人教版八年级数学第十七章第1节《勾股定理》提高训练21

第十七章第1节《勾股定理》提高训练（21）

一、单选题

1.如图，在△ABC中，ZC=90\AC=2,点。在8c上，ZADC=2ZB.A0=百，则

BC的长为（）

A

A.V3-]B.V3+1C.V5-1D.V5+1

2.有一圆柱高为12cm,底面半径为3cm,在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面

71

上与点A相对的点B处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（）

A.12cmB.13cmC.10cmD.16cm

3.已知锐角△ABC的三边长恰为三个连续整数，AB>BC>CA,若边BC上的高为AD,则BD

-DC=（）

A.3B.4C.5D.6

4.如图，在长为10的线段A6上，作如下操作：经过点B作BCJ.A3,使得BC=LA5；连

2

接AC,在C4上截取CE=0B；在AB上截取AD=AE,则的长为（）

A.545-5B.1075-5C.1075-10D.575+5

5.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC

于点M、N,再分别以M、N为圆心，大于工MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连结AP并延

2

长交BC于点D,下列结论：①AD是NfiAC的平分线；②/ADB=120。；③DB=2CD；④若CD=4,

AB=8g，则△DAB的面积为20.其中正确的结论共有（）

6.如图①，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,按如图②方式折叠，使点A与点CB重合,

折痕为DE，则ABCE与AA。石的面积之比为（）

A.2:3B.4:9C.9:25D.14:25

7.在《算法统宗》中有一道“荡秋千''的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，

五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有儿.”此问题可理解

为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺.将它往前水平推送10尺时，

即AC=10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的

绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（）

8.如图，在AABC中，点。是上一点，连结A。，将"口）沿AO翻折，得到△AEZ），AE

交BD于点F.若BD=2DC,AB=AD,AF=2EF,CD=2,△DEE的面积为1,则点。

到AE的距离为（）

A.1B.-C.更D.J2

52、

二、解答题

9.已知AACB和△ECD都是等腰直角三角形，NACB=NECD=90。

(1)若D为AACB内部一点，如图，AE=BD吗？说明理由

(2)若D为AB边上一点，AD=5,BD=12,求DE的长

10.定义：对于平面直角坐标系中的任意两点4(百，X)和3(々，％)，我们把它们的横、纵坐标

的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作。[AB],即

Q[A，B]=J(/一可『+(乂—必『

(1)若A(2,1)和B(—2,3),则。[AB]=；

(2)若点M(1,2),N(a,。一3),其中。为任意实数，求。[M,N]的最小值

(3)若m为常数，且加＞0,点A的坐标为(0,5m),B点的坐标为(8m,一机)，C点的坐标

为(X,0),求。[AC]+Q[B,C]的最小值以及。[AC]-Q[B,C]的最大值.(用含m的代

数式表示)

11.如图有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD折叠,

使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD的长.

B

D

12.如图，△ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=6cm,若动点P从点C开始，按

CfAfC的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为f秒.

(1)出发2秒后，求AABP的周长.

(2)问f为何值时，ABCP为等腰三角形？

(3)另有一点Q,从点C开始，按C-3fA7C的路径运动，且速度为每秒2cm,若P、Q

两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当f为何值时，直线PQ把

的周长分成相等的两部分？

13.己知：在△ABC中，CA=CB,ZACB=90°,。为△ABC外一点，且满足NA£>B=90。.

(1)如图1,若AC=及，AO=1，求。8的长.

(2)如图1,求证：DA+DB=>/2CD-

(3)如图2所示，过C作CEJ_AO于E,BD=2,AD=6,求CE的长.

图1

14.利用所学的知识计算：

(1)已知且"+/=13,ah-6,求a-6的值;

(2)已知a、b、c为RSABC的三边长，若/+〃+25=6a+8/>，求RtAABC的周长.

15.初识模型：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等

模型因为顶点相连的四边形，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”.如图1,

已知AA3C与都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且NB4C=NZME,显然

理解模型：如图2,在中，NCBD=NCDB=45°,连接A。，若

NG4B=45°,AC=6,AB=8,求AO.

