高中数学：如何学好圆锥曲线

高中数学：如何学好圆锥曲线?

解析几何(圆锥曲线)

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圆锥曲线高考的命题趋势

(1)题型稳定：

近几年来高考解析几何试题一直稳定在两个选填(选择或

填空)题，一个解答题上，分值为32分，是占比最高的

模块之一。

(2)整体平衡，重点突出：

解析几何部分19个知识点，一般会考查到其中的半数以

上，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗

漏，通过对知识的重新组合，考查时既要注意全面，更要

注意突出重点。

(3)题型新颖，位置不定：

考查的选择题、填空题均属易、中等题，且解答题未必会

有大难点。所以与相关知识的联系加深加大(如向量、函

数、方程、不等式等)，将会是今后解析几何的出题重

心。

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圆锥曲线的试题特点

1.两小一大，其中选择题，填空题多以基础和中档为主；

2.解答题处于压轴位置；

3.圆的问题居多；

4.计算量适中；

5.多种曲线交汇，如直线与圆、椭圆与圆，椭圆与双曲线

等；

6.分层设计，解答题分两个小题设置，层次分明；

7.常常不给出图形或不给出坐标系，无形中增加了画图的

要求。

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常用的八种方法

1、定义法

(1)椭圆有两种定义。第一定义中m+r2=2a。第二定义中/产

r2=ed2o

(2)双曲线有两种定义。第一定义中，,一引=2。，当“2时，

注意上的最小值为c-a：第二定义中，।•产ech,r2=ed2,尤其应注意

第二定义的应用，常常将半径与"点至帷线距离"互相转化。

(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，

很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲

线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，

故用韦达谈及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是

弦中点问题，弦长问题，可用韦达在直接解决，但应注意不要忽视

判另斌的作用。

3、设而不求法

解析几何的运算中，常设一些期并不解解出这些量，利用这些量过

渡使问题得以解决，这种方法称为"设而不求法设而不求法对于

直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点'可题，常用"点差法"，即酸

的两个端点A(Xi,y1),B(X2,y2),弦AB中点为M8"。)，将点A、B坐标

代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种

常见的"设而不求"法，具体有：

(1)屋+订=13>3>°)与戢相交于A、B,凝AB中融

M(xo,y°),则有点+条(M中K是直线AB的斜率)

(2)/一灯=13>°'">°)与直线1相交于4B,设弦AB中点

为M(xo,y°)则有鸟-普左=0其中K是段AB的斜率)

ab

(3)y2=2px(p>0)与直线I相交于A、B设弦AB中点为M(Xo,yo),

贝U有2y0k=2p,即y0k=p.(M中K是直线AB的斜率)

4、弦长公式法

弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把

直线方程^=%+6代入圆锥曲线方程中，得到型如加+Zzr+c=O

的方程，方程的两根设为X”，•J,判别式为乙，则

|的'\XA-XB\=>I^^，若高妾用缗仑，能触配方、

开方等运算过程。

5、雌结合法

解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运制隹理与几何的

论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性

与几何论证的直观性,尤其是将型代数式子利用其结构特征，想象

为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

如"2x+/',令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在v轴上的截

距；如"x2+产，令Jx2+y?=d，则d表示点P(X,y)到原点的距

离；又如“匕:"，令匕==匕则卜表示点「行、丫)与点人(-2,

x+2x+2

3)这两点峻的斜率……

6、参数法

(1)点参数

利用点在某曲线上设点(常设“主动点"),以此点为参数,依次求出

其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P,常设P(t,0);直

线x-2y+1=0上一动点P。除设P(xi,yia卜，也可直接设式2y「1y)

(2)■为鳗

当直线过某一定点P(xo,yo)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0),即以k

为参数，再按命级求依次列式求解等。

(3)角参数

当研究有关转动的问题时,常设某Y角为参数,尤其是圆与椭圆上

的动点问题。

7、代入法中的顺序

这里所讲的"代入法"，主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对

于命题：”已知条件内尸2求(或求证)目标Q",方法1是将条件A

代入条件p2,方法2可将条件P2代入条件Pl,方法3可将目标Q

以待定的形式进行假设，代入内,2,这就是待定法。不同的代入方法

常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

八、充分利用曲线系方程法

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七种常规题型解法

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点

为a，(和必)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及

斜率公式，消去四个参数。

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点居、片构成的三角形问题，常用

正、余弦翩搭桥。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元

二次方程后利用判别式，应特另蛀意雌结合的办法

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来

解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数

(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

(5)求曲线的方程问题

1,曲线的形状已知------这类问题一般可用待定辍法解决。

2.曲线的形状未知求轨迹方程

(6)存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可