<2时,人(支)<0,所以人(.1)在

记h(x)=ln(x+1)+与一-^Y-r(0,2)内是减函数，故〃(x)<h(0)=(),得

2x+6

则/《「备+卜尸ln(.r+1)++<"

2x+6

_.r(丁+15--36)从而/'W<2不得证.

2(x+1)(.V+6)?%+6

评注本题若直接构造函数力（x）=

/（X）-%对/,（、.）进行求导，由于人«）中

X+0

既有根式又有分式，因此6（）的零点及相应

区间上的符号很难确定，而通过对ATT进

行放缩处理，使问题得到解决.上面的解法

中，难点在用基本不等式证明ATT<y+

1,亦即是将抛物线弧'=J7TT放大化简为

直线段\=；+I,而该线段正是抛物线弧、

=&TT在左端点（o,i）处的切线.这种“化

曲为亘”的方法是我们用放缩法处理函数问

题的常用方法.

（2）利用函数的最值放缩

例5（2013全国2卷21（2））当“42时，证明：e'—ln（x+m）>0

证法I/（.1）的定义域为（-，，，，+X）,

1

/.（.<）=0,_=

x+nix+m

设g（x）=（.v+m）e'-I,则

f>*（.t）=（.v+m+I）<,'>0,

所以屋、）在（-，“，+x）内单调递增.

又X（-"J=~1<0，1（2-"J=2」故/（.%）=—!—+x„

-I>2xi-I>0,故K（.V）=0在（-m，X"+m

+x）内有唯一实根品.=，+（一,〃）小

当xw（-〃，，4）时,*（、）<0,/*（.r）<r°+1,1

0；当t仁（/，+«>）时，#（、）>（）,/'（'）>（）,N2-m，0.

从而/G）取得最小值为/（.%）.取等号的条件是凡+川=!,<-=」一及，〃

由=（），得/

=2同时成立，这显然不可能，所以/（、“）>0,

-----,lll(A+m)=-；v,

M,+III0o故/（、）>0.

证法2:当加<2时，—ln(x+m)〉e*-ln(x+2),构造函数<p(x)=ex-ln(x+2),转化成证明

8(X)min=9(/)>°

i殳<p(x)=ez-ln(r+2).则HQ)=e1-—(f.

(-2,4-oo)上单调递增.乂/(-I)<0,/(0)>0.所以

,3)=0在(-2,+8)上有唯•实根.H.xo€(-1,0).

当x€(―2,加)时.，⑺<0:当1G(XQ,+oo)

时.夕'(工)>0.所以夕(J)3=夕(to),ill夕'(10)=0

10

i!1:e=—1—,ln(io+2)=-x0.所以

+/

所以当m42时./（工）>0.

（3）切线放缩

例5(2013全国2卷21(2))当加K2时，证明：ex-In^+m)>0

证法3:利用公切线放缩：e*N&尤+82ln(x+2),转化为求公切线y^kx+b

lua+2).)议,(幻=e\h(x)=in(工+2)的的公切线为y=

fer+M**0).设那切点分别为A/(m.em),N(n,ln(n+2)).

/(I)=产/'(工)=*.利用切线斜率相等咫

.=厂=」_=丁一则工土&

n+2m-n

—5―-ln(n+2)

化筒得n+2__________—所以”+1=(n4-

—ln(n4-2)-nn+2'

1)111(n+2).所以n=-1或#n=e-2.

当n=-1Ht.所以A/(0,l).N(-1.0).对应公切线为

1.

(当”=e—2时.所以3/(-1.1),N(e-2.1),对应公切

线为"=I4"+IJ

我依不妨取公切线为"=T+1.利川构造函数法易讪：

111(工+2)<x+he*>J-4-1.

但四不等式不同时取等号.所以『>10(1+2).所以当

m<2时.f(x)=e*—ln(x+rn)>e*-ln(x4-2)>

工+1—(z+1)=0.所以f(x)>0.

be

例6(2014全国1卷)设函数/(x)=ae'\nx+——，曲线y=/(尤)

x

在点(1J⑴)处的切线方程为y=e(x—1)+2.(I)求(H)证明：

/W>1.