运用模型：如图3,已知AABC,A8=AC,点G为8C上一点，点。为BC中点，GE,AB于点

E,GELAC于点巳判断区＞,尸。的数量关系，并说明理由.

迁移模型：如图3,等边AABC的边长为6,。是BC的中点，£是AC边上的一点，AABC内部

作等边三角形DEF,若AF=H，直接写出线段CE的长.

图4

图3

16.如图，△ABC中，AB=6cm,AC=4后cm,BC=2石cm,点P以lcm/s的速度从点B出

发沿边BA-AC运动到点C停止，运动时间为ts,点Q是线段BP的中点.

(1)若CP_LAB时，求t的值;

(2)若ABCQ是直角三角形时，求t的值;

BA

17.如图，已知AB=CD,ZB=ZC,AC和BD交于点O,OE_LAD于点E.

(1)△AOB与ADOC全等吗?请说明理由；

(2)若OA=3,AD=4,求AAOD的面积.

18.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：

(1)如下图，已知：在AA6c中，ZBAC=90°,AB^AC,直线机经过点A,8。，直线〃?,

CEJ_直线m,垂足分别为点。、E、试猜想。E、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出________

(2)组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如下图，将(1)中的条件改为:

在AA6c1中，AB=AC，。、A、E三点都在直线机上，并且有ZBZM=NA£C=/BAC=a(其

中。为任意锐角或钝角).如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

如下图，尸是的C角平分线上的一点，且△A3E和AACF均为等边三角形，D、E分别是直线m

上A点左右两侧的动点(£＞、E、4互不重合)，在运动过程中线段。E的长度为外连接8。、CE,

若ZBDA^ZAEC^ZBAC.

DE

①试判断尸的形状，并说明理由.

②直接写出ADEF的面积.

19.阅读材料，并解决问题.

有趣的勾股数

定义:勾股数又名毕氏三元数.凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数,称之为勾股数.

一般地，若三角形三边长b,。都是正整数，且满足/+〃=。2,那么数组(a,h,c)称为勾

股数.公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数(3,4,5)以外,还提到(5,12,13),

(7,24,25),(8,15,17),(20,21,29)等勾股数.

数学小组的同学研究勾股数时发现：设加，〃是两个正整数，且加＞〃，三角形三边长b,c

都是正整数.下表中的b,。可以组成一些有规律的勾股数(a，b,c).

mnabc

21345

3251213

4115817

4372425

52212029

5494041

61351237

65116061

72452853

74335665

76138485

通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数(a，b,c)可以写成(加之一〃2,b,m2+n2).解答

下列问题：

(1)表中。可以用“，«的代数式表示为.

⑵若加=4,n=2,则勾股数（。，b,c）为.

（3）小明通过研究表中数据发现：若c一力=1,则勾股数的形式可表述为（2Z+1,h,8+1）（k

为正整数），请你通过计算求此时的6.（用含A的代数式表示/?）

20.如图，为了测量湖泊两侧点A和点B间的距离，数学活动小组的同学过点A作了一条AB的

垂线，并在这条垂线的点C处设立了一根标杆（即AC，A3）.量得AC=160m,8c=200m,

求点A和点B间的距离.

21.如图，已知AABC和是等边三角形，点E在直线A3上，连A。，过点。作CFLAO

于点F-

图1图2

（1）如图1,当点E在线段A8上时：

①求NOD的度数：

②猜想线段AE，BE,。尸的数量关系，并加以证明：

（2）如图2,当点E在胡的延长线上时，连接EF,设AAE尸的面积为x,AOC尸的面积为丁,

△3CE的面积为〃？，请直接写出x,>,川之间的数量关系.

22.如图，已知Rs48C中，/C=90°，点。是AC上一点，点£、点尸是8c上的点，且NCOF=NCE4,

CF=CA.

BB

图1图2

(1)如图1,若AE平分NBAC,NDFC=25°,求N2的度数;

(2)如图2,若过点尸作尸G,48于点G,连结GC,求证：AG+GF=6GC.

