高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (16)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(16)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.已知向量乙方满足|引=应,巧|=L

(1)若区石的夹角e为.求|8+石|；

(2)若0+石)1石，求日与石的夹角。.

2.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A,B,C三点满足历=：函+|诟.

⑴嘲的值；

(2)已知A(l,cosx),B(1+cosx,cosx)x6[0,Jf(x)=函•沆1—(2m+1)|荏|.若/'(x)最小值记

为g(m),求g(m)表达式，并求g(m)的最大值.

3.如图，在AHBC中，C=%"BC的平分线8。交AC于点£>,且tan/CBD=去

⑴求sinA；

(2)若不•次=28，求A8的长.

4.已知角A、B、C为△4BC的三个内角，其对边分别为a、b、c,若m-=(-cosasin今，n-=

(cosI，sin^),a=2痘,且m~(•『=：.

(1)若△4BC的面积S=6,求b+c的值.

(2)求b+c的取值范围.

5.如图，在平行四边形ABC。中，E,尸分别是8C,4C上的点，且满足丽=前，DF=2FC，

记荏=花AD=b，试以落石为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；

(1)用落3来表示向量反，而；

(2)若|而|=3，|/|=2，且|前|=百，求|诟

6.已知点4(1,—2)和向量五=(2,3).

(1)若向量而与向量五同向，且|南|=2后，求点B的坐标；

(2)若向量充与向量»=(-3次)的夹角是钝角，求实数A的取值范围.

7.如图，在2MBC中，AB-2,AC=3,Z.BAC=60",而=2而，CF=2EB.

(1)求CO的长;

(2)求荏•屁的值.

8.已知向量沆=(cosn=(V3sinpcos21),设函数/(x)=记•元+1.

(1)若xe[05],/(x)=1,求x的值；

(2)在AABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足2bcosA42c-Ka，求/(B)的取

值范围.

9.已知实数OS。Sir,a=(cos61,sin6»),j=(0,1).若向量B满足0+方)•j=0，且五%=0.

(I)若|丘-石|=2，求];

(n)若/(%)=+x(a—在E，+8)上为增函数.

(1)求实数。的取值范围；

(2)若/Q)＜遮对满足题意的夕恒成立，求x的取值

10.已知向量左与石的夹角为30。，I矶=8，同=2.求I五+1],I3一旦的值.

11.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A,B,C三点满足云=：e+|南.

⑴求鬻值;

(2)4(1,cos%),8(1+cosx,cosx),%€[0,自，/(%)=OA-OC-(2m+1)|^45|,若/(%)的最小值为

g(m)f求g(?n)的最大值.

12.在①一普7=衿，②：=篝詈，③2s=百方•缁这三个条件中任选一个，补充在下面

smB-smCb-aaV3smAv

的横线上，并加以解答。

在44BC中，角4B,C的对边分别是a,b,c,S为44BC的面积，若

(1)求角C的大小；

(2)点。在C4的延长线上，且4为C£>的中点，线段3。长度为2,求岫的最大值.

13.已知平面上三个向量五，b，c,其中年=(1,2).

⑴若同=2倔fia//c,求工的坐标；

(2)若同=|,且(下+2])乂2宝-石)，求五与方夹角的余弦值.

14.已知椭圆及圣+'=l(a>b>0)的左右焦点分别为&,Fz，离心率是圣P为椭圆上的动点.当

4F1PF2取最大值时，APF/z的面积是VI

(1)求椭圆的方程；

(2)若动直线/与椭圆E交于A,B两点，且恒有正.方=0,是否存在一个以原点。为圆心的

定圆C,使得动直线/始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由.

15.已知向量凝国回=仍|=1，R\a+kb\=V3\a-kb\

⑴若W与方的夹角为以求k的值；

(2)记/'(/()=五不，且不等式m<f(k)对Wke[2,4]恒成立，求m的取值范围.

16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积为逅丽.豆乙

2

(1)求角B的大小：

(2)现给出三个条件：①记=(a,c),n=(2,1),m//n：②AC边上的中线8。长为?；③M为

AC边上一点，BM="警=军票.从中选出两个可以确定AZBC的条件，写出您的选择,

3|B»|\BC\

并以此为依据求4力BC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.已知向量力=(1,2),b~(3,x)，c~(2,y),且五〃3,ale.