方法1：

试题解析：⑴函数的定义域为(0,+8)./(x)=cTnx+士+

XXX

由题意可得，/(I)==e.故a=，3=2.

oo

(II)由G)知，/(无)=®'ln彳+―；人而>1等长］xlnx>疵-“—，设函数g(x)=xlnx,

x"e

则g'(x)=l+lnx.所以当xe(0」)时，:⑺<0；当':(二用)时，g'(x)>0.故g(x)在(0」)递减，

e&e

1i

在(-，例)建噌，从而g(x)在(0,4<o)的最d%g(与=-一(x)=xe-*-一，则月(x)=e-*(l-x).所

eeee

以当xe(0,l)时，h'(x)>0,当xe(l,心)时，h'\)<0.故，㈤在(0,1)递增，在(1,*H必递遍，从而应x)

在(0,加)的最大值为力(1)=一工.综上当x>r二j,g(>)»(x),即/⑸>L.

(4)利用函数不等式放缩

例6(2014全国1卷)设函数/(x)=ae1nx+生二,曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为

X

y=e(x-l)+2.(I)求a,b;(II)证明:/(x)>1.

方法2:

证明由Na+I,得'Nx,

即e,三ex,

-e①

rx

当且仅当x=I时取等号.

又由«,"'Nx,得-LN＜•”,故•1'_Wc.v,

x

两边取自然对数，得1“（门）NI-」•，即

（ur

Inx+—＞0,②

ex

当且仅当x=工时取等号.

C

由于I、2式等号不能同时成立，两式

相加得lnx+2＞＞，两边同乘以心得/G）

2r-l

例7（2016年山东）已知/（x）=。（x—InX）+,awR.（I）讨论/（%）的单调性；（II）当。=1时，证

明/（幻＞/。）+［对于任意的工«1,2］成立.

解：⑴因为八为"（1+）2x—2_(1一1)(。尤J2)

，当aWO时，xe(0,l),f\x)>0,/(x)单

x3X3

调递增，元£（1,+8）/U)<0/（%）单调递减；当。＞0时

a(x—l)(x—J2)(%+J-2)

(%—l)(ax2—2)Vaa

x3x3

12（（）/）或X€（J［,+8）,/（%）＞（）,/（X）单调递增，

①当0＜a＜2时，—>1,XG

a

X€（l嗜）,/（X）＜0,/（尤）单调递减；

②当“=2时,-=1,xe(0,+8),/'(x)20,/(x)单调递增，

a

③当a>2时，0<^j<l,xw(O,8或xe("),/(%)>0,/(x)单调递增，

,/U）＜0,/（X）单调递减；

(II)由(I)知，a=l时，,f(x)=x-lnx+2%1,/r(x)=――——=l-——7+义

JTXXXX

工日〃、，，/、12x—1/122312

于是/(x)_/(x)=x-lnx+--——(11------+—)=x-lnx-l1+—+———-,xe[l,2]

XXXXXXX'

312

令g(x)=x_lnx,/i(x)=-l+-+—,XG[1,2]于是/(%)一/'(%)=g(x)+〃(x),

XXX,

，/、i1x—\-/'gal/士/1xic,，/、326—3x--2x+6

gW=1一一=——NO,g(x)的取小值为g(l)=l;又〃(无)=一一一一7+―=-----4-----

xxxT~xxx

设网=-3/一2x+6，则伏尤)在xe[l,2]上单调递减，因为。⑴=1,。(2)=-1(),所以存在x°e[l,2],

使得。(%)=0，且l<x<x°时，e(x)〉O,〃(x)单调递增；/<x<2时，e(x)<0,/z(x)单调递减；

又//(1)=1,©2)=；，所以以X)的最小值为力(2)=；.

133

所以/(X)-r(x)=g(x)+/?(%)>g(l)+h(2)=l+-=-.gpf(x)>f(x)+-对于任意的xe[1,2]成立.

例8(2012山东)已知函数/(x)==k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y=.f(x)

e

在点(1"⑴)处的切线与x轴平行(I)求左的值(n在的单调区间(m股g(x)=(£+》)/0),

其中/'*)是/(X)的导数，证明：对任意的尤>0,g(x)<1+1.

1,,

1——攵—InxI_,

解：(I)由/(幻=a£j可得/'(©=3一--，而/''⑴=o，即二=o，解得后=i；

eee

1,,

---1-InxI

(n)r(x)=^一--，令/(x)=0可得x=l,当0<x<l时，:(x)=L—l—lnx>0;当％>1

ex

时，f\x)=L—l—lnx<0.于是f(x)在区间(0,1)内为增函数；在(1,+8)内为减函数。

X

(in)g(x)=(x2+%)-——----J-X+X)InX==l(]-x-x]nx)”(o,+8)

eee

因此对任意的x>0,g(x)<l+e-等价于(l_x—xlnx)<——(1+1),

x+\

^/z(x)-1-x-xlnx,xG(0,+oo),所以/(x)=_]nx_2=_(lnx_lne-2)

