2023-2024学年抚州市南城县八年级下学期期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年抚州市南城县八年级下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列四个图形中，中心对称图形是（）A． B． C． D．2．（3分）以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，73．（3分）不等式3x﹣1≤2x+3的正整数解有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．AD是△ABC角平分线，若AC＝，则线段AD的长（）A．1 B．2 C． D．35．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角110°得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（）A．55° B．70° C．80° D．110°6．（3分）如图，在第一个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）A．5° B．10° C．175° D．170°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知等腰三角形的顶角的度数为108°，则底角的度数为．8．（3分）若点P（4﹣a，2）是第二象限的点，则a的取值范围是．9．（3分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′＝°．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，），则点E的坐标为．11．（3分）如图，CD是等边△ABC边AB上的中线，AC的垂直平分线交AC于点E，交CD于点F，若DF＝1，则CD的长为．12．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，AB＝13cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为．三、（本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．（6分）解下列不等式：．14．如图，点P在∠AOB的角平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝8，求点P到OB的距离．15．（6分）解下列不等式组并把它的解集表示在数轴上．16．（6分）如图，等边△ABC和等边△ECD的边长相等，BC与CD在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺画图．（1）在图①中画一个直角三角形；（2）在图②中画出∠ACE的平分线．17．（6分）如图，已知△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C度数．18．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点B2的坐标．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣3，其中m是非负整数，求m的值．20．（8分）“疫情就是命令、防控就是责任”！抚州市南城县某公司在疫情复工准备工作中，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元．（1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？（2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过1900元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有几种购买方案？21．（8分）如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，BC、AD相交于点E．（1）试说明AE＝BE的理由；（2）若∠AEC＝45°，∠ACE＝90°，AC＝1，求CB的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，已知函数y1＝x+5的图象与x轴交于点A，一次函数y2＝﹣2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与y1＝x+5的图象交于点D（m，4）．（1）求m，b的值；（2）若y1＞y2，则x的取值范围是；（3）求四边形AOCD的面积．23．（9分）如图，点O是等边三角形ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．（1）求证：BO＝AD；（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．六、（本大题共12分）24．（12分）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．如图1，△ABC≌△ADE，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点C与点E重合．（1）操作探究1：小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，求证：BM＝DM．（2）操作探究2：小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），然后，分别延长BC、DE，它们相交于点F．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：①α＝30°时，求证：△CEF为等边三角形；②当α＝时，AC∥FE．（直接回答即可）（3）操作探究3：小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β（0°＜β＜90°），线段BC和DE相交于点F，当旋转到点F是边DE的中点时（可利用图4画图），直接写出线段CE的长为．