(1)求方与不;

(2)若沆=2方一石，n=a+c,求向量沅，亢的夹角的大小.

18.在△ABC中，^BAC=90。，点。在边BC上，满足4B=6BD.

⑴若4BAO=30°,求NC；

(2)若CD=2BO,AD=4,求△ABC的面积.

19.在边长为1的菱形A8CD中，A=60。，E是线段C。上一点，满足|而|=2|丽|，如图所示,

设品=洒AD=b.

(1)用a,匕表示玩.

(2)在线段BC上是否存在一点凡满足AF1BE?若存在，确定点尸的位置，并求|而|；若不存在，请

说明理由.

20.如图，在矩形A8C。中，AB=或，BC=2,点E为BC的中点，点F在边C。

上,若耘.力=■=V2>则后■.前的值是--------

21.已知|五|==1，且向量方与了不共线.

(1)若方与3的夹角为45。，求(2五一B)•(方+石)；

(2)若向量ka+石与ka-方的夹角的钝角，求实数k的取值范围.

22.已知向量1-(1,2),b=(-3,4).

(1)求|3五一同的值；

(2)若五J.0+1办求4的值.

23.已知向量五=(cosx,sinx),b=(3,-V3)>xG[0,n].

(1)若五〃石,求x的值;

⑵记/(x)=云不，求f(x)的最大值和最小值以及对应的X的值.

24.阅读一下一段文字：0+方)2=片+2五区+片，0—方)2=片一石+,,两式相减得：

(a+bY-(a-b)2=4ab^ab=^[(a+by-(a-b)2],我们把这个等式称作“极化恒等

式”.它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试解决以下问

题：如图，在AABC中，。是BC的中点，E,尸是A。上的两个三等分点.

(1)若4。=5,BC=4,求而•前的值；

(2)若丽•前=4，丽•正=一1，求方•前的值.

25.已知△ABC中三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,且8=b=2.

(l)若c=竽，求sinA的值；

(2)当琳•丽取得最大值时，求A的值.

26.已知向量3=3宙-2/，b=4e7+e^>其中瓦'=(1,0)，蒜=(0,1).

⑴求>4值+0；(2)求宝与匕的夹角的余弦值.

------*TC

27.如图，直角梯形48c。中，DA=2,NCDA=—,DA=2CB)为直角,E为AB的中点,

3

DP=ADC(AG/?,O<A<1).

I

(1)当；1=一时，用向量反，而表示向量而；

(2)求|而|的最小值，并指出相应的实数;I的值.

28.设/=(2,0),b-=(1,V3).

(1)若(a-,求实数；I的值；

(2)若m-=xa-+yb-(x,yeR),且同=2遮，m-与y的夹角为也求,y的值.

29.已知△ABC的面积为S,且瓦？.G?=S.

(1)求tanA的值；

(2)若B=5c=6,求△ABC的面积S.

30.已知向量Z=(cos|x,sin|x),b=(cos|,-sin|),其中xe[0,%

(1)求方•方及/a+b/;

(2)若/(x)=方苇一2a/五+B/的最小值是一|,求4的值.

【答案与解析】

L答案：⑴佩2洋

解析：

本题主要考查向量模、夹角的求解，数量积的计算以及向量垂直的等价条件的运用，属于基础题.

（1）利用公式|云+石|=+5）2即可求得；

（2）利用向量垂直的等价条件（五+方）JL另=（日+石）•B=0以及夹角公式cos。=需即可求解.

解：（1）由已知，得五•b=|方|•同cos*=&x1x曰=1,

所以|五+同2=但+K）2=\a\2+|b|24-2a-b

=2+1+2=5,

所以|五+3=V5.

（2）因为0丸所以（五+。）不=0.

所以五-K4-K2=o»

即方•K=-K2=—1»

所以cos0=言言=卷=一\,

|a|-|d|V22

又。G[0,7r],

所以0=9,即行与万的夹角为

44

2.答案：解：（1）由题意知A,B,C三点满足历=：瓦？+|赤,

可得灵-OA=^(OB-OA),

所以而=|四=家就+方)，

即萍=|E

即前=2CB，贝ij|而|=2\CB\,

所以圈=2.