23.已知，在△ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,点D为BC的中点.

则线段BE与AF

的数量关系式是(不需要说明理由);

(2)类比探究如图②，若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DELDF于点D,请写出BE

与AF的数量关系式，并说明理由;

(3)解决问题如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且/BMN=90。，若AM=2,AN=1,

则AB的长为.

三、填空题

24.如图，△ABC中，ZACB=90°,分别以AC、BC为斜边作等腰直角三角形Si、S2,以AB

为边作正方形S.若Si与S2的面积和为9,则正方形S的边长等于.

c

25.已知△ABC中，AB=AC=5,BC=6,动点P在线段BC上从B点向C点运动，连接AP,则

AP的最小值为等于

26.如图，在直角△A5c中，ZB=90°.平分N54C,交边于点E,若BC=5,AC=13,

则AAEC的面积是

27.在AABC中，AC=8,ZC=45°,AB=6,则BC=.

28.在平面直角坐标系中，点A(0,-3),B(4a+4,-3a),则线段AB的最小值为.

29.如图，在Rt^ABC中，/ACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分/CAB交BC于D点，E、

F分别是AD、AC上的动点，则CE+EF的最小值为.

30.已知〃2+〃=10,则JM+25+J/+49的最小值=

【答案与解析】

1.D

【解析】

根据勾股定理求出CD,根据三角形的外角的性质得到/B=/BAD,求出BD,计算即可.

VZC=90°,AC=3,AD=y/5

•,-CD=7AZ)2-AC2=I-

VZADC=2ZB,ZADC=ZB+ZBAD,

，NB=NBAD,

DB—AZ)=-\/5>

.\BC=BD+CD=V5+1

故选：D.

本题考查的是勾股定理，三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定定理，掌握如果直角三角形的

两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a?+b2=c2是解题的关键.

2.B

【解析】

要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内.根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行

的最短路程.

解：展开圆柱的半个侧面是矩形，

矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即2;r.』=5cm,矩形的宽是圆柱的高12cm.

71

根据两点之间线段最短，

知最短路程是矩形的对角线AB的长，即AB=7AC2+BC1=V52+122=13cm

故选：B.

此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平

面内.根据两点之间，线段最短.确定要求的长，再运用勾股定理进行计算.

3.B

【解析】

根据勾股定理，因AD为公共边可以得到AB2-BD2=AC2-CD?再把三边关系代入解答即可.

A

解：设BC=n,则有AB=n+l,AC=n-1,

•/AB2-BD2=AC2-CD2,

AB2-AC2=BD2-CD2

(n+1)2-(n-1)2=(BD-CD)n,

BD-CD=4,

故选：B.

此题主要考查了勾股定理，根据题意得出BD-CD的长是解题关键.

4.A

【解析】

由勾股定理求出AC=5石，则AD=AE=AC-CE=56-5即可.

解：VBC1AB,AB=10,CE=BC=-AB=-xlO=5,

22

AC=y/AB2+BC2=V102+52=5A/5，

，AD=AE=AC-CE=575-5，

故选：A

本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

5.C

【解析】

连接PN、PM.根据题意易证明△APA/MAAPN,即可证明①正确；根据三角形外角的性质即可

求出NAD5=120°,故②正确；由4845=/8=30°,可说明AD=BD,再由AD=2CD,即可证

明BD=2CD,故③正确；由④所给条件可求出AC和DB的长，即可求出S.=16百，故④错误.

△LZrio

如图，连接PN、PM.

由题意可知AM=AN,PM=PN,AP=AP,NB4c=9()°—30°=60°.

/.^APM三AAPN,

：.ZCAD=ABAD=-ABAC=30°,即AD是Nfi4c的平分线，故①正确;

2

ZADB=ZC+ZCAD,

：.ZADB^9Q°+30°=l20。，故②正确；

在放中，NC4Z>=30°,

；.AD=2CD,

又丁NBAD=ZB=30°,

；.AD=BD,

.,.BD=2CD.故③正确；

在RAABC中，ZB=30°,

；•BC=BAB=Y2，

2

BD=BC-CD=n-4=8,

又在心八4。£>中，ZCAD=30°，

，AC=CCD=4百，

XX,故④错误・

△LMzriBo=-2BDMC=2-84V3=16V3

故选：c.