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．2．【分析】根据勾股定理逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴以2，3，4为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误；B、∵32+42＝52，∴以3，4，5为三角形的三条边长能组成直角三角形，故此选项正确；C、∵42+52＝41≠62，∴以4，5，6为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误；D、∵52+62＝61≠72，∴以5，6，7为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．3．【分析】先求出不等式的解集，然后求出其正整数解即可．【解答】解：3x﹣1≤2x+3，移项得：3x﹣2x≤3+1，合并同类项得：x≤4，∴不等式的解集为x≤4，∴不等式的正整数解有4，3，2，1一共4个，故选：B．【点评】本题主要考查了求一元一次不等的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．4．【分析】首先根据直角三角形的性质推出∠BAC的度数，然后由角平分线的性质求出∠CAD＝30°，最后根据特殊角的三角函数值即可求出AD的长度．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AD．在Rt△ADC中，由勾股定理知：AD2＝AC2+CD2，即AD2＝（）2+（AD）2，∴AD＝2．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质以及含30度角的直角三角形．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．【分析】由旋转得，AC＝AE，∠EAC＝110°，∠AED＝∠C＝35°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠CEA＝35°，即可求出答案．【解答】解：由旋转得，AC＝AE，∠EAC＝110°，∠C＝∠AED＝35°，∴∠CEA＝∠C＝35°，∴∠BED＝∠AED+∠CEA＝70°，故选：B．【点评】此题考查了旋转的性质，等腰三角形等边对等角求角度，正确理解旋转的性质是解题的关键．6．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A5的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝＝80°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝＝＝40°；A同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，∴∠An＝，以点A4为顶点的等腰三角形的底角为∠A5．∠A5＝＝5°，故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．【分析】在等腰三角形中，两底角相等，在结合三角形内角定理即可作答．【解答】解：∵等腰三角形的顶角的度数为108°，∴等腰三角形的底角的度数为，故答案为：36°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形中，两底角相等，是解答本题的关键．8．【分析】已知点P（4﹣a，2）是第二象限内的点，即可得到横纵坐标的符号，即可求解．【解答】解：∵P（4﹣a，2）是第二象限内的点，∴4﹣a＜0，解得：a＞4．故答案为：a＞4．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握平面直角坐标系中点的特点是解题关键．9．【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．∵点B′恰好落在CA的延长线上，∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．故答案为：60．【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．10．【分析】利用平移的性质解决问题即可．【解答】解：∵A（3，），D（6，），∴点A向右平移3个单位得到D，∵B（4，0），∴点B向右平移3个单位得到E（7，0），故答案为（7，0）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．【分析】根据三线合一得出∠ADF＝90°，∠ACD＝30°，连接AF，根据垂直平分线的性质得出AF＝FC，根据等边对等角得出∠FAE＝∠FCA＝30°，即可得出∠DAF＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质，得出AF＝2＝FC，进而即可求解．【解答】解：∵CD是等边△ABC边AB上的中线，∴CD是AB上的高，是∠ACB的平分线，∴∠ADF＝90°，∠ACD＝30°，如图，连接AF，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF＝FC，∴∠FAE＝∠FCA＝30°∴∠DAF＝30°在Rt△ADF中，DF＝1，∴AF＝2＝FC，∴CD＝DF+FC＝1+2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．12．【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，∴BC＝12cm．①当BP＝BA＝13时，；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝24cm，；③当PB＝PA时，PB＝PA＝tcm，CP＝（12﹣t）cm，AC＝5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，即t2＝52+（12﹣t）2，解得．综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝13或24或．故答案为：13或24或．【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、（本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，3（x﹣2）≥2（7﹣x），3x﹣6≥14﹣2x，3x+2x≥14+6，5x≥20，x≥4．【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．14．【分析】如图，过点P作PD⊥OB于点D，证明PC＝PD即可．【解答】解：如图，过点P作PD⊥OB于点D，∵点P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PD＝PC，∵PC＝8，∴PD＝8，即点P到OB的距离为8．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，角平分线上的点到两边距离相等，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤，掌握角平分线上的点到两边距离相等．15．【分析】先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≤4，所以不等式组的解集是1＜x≤4，在数轴上表示为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．16．【分析】（1）直接利用等边三角形的性质结合菱形的性质得出△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；（2）利用菱形的判定与性质得出△AFG≌△EFH，得出FG＝FH，进而结合角平分线的判定得出答案．