(2)由题意,知万?=(l,cosx),OB=(14-cos%,cos%)，

OC=-OA+-OB=(14--cos%,cosx),AB=OB-OA=(cosx,0)，

函数/(%)=07-0C-(2m+|)|^B|

22

=14--cosx+cos7x—(2m+-)cosx

=(cosx—m)24-1—m2,

☆t=cos%,因为％所以

令九(t)=(t—m)2+1—m2,tE[0,1].

当mV0时,九(t)的最小值为九(0)=1,即g(m)=1;

当0<m<1时，九(。的最小值为九(巾)=1—m2,即g(m)=1—m2;

当m>1时,左(t)的最小值为八(1)=2—2m,即g(m)=2—2m.

fl,m<0

综上所述，g(m)=<1-m2,0<m<1,可得函数g。)的最大值为1,

(2—2m,m>1

即g(m)的最大值为1.

解析：本题考查了向量的加减运算，考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算，以及三角函数

求最值，分类讨论思想，属于中档题.

⑴由题意可得k-瓦？=|（而-而），化为［前=|E可得结果;

(2)由题意可得函数/(x)=0A-0C-(2m+|)|AB|=(cosx-m)2+1-m2,利用换元法令t=

cos%,注意，的取值范围，令h(t)=(C-nt)?+1-Hi?,tw[0,1].利用分类讨论思想分别对m<0,

0<m<1,m>1进行讨论可得g(?n)的最大值.

3.答案：解：（1）令NCBD=。，则tan0=（

BD平分乙4BC,

・••Z.ABC=20,

2X

故tan乙4BC=tan20=2t吗=?=

l-tan20i-(p23

由于乙48c为△ABC的内角，

则0V448CVTT,

住Itan/ABC=|>0知，^ABCG(0(),

44

・・・sinZ-ABC=

V42+32

33

COSAABC=7^=i

在△ABC中，A+C+"BC=7r,

故sin4=sin(7r—C—Z-ABC)

=sin(C+Z.ABC)

=sinCcosZ-ABC+sinZ-ABCcosC

>/23.>/247^2

——X—|X——•

252510

(2)在△ABC中，由正弦定理可得，

BCACAB

sin.4sinZ.ABCsinC"

由(1)知sinZ=—,sinC=sin-=—，sinZ.ABC=g

1042s

设AC=8x,则BC=XCsinX=7vlr,

sinz.ABC

/ICsinC

AB=5V2x,

sin乙4BC

由E?•方=28可得,

CA-CB=\CA\-|CB|COSC

=8%•(7A/2X)-y=56x2=28,

故％2=|?=i

5oN

解得x=当或x=*(舍去),

故4B=5企x苧=5.

解析：本题考查了二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，正弦定理，向量的数量积，考查学生

的计算能力，属于中档题.

(1)根据题意令NCBD=。从而可得tan乙4BC=tan2。，利用两角和与差的三角函数公式即可求得

tan乙4BC,从而利用两角和与差的三角函数公式即可求得sinA.

(2)根据题意设4c=8x,利用正弦定理求出AC,8c的关系，利用向量的数量积即可求出x的值,

进而求得AB的长.

4.答案：解：(1)vm=(-cospsin^),n=(cospsin^),

口TTZA・4、/力、?A.7A.1

Mm•n=(—cos-,sin-)•(cos-,sin-)=-cosz-4t-sinz-=—cosA=

即一cos4=I，又AE(0,TT),・,・A=*又由S△力BC=|bcsinA=V3,所以be=4.

由余弦定理得：a2=62+c2-2bc-cosY=62+c2+be,16=(b+c)2,故b+c=4.

(2)由正弦定理得：白=肃=总=第?=4,又8+。=兀一4=9

、,sLTiDsluesin/isin—J

3

.・.b+c=4sinB4-4-sinC=4sinB+4sin(^—8)=4sin(F+g),

•・,0V8Vg，则？V0+]VJ则上<sin(S+-)<1,

J33o23

即b+c的取值范围是(26,4].

解析：(1)利用两个向量的数量积公式求出-cosA=：,又46(0,兀)，可得A的值，由三角形面积及

余弦定理求得b+c的值.