本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判

定以及勾股定理.熟练掌握各个知识点是解答本题的关键.

6.D

【解析】

由折叠可得AO=BO=5,AE=BE，根据勾股定理可得CE,AE，DE的长度，即可求面积

比.

解：•.•3C=6,AC=S,

AB=10,

•••折叠，

：.AD^BD=5,AE=BE，

-：BC2+CE2=BE2,

36+CE2=(8-C£)2,

CE=~,

4

—。725

A.E=8—=—f

/.SZAXRoRC+fc：SIjA.iDJtFZ=一2BCxCE:—2xADxDE=14:25,

故选：D.

本题考查了折叠问题，勾股定理，关键是熟练运用勾股定理求线段的长度.

7.C

【解析】

设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直

角三角形，根据勾股定理可求解.

解：设绳索有x尺长，则

102+(x+1-5)2=x2,

解得:x=14.5.

故绳索长14.5尺.

故选：C.

本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解.

8.B

【解析】

过A作AG_LBC于点G,根据AF=2所可得^^=5必°=3,再由勾股定理求得

=AC=5,最后由三角形面积公式可求出点D到AE的距离.

解：过A作AG,3c于点G

•,**^MDF=2

•・Sw)E==3

SMDC=--CD-AG

，AG=3

VAB=AD,AGIBC

/.BD=2GB

由BO=2CO得，GD=CD=2

:.GC=GD+DC=2+2=4

在用AAGC中，AC-y/AG2+GC2=5

/.AE=AC=5

.."=2.&^=2=9

AE55

故选:B.

本题考查了折叠问题，勾股定理定理，等腰三角形的性质以及三角形面积公式的应用，熟练运用这

些性质进行推理是本题的关键.

9.(1)AE=BD,见解析；(2)13

【解析】

(1)由“SAS”可证△ACE丝Z\BCD,可得AE=BD；

(2)由全等三角形的性质可得BD=AE=12,ZCAE=ZCBD=45°,由勾股定理可求DE的长.

(1)证明：:△ACB和AECD都是等腰直角三角形，

；.CD=CE,AC=BC,ZECD=ZACB=90°,

；./ACE=/BCD

在4ACE^OABCD中

；EC=CD,ZACE=ZBCD,AC=BC,

.".△ACE^ABCD(SAS)

；.AE=BD；

（2）如图，

由（1）可知：AACE也Z\BCD,

；.BD=AE=12,NCAE=/CBD=45。，

.\ZEAD=90°,

在RtAADE中，AE2+AD2=ED2,

即52+122=ED2

；.DE=13；

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明AACE丝Z\BCD

是本题的关键.

10.（1）2逐；（2）2&；（3）10,475

【解析】

⑴把A、B两点坐标代入Q[A,B]=*2）2+（弘一求解即可;

⑵把M、N两点代入Q[A,B]=J（M-九2『+（弘-，把根号下函数转化为顶点式即可求

解；

（3）连接AB交x轴于点C,此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点8'，连

接AB,并延长交x轴于点C,三角形中两边之差小于第三边即可求解.

解：⑴由题意得：Q[A,B]=,J（2+2）2+（3-l）2=275.

故答案为：2小；

（2）Q[M,=^（l-a）2+（2-a+3）2=\lla2-\2a+26=^2（a-3）2+8，

.•.当a=3时，Q[M,N]有最小值，最小值为：20；

故最小值为：20；

⑶连接AB交x轴于点C,此时。[A,C]+Q[B,C]有最小值,

2

此时(Q[A,C]+Q[B,C])n,n=2[AB]=7(O-8m)+(5m+my=10〃z：

作B关于x轴的对称点"，连接并延长交x轴于点C,AC-BC=AC-B'C=AB',

在x轴上任取一点C,AC'-BC'=AC-B'C'<AB',

22

即(Q[A,C]-Q[B,C])mx=Q[A,B[=^(O-8m)+(5m-m)=46n

故0AC]+Q[B,C]的最小值为：10m；Q[A,C]-Q[B,C]的最大值为4班机.