【解答】解：（1）如图①所示：连接AE，∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形，∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC，∴∠ADC＝30°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°，则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；（2）如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H，则FG⊥AC，FH⊥BC，由（1）得：∠BEC＝∠DAC，∠AEF＝∠EAF，则AF＝EF，在△AFG和△EFH中，∴△AFG≌△EFH（AAS），∴FG＝FH，由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，CF为所作的角平分线．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用菱形的判定与性质是解题关键．17．【分析】由于AB＝BD＝DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可设∠C＝∠CDB＝x，则∠BDA＝∠A＝2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出∠A，∠C度数．【解答】解：∵AB＝BD，∴∠BDA＝∠A，∵BD＝DC，∴∠C＝∠CBD，设∠C＝∠CBD＝x，则∠BDA＝∠A＝2x，∴∠ABD＝180°﹣4x，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝180°﹣4x+x＝105°，解得：x＝25°，所以2x＝50°，即∠A＝50°，∠C＝25°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．18．【分析】（1）根据平移规律可得，向下平移5个单位，即横坐标不变，纵坐标减5，即可得到A1坐标．（2）根据旋转规律，图形旋转90°，即对应边的旋转角为90°，找到对应点的位置即可得到答案，同时也可得到B2的坐标．【解答】解：（1）如图所示，即为所求，点A1的坐标为（5，﹣3）；（2）如图所示，A2B2C1即为所求，点B2的坐标为（﹣3，0）；【点评】本题考查平移和旋转，熟练掌握平移和旋转的规律是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．【分析】先把m当做已知数，求出x+y＝﹣m﹣1的值，再根据x+y＞﹣3列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：方程组①+②得：3x+3y＝﹣3m﹣3，∴x+y＝﹣m﹣1，∵x+y＞﹣3，∴﹣m﹣1＞﹣3，∴m＜2，∵m是非负整数，∴m＝1或m＝0．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，解出x+y＝﹣m﹣1式子，再根据x+y＞﹣3列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围．20．【分析】（1）设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为x元，y元，由“购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元”，可列出二元一次方程组，解方程组即可得答案；（2）设购进甲品牌的消毒液a瓶，则购进乙品牌的消毒液（50﹣a）瓶，根据资金不超过1900元，购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半可列出一元一次不等式组，求出a的取值范围，结合a为正整数即可得答案．【解答】解：（1）设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为x元，y元，由题意得：，解得：，∴甲品牌的消毒液的单价为50元，乙品牌的消毒液的单价为30元．（2）设购进甲品牌的消毒液a瓶，则购进乙品牌的消毒液（50﹣a）瓶，由题意可得，，解得：，∵a为正整数，∴a可取17，18，19，20，∴共有4种方案．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题关键是找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组．21．【分析】（1）先证明△ABC≌△BAD，再利用全等三角形的性质可得AE＝BE；（2）再利用等腰直角三角形的性质可以得出结果．【解答】（1）证明：在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．（2）∵∠C＝90°，∠AEC＝45°，AC＝1，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∴AC＝CE＝1，，由（1）得：，∴．【点评】本题利用了三角形全等的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练运用三角形全等的判定和性质是本题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．【分析】（1）先由函数y1＝x+5，求出点A，点D的坐标，得到m的值；再将D点坐标代入y2＝﹣2x+b，求出b的值；（2）根据函数图象，求出y1落在y2图象上方的部分对应的x的取值范围即可；（3）先由y2＝﹣2x+2，求出B，C两点的坐标，再代入S四边形AOCD＝S△ABD﹣S△BOC计算即可．【解答】解：（1）∵函数y1＝x+5的图象与x轴交于点A，∴A（﹣5，0）．∵y＝4时，m+5＝4，解得m＝﹣1，∴D（﹣1，4）．将D（﹣1，4）代入y2＝﹣2x+b，得4＝﹣2×（﹣1）+b，解得b＝2，故m＝﹣1，b＝2；（2）由图象可知，若y1＞y2，则x的取值范围是x＞﹣1．故答案为x＞﹣1；（3）∵一次函数y2＝﹣2x+2的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，∴B（1，0），C（0，2），∴S四边形AOCD＝S△ABD﹣S△BOC＝×6×4﹣×1×2＝12﹣1＝11．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合思想．23．【分析】（1）由旋转的性质就可以证明△BCO≌△ACD；（2）先证出△OCD是等边三角形，又根据△BCO≌△ACD，得出AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC，再根据勾股定理的逆定理得出∠ADO＝90°，等量代换得出∠BOC＝150°．【解答】（1）证明：∵CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠BCA＝∠OCD＝60°，∴∠BCA＝∠OCD，∠BCO＝∠ACD，在△BCO和△ACD中，CA＝CB，∠BCO＝∠ACD，CO＝CD，∴△BCO≌△ACD（SAS），∴BO＝AD．（2）解：∵CO＝C