⑵由正弦定理求得b+c=4sin(B+》根据B+料范围求出sin(B+m)的范围，即可得到b+c的

取值范围.

5.答案：解：(1)♦.•在平行四边形ABC。中，现=前,~DF=2FC.

--»-----»----->-----»1-----»-----»1------»_.1—»

•••DE=DC+CE=AB+-CB=AB--AD=a--b,

222

=~BC+CF=AD+-~CD=AD--AB=b~~a；

333

(2)由(1)可知：~BF=AD-^AB.'DE=AB-^AD,

----->2(»i>\2>2o*»1>2

:・BF=AD-萍，

V\AB\=3,\AD\=2,且|8尸I=V3,

•••(V3)2=22-1X2X3-COSZ.BAD+^X32,

・•・COSZ.BAD=

2

7/1\2717

.-.DE2=[AB-^AD)=AB-AB-AD^^AD

1

=372-3x2-cosZ-BAD+-x292

4

=9-6x-+l=7,

2

|国=V7.

解析：本题考查了平行四边形性质、向量的线性运算、向量的数量积及长度的求解，属于中档题.

(1)根据向量的加法、减法及数乘运算可求得结果；

(2)先求出法2,应用了平面向量的数量积及运算律.

6.答案：解：(1)设B(x,y),

则而=(x-l,y+2).

若向量荏与向量五同向，

则有3(x-l)=2(y+2),

若|而|=2V13.

则(x-l)2+(y+2)2=52,

解可得忆:啸：二;,

当二:时，荏=(一4,一6)，与向量力反向，不合题意，舍去；

当忘二：时,通=(4,6)，与向量五同向,

则8的坐标为(5,4)；

(2)若向量五与向量B=(-3,k)的夹角是钝角，

则有五-K=-6+3/c<。且2k+9*0,

解可得k<2且kH-春

k的取值范围是(—8,—2)u(―p2).

解析：此题考查向量数量积的计算，考查向量的模及夹角，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式，

属于中档题.

(1)根据题意，设B(x,y),易得向量而的坐标，分析可得3(%-1)=2(y+2)且(x-I)2+(y+2)2=

52,解可得x、y的值，验证向量荏与向量力是否同向，即可得答案；

(2)根据题意，由向量数量积的计算公式可得1.b=-6+3k<0且2k+9H0,解可得k的取值范围,

即可得答案.

7.答案:解：(1)---DB=2AD,AD=^AB,

------->------->------->11'>>

.：CD=AD-AC=-AB-AC,

-AB=2,AC=3,匕84c=60°,

...，一,，♦一,,1

AB-AC=\AB\-\AC\cos60°=2x3xj=3.

--->21.---»--->0

vCD=(^AB-AC)2

1--->22”―――，—->2

=-AB--AB-ACAC

93

122--X3+32=-,

=9X39

所以画=”；

(2)-CE=2葩［BE=^BC,

—,—»—•2—>1—»

***DE=DB+BE=

=-AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

33'733

11

.-.AB-DE=AB-(i-AB+-4C)

=-AB2+-AB-AC=-x22+-X3=--

33333

解析：本题考查了向量的模和向量的数量积，是一般题.

(1)根据丽=AD-AC=IAB-AC,然后再利用向量数量积的性质可以得出答案；

(2)先求出屁=而+而=^AB+^AC,再根据荏-~DE=JB-(^AB+:而)可以求出答案.

8.答案：解：(1)由题意/(%)=沆.记+1=J^sin：•cos：-cos?：+1=半sinx—上詈3+1

兀、

=—V3si.nx——1cos%+.-1=si.n(,x——)+।一1，

222'6/2

因为/'(%)=1，所以sin(x-》=%

Xxe［0,5,所以“_白［一%勺,

ZOOO

所以％Y=狎%=p

(2)2bcos442c-V3a»

由正弦定理可得2sinBcosA<2sinC一遍sinA,

因为。=加一(/+8),

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以2sinBcosA<2(sinAcosB+cosAsinF)—V3sinA,

即遍sinA<2sinAcosB，

由4G(O,zr)可得sin4>0,所以cos8》争

由B6(0,兀)，得BE(05],

所以8—6(—?,0],sin(B—£)€|,0],

OOOL

所以f(B)=sin(B-?)+；e(0,)

OLL

解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，两角和差的

正弦、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.