本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线

段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性.

11.3cm

【解析】

先根据勾股定理求出AB的长，设CQ=xcm,则8。=(8—xfcm,再由图形翻折变换的性质可知

AE=AC=6cm,DE=CD=xcm,进而可得出8E的长，在RtABDE中利用勾股定理即可求出x的值，

进而得出CD的长.

解：•.•AABC是直角三角形，AC=6cm,BC=8cm,

AB=y/AC2+BC2=762+82=10cm，

•・•AA£Z)是AACD翻折而成，

AAE=AC=6cm,DE=CD,ZAED=ZC=90°,

:.BE=AB—AE=10—6=4cm,

在RABDE中，BD2=DE2+BE2，设DE=CD=xcm,则BD=8-x,

BP(8-X)2=42+X2,

解得：x=3,

故CD的长为3cm.

本题考查翻折变换及勾股定理，解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称

的性质用含x的代数式表示其它线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出

答案.

12.(1)(16+25/io)cm；(2)r=6s或13s或12s或10.8s；(3)f为4或12秒

【解析】

(1)由已知条件得出发2秒后CP=2cm,则AP=6cvn,再利用勾股定理求出依的长，即可

求得人钻尸的周长；

(2)①当P点在AC上，易知PC=BC,，=6s,②P点在AB匕时,分三种情况分别为：BP=CB,

此时根据6P的长度求出点尸运动的距离，进而求出运动的时间；CP=3C,此时过C作斜边AB

的高，根据面积法求得高，根据勾股定理求得5〃的长，通过三角形全等证明3"=进而通

过运动距离求出运动时间；BP=CP，此时可以通过角度相等证明E4=PC,进而证明PA=PB，

进而通过运动距离求出运动时间；

(3)当p点在AC上，。在AB上时：AP=8-f,AQ=\6-2t,因为直线PQ把AABC的周

长分成相等的两部分，则可得8—7+16—2f=12,即可解得；当P点在AB上，。在AC上时：

AP=t-S,AQ=2t-16,因为直线PQ把AABC的周长分成相等的两部分，则可得，

r-8+2r-16=12,即可解得.

解：(1)如图1中，・.・/(7=90°,48=10311,8C=6cm,

**•由勾股定理得AC=8cm,

动点。从点C开始，按3-C的路径运动，且速度为每秒1cm,

・••出发2秒后，则CP=2cm,那么AP=6cm,

•.•NC=90°，

由勾股定理得PB=2A/T5cm

/.AABP的周长为：AP+P5+AB=6+10+2>/iU=(16+2ViU)cm；

图1

(2)若P在边AC上时，BC=CP=6cm,

此时用的时间为6s,ABCP为等腰三角形：

若P在A8边上时，有两种情况：

①若使5P=CB=6cm,此时AP=4cm,P运动的路程为12cm,

所以用的时间为12s,故f=12s时ABCP为等腰三角形；

②若CP=3C=6cm,如图，过C作斜边AB的高，根据等面积法求得高为4.8cm,

A

区

-、B

在Rt^BCH中，根据勾股定理可得BH=3.6cm,

在Rt^BCH和Rt^CPH中，

CP=BC

CH=CH'

:.Rt^BCH丝Rt^CPH，

BH=PH，

BP=7.2cm,

所以P运动的路程为18-7.2=10.8cm,

f的时间为10.8S/5CP为等腰三角形；

③若3P=CP时，则NPCB=NPBC,

•.•NACP+NBCP=90°，NPBC+NC4P=90°，

AZACP=ZCAP,PA=PC,

PA=PB=5cm,

P的路程为13cm,所以时间为13s时，ABCP为等腰三角形.

r=6s或13s或12s或10.8s时&BCP为等腰三角形；

(3)当尸点在AC上，。在A3上，则AP=8—f,AQ=I6-2f,

••・直线PQ把AABC的周长分成相等的两部分，

,8T+16-2f=12,

二/=4；

当P点在AB匕。在AC上，则=8,AQ=2r—16,

•••直线PQ把AMC的周长分成相等的两部分，

二一8+216=12,

；.12,

...当，为4或12秒时，直线PQ把△A6C的周长分成相等的两部分.