因此xe((he=)时，h\x)>0,h(x)□,xekE+oo)时,“(此<0,〃(x)口

所以〃(x)mx=〃(，2)=l+e「2,故(1一x-xln无)<1+"2。

设夕(x)=e*—(x+1),^(p'(x)=ex-\=ex,/x>0，，夕'(x)>0,Q(X)口，二0(x)>0(0)=0,

即—九一xlnx)<J(l+e-2)，对任意的x〉0,g(x)<l+e

x+lx+1

常用放缩公式（函数不等式）:

23

(1)指数函数放缩：ex=\+-x+—x+—x+

1!2!3!

①放缩成一次：ex>x+l,ex>ex

衍生：e-x>l-x,ex<^—(x<O),ex<--(x<0)；

1-xX

X2X2X'■

②放缩成二次和二次：e'21+xd---(x>0),e'Nl+x+—+—

226

xx2

e=e2-e2>--------=—x>x,

224

.rexexexe,1,

e=e3e3>----------------x>-x

333276

(2)又寸数函数放缩：lnx=(x-l)-1(x-l)2+1(x-l)3+l(x-l)4+

①放缩成一次：lnx<x-l]nx<-x

ze

衍生：In—<--l=>lnx>l--;In—<—•—=^>lnx>--—

xxxxexex

②放缩成二次：lnx<Y一元,

11

ln(l+x)<x--x27(-l<x<0),ln(l+x)>x--x29(x>0)

③其它对数不等式：

八1Ai11I、112(x—1)

Ovx<l时n，1—v—z(元—)<V尤—<Inx<---------<x—1t

x2xyjxx+1

,12(x-l)]厂1I,1、i

x>1D时t1f—<---------<Inx<Vx--,=<一(x—)<x—1,

xx+lNx2x

(3)三角函数放缩：

sinx<x<tanx(x>O),sinx>x--x2,l--x2<cosx<l--sin2x

222

(3)三角函数放缩：

sinx<x<tanx(x>0),

sinx>x--x2,

2

1—Kcosx<1—sin-x

22

(5)利用已证不等式放缩

例9设函数/(x)=lnx-x+l(1)证明：当x>I时，1<上•<%；(2)设c>l,证明当0cx<1时,

Inx

l+(c-l)x>cA

证明(1)易证当VG(1,+8)时,In*

<x—1,从而In--<-■-1,即

XX

(2)设g(.r)=1+(c-l)x-c”,则

gO=c-1-c'lnc.

Ic—1

n1---

令g'(.t)=0,解得x=—"J,

nInc

当.c</时,g'(.、♦)>0,g(.v)单调递增；

当X>芭)时,g'(K)<O,g(.v)单调递减，由

(1)知，1<<C,故0</<1.又g(o)

Inc

=g(l)=0,故当0cx<1时,g(x)>0,所

以当才£(0,1)时，1+(c-1)x>c\

三、放缩法在不等式恒成立中的应用

例10(2016年四JII)设函数/(%)=一。一inX,其中aeH.(I)讨论例x)的单调性；(II)确定a的

所有可能取值，使得/'(尤)>工-01在区间(1,+8)内恒成立e=2.718...为自然对数的底数).

X

解：(1)由题意，/("=2奴」=网上,x>0

XX

①当小，()时，2底-140,1(力4。,“力在(。，也)上单调递减.

②当a>0时，令/'(x)=0，有工=忐，当xe(0，B)时,尸(力<。；当"(住,位)时，/1W>0.

故〃x)在(0,白)上单调递减，在(总，+8)上单调递增.

(II)令g(x)='--1,s(x)=e*T_x.则*x)=e'T-1.而当x>1时，Mx)>0,所以s(x)在区

xe

间(1,+8)内单调递增.又由S⑴=0，有s(x)>0，即从而当x>l时，g(x)>0.

当a<0,x>l时，/(x)=a(x2-l)—lnx<0.故当/(x)>g(x)在区间(1,+8)内恒成立时，必有a>().

当0<。<<时，〈〉1.由(I)有/($)</1⑴=0，而g(4=)〉0，所以此时/(x)>g(x)在区

272a72a72a

间(1,+8)内不恒成立.

当时，令〃(X)=/(X)-g(X)(X>1).

,，/、c111-x111尤3—2,X+1%2—2.X+1c.__,_

h(x)—2,UX---1—--e>x----1—---------------->----------->0,因此〃(xx)在区

xxxxxx'X'

间(1,+00)内单调