(1)利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为/"(X)=sin(x-

J)+p由/(x)=l,求得sinQ-5=a可得xW，求得x结果；

(2)在AABC中，由条件2bcosA《2c—V5a可得旧sinA<2sin4cosB，故cosB>得Be(0,,

由此求得f(B)的取值范围.

9.答案：(I)设石=(m,n)，由[0+2'-°得了(S*n—sm0)>

Ia-b=0。

又方.6=jQa+K|2—\a—同2)=o,恒—同=2,所以|五+同=2,

即(cos。+也『=4,得cos。=±3，

\COS0)2

又0<9<n,所以sin。=—,

2

故石=(1")或9=(-|");

(n)(l)/2(x)=\b+x(a—b)|=(%cos6+(1—x)^^,(2x—l)sin。)

=(tan29+l)x2-2tan20x+tan29；

•・,/(%)=区+x(a—3)|在L，+8)上为增函数，

・・・川(%)在原+8)上为增函数,

解得1Wtan0W1；

tan20+l2

,Jowewyr,eEu[了'"]；

(2)・・・/(%)<遍对。G[O用U6同恒成立，

・•・/2(x)=(tan29+l)x2—2tan20x+tan20<5对6£[o,[U洋/恒成立，

即F(taii20)=(x2-2x+l)tan20+MW5对tan?。6[0,1]恒成立，

•••2x2—2x+1<5；

解得一1<x<2,

所以x的取值范围为[-1,2].

解析：本题主要考查了向量的数量积的运算公式的应用，以及函数的恒成立问题的求解，属于中档

试题.

（I）设方=（血力根据向量的数量积的运算，求得[os。+鬻7=4.进而得到cos。=士捌sin。=

多即可得到向量瓶坐标;

（n）（i）根据向量的模的运算，求得尸0）,又由函数/（%）=+—WI在*，+8）上为增函数，得

到尸（X）也是增函数，得到taMewi,即可求解。得取值范围；

⑵由/（X）＜遍恒成立，转化为严（X）对。G[o,j]u降叶恒成立，进而转化为F（tan2。）45对

tan20€[0,1]恒成立，即可求解.

10.答案:解：•••方与石的夹角为30。

a-b=\a\b|cos30°=V3x2x—=3

|a+K|=J(a+b)2=^\a2+\f+2^b

=J(V3)2+22+2X3=V13

\a-b\=J(a-b)2=J|a|2+|fe2-2ad|=J(V3)2+22-2x3=1

综上所述，|五+石|=旧，|a-b|=1

解析：本题考查了向量教量积的运算、向量模的计算，根据|方+引=+石y,|3,^|=

运算即可.

11.答案：解：⑴由题意知A,B,C三点满足元=1而+|南,

可得元-亚=|（而一丽），

所以前=|荏=|函+方）,

即萍二|E

EP？C=2CB>贝砌=2|西，

所以圈=2.

(2)由题意,知②？=(l,cosx),08=(1+cos%,cos%)，

OC=|OA+1OB=(1+;cosx,cosx)»AB=OB—OA=(cos%0),

函数/(x)=0A-0C-(2m+^)\AB\

22

=1+—cosx+cos7%—(2m+-)cosx

=(cosx—m)2+1—m2,

☆t=cosx,因为所以£€[0,1],

令九(£)=(t—m)24-1—m2,tE[0,1].

当mV0时,九(t)的最小值为九(0)=1,即g(m)=1;

当04?n<l时，九(。的最小值为九(m)=1—巾2,即g(m)=1—62；

当m>1.时,九(£)的最小值为五(1)=2—2m,即g(m)=2—2m.

"1,771<0

综上所述，g(m)=-1-m2,0<m<1,可得函数gOQ的最大值为1,

、2—2m,m>1

即g(?n)的最大值为1.

解析：本题考查了向量的加减运算，考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算，以及三角函数

求最值，分类讨论思想，属于中档题.

⑴由题意可得元-布=久而-前)，化为:左号而，可得结果；

(2)由题意可得函数/(X)=04-OC-(2m+|)|AS|=(cosx-m)2+1-m2,令

利用换元法令t=cosx,注意/的取值范围，令h©=(t-7n)2+l-m2,tG[0,1].利用分类讨论思

想分别对mV0,0<m<1,m>1进行讨论可得g(?n)的最大值.