本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考

问题，学会构建方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题.

13.(1)DB=6(2)见解析；(3)2

【解析】

(1)在RSABC中，根据勾股定理，得AB=2,在RtAABD中，根据勾股定理，得DB=6;

(2)过C点作CFLCD,构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；

(3)过C点作CFLCD,构造手拉手模型，运用三角形全等可得证.

(1)解：在RtAABC中，

CA=CB=yf2>

AB=>JCA2+CB2=2，

在RIAABD中，DB=\/AB2-AD2=722-I2=班>.

(2)证明：如图，过C点作CF±CD交DB的延长线于点F.

c

D

•・•ZACB=ZDCF=90°,

:.ZACD=ZBCF,

ZCAD+ZCBD=360°—(ZACB+ZADB)=180°,ZCBF+ZCBD=180°,

:.ZCAD=ZCBFf

又•：CA=CB,

•••△CAO丝△C8F(ASA),

CD=CF,AD=BFf

・•・DF=4iCD，

•：DF=DB+BF=DB+DA,

・•・DA+DB=6CD・

(3)解：如图，过C点作。凡LCQ交AQ与下点，

ZACB=ZDCF=90°,BPZACF+ZBCF=ZBCD+ZBCF=90°9

：.NACF=NBCD,

*/ZAFC=ZFCD+ZCDA=90°+ZCDA,ZCDB=ZCDA+ZADB=90°+ZCDA,

・•・/AFC=/CDB,

又・・・C4=C8,

△C4尸gZ\C8£)(AAS),

：.CF=CD,AF二BD,

・・・△8/是等腰直角三角形，

XVCE1AD,

：.E为DF中点,

VAD=6,AF=BD=2,

：.FD=AD-AF=49

：.CE=-DF=2.

2

本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的

构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.

14.(1)I；(2)12或7+近

【解析】

(1)根据完全平方公式变形解答；

(2)先移项，将25变形为9+16,利用完全平方公式变形为(。-3)2+(8-4)2=0,求得a=3,b=4,

分情况，利用勾股定理求出c,即可得到周长.

(1)Va2+b2=13,ab=6,

(a—b)2—a2+h2—2ab=13—2x6=1,

.♦.a-b=l或a-b=-l(舍去)；

(2)a2+b2+25=6a+Sb

a2+b2+25-6a-Sb=0

«2-6«+9+Z?2-8Z?+16=0

(.-3)2+3-4)2=0

a-3=0,b-4=0,

a=3,b=4,

当a与b都是直角边时，c="2+/="2+32=5,/.RtAABC的周长=3+4+5=12；

当a为直角边，b为斜边时，。="2一/='42—32=疗,；.RSABC的周长=7+J7.

此题考查完全平方公式的变形计算，勾股定理，正确掌握并熟练应用完全平方公式是解题的关键.

15.理解模型：AD=2734;运用模型：ED=FD,理由见解析；迁移模型：2.

【解析】

理解模型：过点C作CE_LAC,通过证明△AC。MAECB和勾股定理可得出A。的长；

运用模型：过点D作DNLAB于N,OMLAC于M,可证得AEONMA/TW即可推出结论；

迁移模型：延长EF'交A8于点G,作A乩LF'G于"，过点G、尸分别作GKLBC于K,FM1BC

于M,过点。作QNLEC,可求得和EN的长，得出答案.