12.答案：解:(1)选①:在ZL4BC中,

:in4=•••由正弦定理得二、二.

sinF-sinCb—o.p—r•b—a

・•・a(b—a)=(b+c)(b—c),即M4-b2-c2=ab,••cosC=

TT

•・•CG(0,7T),­­C=

选②：由正弦定理得等=c黑c+：,sinAH0,・•・gsinC=cosC+1,

J7sirMV3smX

2sin(C-^)=l,siu(C-^)=l,

•••CG(O,7T).丹•,"一看屋，%

选③：2s—V3-CA-CB>absinCC.

••,tanC=>/3,VCe(0,7r),:.C=三.

(2)在团BCD中,由余弦定理知a?+(26)2-2xax2bxeos60»=22,

•1•a2+4b2—2afa=4>2•a-2b-2ab=2ab,ab<2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时

取等号，

此时ab的最大值为2.

解析：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查利用基本不等式求时的最值，属于中档题.

(1)选①：由正弦定理得二”二结合余弦定理求得cosC=g继而可得结果：选②：由正

弦定理得霍=可得sin(C-》=抑可求解；选③：由条件得

absinC=v&abco6a即可求解.

(2)根据余弦定理以及基本不等式可得ab<2,即可得解.

13.答案：解：⑴设工=(x,y),由条件有=2°,

解得仁御;U，

所以1=(2,4)或下=(-2,-4).

(2)设五，石的夹角为8,

由0+2石)，(2日一方)，知位+2b)-(2a-b)=0.

BIJ2a2+3a-K-2fe2=0，

由五=(1,2)得|a|=y/14-4=>/5>

・•・a2=5»

又@=|，

所以4-K=-(p2—a2)=

36

又3"晶=裾=冬

解析：本题考查平面上两个向量平行、垂直的条件，以及利用两个向量的数量积求两个向量的夹角,

属于中档题.

(1)设出口的坐标，由题中条件列方程组，解之即可求出下的坐标.

(2)由五+2加与2方一B垂直，可知0+2石)•(2五一&)=0，结合|初，同，即可求出夹角。的余弦值

的大小.

14.答案：解：(1)根据题意可得e=£=更，

a2

设NFiPB0,由余弦定理可知4c2=|P&『+|PF2『-2|PF/•|Pf2lcos。,

则4c2=4a2-2\PF1\\PF2\-2\PF1\\PF2\cos9,

pm2b2.2、？c,22b2

即1+cosd=----->(■———-)2•2b2=—,

IP&IIPBIi|PFii+ip^ya?

当且仅当IPF1I=IPF2K即p为椭圆短轴的端点)时等号成立，且NRPEi取最大值,

此时△P&F2的面积是］x2cxb=be=>/3,

同时a?=b2+c2,联立儿=次和£=立，

a2

解得Q=2,b=1,C=V3»

・,•椭圆方程为弓+y2=1；

(2)当直线/斜率不存在时，直线/的方程为％=71,

.•・M+4n2=4,/=i此时原点。到直线I的距离d=辿，

55

当直线/斜率存在时，设直线/的方程为y=kx+zn,A(x1,y1),B(x2,y2),

原点0到直线I的距离为d,耳=d,

vi+kz

整理得加2=d2(fc2+1),

22

由T+y-1,可得(41+1)%+8kmx+4m-4=0,

y=kx+m

4=(8km)2—4(41+l)(4m2-4)=16(4fc2—m24-1)>0,

8km47n2-4

%]+%2=

—4k2—+1',Xr1X12=­4kr2—+1

2m2

yry2=(fc%i+m)(fcx2+m)=kxrx2+fcm(xx+x2)+

47n2-4-8kmm2-4k2

=fc2x+kmx+m2

4k2+l4k2+l4k2+l

—»―>4m2—4m2—4k2

°AOB=x/2+为=至E+不F

5m2-4k2-4八

=4k2"+i=。,

即57n2_4,2_4=o,即5d2(1+fc2)-4k2-4=0恒成立，

即(5d2-4)(k2+1)=0恒成立，

5d2—4=0,d=

5

・••定圆C的方程是M+y2=%

・•・当画・南=0时，存在定圆C始终与直线/相切，

其方程是/+y2=1.

解析：本题考查的是椭圆的标准方程和性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积.

(1)根据题意可得e=£=返,设0,由余弦定理可知4c2=上尸1|2+仍尸2|2一2。尸］|.

a2

\PF2\COS9,再结合基本不等式和题干条件即可得出椭圆的方程；

(2)当直线/斜率不存在时，直线/的方程为％=凡，即可得出n2+4/=4,层=£此时此时原点。

到直线/的距离(/=等，当直线/斜率存在时，设直线/的方程为y=kx+m,43/1),8(x242)，

X■*•22_q

4,，可得%％2，丫1为，由。4•OB=/乂2+y：!%=

(y=kx+m

0恒成立，即可得出4,从而得出圆的方程.

15.答案：解：(1)由|案+技|=何/一口|，|a|=|K|=1

^\a+kb\2=3\a-kb\2r

即l+2k造石+/=3(1—21五不+/£2),

又苍彳=点所以1+卜+幺=3(1一人+炉)，解得k=l.

(2)由⑴可知,l+2ka-b+k2=3(1-2fca-h+fc2).

所以/'(k)=五不=啜=：(左+》,

易知f(k)在e［2,4］上单调递增，所以=/(2)=|,

O

由不等式m</(k)对Yk€21恒成立，可得k<

8

即m的取值范围为(-8,

O

解析：本题考查了向量的数量积、向量的模、不等式的恒成立问题和函数的最值，是中档题。

(1)将|五+43|=苍一k盯两边同时平方，结合后与石的夹角为g,计算可得%的值；

(2)将|五+k石|=百花-人方|两边同时平方，计算可得f(k),再结合函数的单调性可得/(k)的最小

值，可得4的取值范围.

16.答案：解：(1)由题意知:

SAABC=y雨,前='cosB，

*1[

又SAABC=,ac•sinB，—ac-cosB=-ac-sinB，

222

・•・75cos8=sinB,:.tanB=V3,由于8e(0,TT),故B=p

(2)若选①②,由沅=(Q,C),n=(2,l),7n//n,得：Q-2C=0,即Q=2C,

则由余弦定理得，b2=a2-c2-2accosB=4c2+c2-2c2=3c2,

得b=V3c»则2b=V3a,

由正弦定理得2sbiB=VJsinA,可得sin4=1,

77

.4=c_V32

./g，，••&ABC=yc，

BD=1(BA+BC),/.而I?=；(|司|2+25%/+成产)，即；=衿，

若选①③，由沆=(a,c),n=(2,1),771//n,得：Q-2C=0,即Q=2C,

则由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB=4c2+c2-2c2=3c2,

得b=V3c,则2b=V3a»

由正弦定理得2sinB=V3sin?l,可得sin4=1,

'A=亍，SAABC=~YCf

BA-BMzgBA'BMBd'BM日口4nA彳，/'»r)R”

由，一，=L.得，，一一—>,=—,,——即cos乙/BM=cos乙CBM,

\BA\\BC\\BA\\BM\\BC\\BM\

A/-ABM=乙CBM,・・.BM为角8的平分线，

•••Z.ABM=BM=—.c=AB=1,S=—c2=—;

634ABC22

若选②③，BD=J(BA+BC)..JB5I2=i(|B^|2+2B^-W+|B^|2),

24

j=.(a2+2accos+c2),a2+ac4-c2=7,

由奥巫_BCBM^~BABM_BCBM

即cos乙CBM,

田而-荷信\BA\\BM\一\BC\\BM\COSZTIBM=

・♦•乙48M=/.CBM,/.BM为角3的平分线,

1.DC,c12V3.7T.12V3.7T

Sc

••AABC=ZacsinB=SAABM+SABCM=-C•—•sin-4--a-—•sm

NN30415b

7.3«c2a+2c,平方得9a2c2=4a2+8ac+4c2=284-4ac,

解得QC=2,

C1.7T

=-acsin-=--

解析：本题考查平面向量和解三角形的综合应用，属于拔高题.

(1)由题意知：SAABC=—BA-BC=-ac-cosB，结合^.c=•sinB,可得tanB=V5，即可求

22N

B；

(2)若选①②，由向量平行的坐标表示求得a=2c,由余弦定理得b=V5c,由正弦定理求A,结

合c2=1即可求面积；

若选①③，由向量平行的坐标表示求得a=2c,由余弦定理得b=6c,由正弦定理求4,由数量

积的运算性质可得cosZTlBM=COSNCBM,进而求出C=1,即可求面积；

若选②③，由数量积的运算性质可得a2+ac+c2=7,又COSNABM=COSNCBM,再利用三角形

的面积公式即可求解.

17.答案：解：(1)由苍〃石，得x-2x3=0,解得x=6.

由方，乙得lx2+2y=0,解得y=-l.

所以石=(3,6)，c=(2,-1).

(2)因为南=2万一3=(-1,-2).n=a+c=(3,1),

所以沆•元=-lx3-2xl=-5,|m|=V(-l)2+(-2)2=V5,|n|=V32+l2=710.

所以，

cos<m,n>—:|7n二|-|n|,=v5xV10=-'2

所以向量记，元的夹角为

4

解析：本题考查向量平行和垂直的坐标表示、向量的夹角，考查数学运算素养.

根据向量平行和垂直之间的坐标关系即对于非零向量。

(1)a=1，%),b=Cx2>y2)，a//b^xry2=

,求解即可.

x2yi,a1b<=>xtx2+yiy2=0

(2)先求出访和员的坐标，再根据向量的夹角公式求解即可，最后确定角的大小.

18.答案：解：⑴在△胸中，缶=—，所以叱皿=簪=亭

因为乙BDAG(0,7T),所以=空或NBZM=p

当乙8£>力=争对，48=/所以“=全

当=g时，NB=](舍)，

所以〃=或

(2)因为力B=V3BD,CD=2BD,所以AB=^BC,AC=乎BC,

1121

AD=AB+JD=AB+-'BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

所以而2=±刀2；市2=f卢L在

999V379V37

所以BC=6近,AB=2",AC=4V3,

所以S&uj,=：x24x4>/5=12Vz5.

解析：本题考查了正弦定理、三角形面积和向量的运算，是中档题.

⑴在△”/）中，由正弦定理得一^7=-^；,可得4BDA,进而得出NC：

''sinz.BADsinz.BDA

（2）易得4B=gBC,AC=,BC,由向量的运算得而=|四+：宿所以而之相+萍；可得

BC,AB、AC的长，进而得出三角形面积.

19.答案：解：（1）根据题意得：BC=AD=b，

CE=-CD=-BA=--AB=--a,

3333

BE=BC+CE=b—功.

3

=tBC=tbf则定=（1一t）1，t€[0,1]，

:.AF=AB+BF=a4-1

因为在边长为1的菱形ABC。中，」6（）,

\a\=|K|=1»7ib1x1xco«601,

为使4F_L8E,则布•而=0，

即（五十£石），0-|五）=（1一|。）三"一I"?+t石2

=fl--t）xi--+t=-t-i=O,

\372336

解得c=；w[0H，从而/=五+1反

此时乔=工反\如图：

4

网=辰=Ja2+^a-b+^b2=J1+L=等

综上所述，满足题意的点尸存在，BF=^BC,且此时网=等

解析：本题考查向量的加、减法运算法则，数量积运算，属于中档题.

(1)根据题意可知阮=而=3,求得而=-:正从而即可得到而的值.

(2)根据题意设乔==求得存，前关于优石的表达式，为使4F1BE,则都•屁=0，

利用数量积的运算得到关于r的方程，求得f的值，看是否在［0,1］的范围内即可，然后确定F的位置，

并利用向量的模的求法得到|而j的值.

20.答案：V2

解析：解：•••不?=近+而，

.-.AB-AF=AB-(AD+DF)=AB-AD+AB-DF=AB-DF=V2\DF\=\［2^

|DF|=1.IC^I=V2-1-

.-.AE-JF=(AB+JE')-(BC+CF)=AB-CF+BE-BC=-V2(V2-1)+1X2=V2>

故答案为：V2.

根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求

得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0,得到结果.

本题考查平面向量的数量积的运算.本题解题的关键是把要用的向量表示成