理解模型：过点C作CE_LAC,且"=AC,连接BE、AE,

/CBD=/CDB=45。

：.CD=BC,BCVDC

ZECA+ZACB=ZDCB+ZACB

§.\iZECB=ZACD

"：CE=AC,

；•AACDNAECB

EC=AC=6

•••△EAC是等腰直角三角形，

JZEAC=45°

ZCAB=45°

：.Z£z4B=45o+45°=90°

：・BE=1AB2+AE2

,:AC=EC=6

：.AE2=AC2+EC2=72

:.BE=/咨+72=2用

•••AACD三AECB

：.AD=BE=2y/34

运用模型：ED=FD

证明：过点。作ONJ_AB于N,DM_LAC于连接。£、DF、

图3.

・・•点。为3c中点，AB=ACf

：.DM=DN

GEA.AB,GFLAC

:-DNHGE,DM//GF

：.ZEDN=ZGED,ZFDM=ZGFD

VZGE4+ZGM=180°,ZDNA+ZDMA=iSO°

AZBAC+ZEGF=180°,ZBAC+Z^DF=180°

J/ECF=/NDM

：.ZGED=ZDFG

：.ZEDM=ZFDM

：.AEDN*FDM

：.ED=FD

迁移模型：

如图，当点E在。处时，F在AC中点F处，

A

图4

:•AEDC塾AFDF'

：.ZDF'F=NECD=600=NF'DC

：.FF'HBC

为AABC中位线，

，点尸在AABC中位线上，

延长FF'交AB于点G,作AHI.F'G于H,

AG=—AB,GH——AG——,AH=AG=•

22222

•*-FH=yjAF2-AH2二g，

GH=1

过点G、F分别作GKLBC于K,尸3c于M,

]3Q/Q

：.KM=GM=1,BK=—BG=~,GK=FM=^1,

222

.35

・・BM=1H—=—

22

；BD=LBC=3

2

-Ml)=3—=—

22

FD=^MD2+FM2=V7

；•等边三角形DEF边长为J7

过点。作DNLEC

:,DN=BDC=^H.,NC=-DC=-

2222

・E1/

・・CE=—+—=2

22

本题是三角形综合题，主要考查了“手拉手全等模型“、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定

与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；构造“手拉手全等模型“，证明三角形全等是

解题的关键.

16.(1)2；(2)4或6+4加-275

【解析】

(1)如图1中，作CH1AB于H.设BH=x,利用勾股定理构建方程求出x,当点P与H重合时，

CP1AB,此时t=2；

(2)由题意易知分两种情形①如图2中，当点Q与H重合时，BP=2BQ=4,②如图3中，当CP

=CB=2出时，CQ±PB,然后根据题意求解即可解决问题.

解：(1)如图1中，作CH±AB于H.设BH=x,

VCH1AB,

ZCHB=ZCHA=90°,

/.AC2-AH2=BC2-BH2,

(4^/2)2-(6-x)2=(275)2-x2,

解得x—2,

当点P与H重合时，CPXAB,此时t=2.

(2)由(1)可得：BH=2,CH=4,

•••点P的运动路程为lxt=t,

如图2中，当点Q与H重合时，则有BP=2BQ=4,此时t=4；

如图3中，当CP=CB=2逐时，CQ1PB,此时t=6+(472-275)=6+4夜-275.

图3

综上所述：当t=4或6+4收一2逐，ABCQ是直角三角形.

本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键.

17.(1)△理由见解析；(2)AAOD的面积为26.

【解析】

(D根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到AO=DO,根据等腰三角形的性质得到AE=；AD=2,由勾股定

理得到。后=痴=F=石，即可得到结论•

(1)证明：在AAOB和△OOC中，

ZAOB=ZCOD

<NB=NC,

AB=CD

所以△AOBg^OOC(AAS)；

(2)因为△A0蛇△DOC,

所以A0=£>0,

因为OE±AD于点E.

所以AE=LAD=2,

2

所以OE7AG-AE2=V5，

所以SAAOD=[X4X石=26.

本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判

定和性质是解题的关键.

18.(1)DE=BD+CE；(2)结论OE=3O+CE成立，证明见解析；(3)①△DFE为等边三

角形，证明见解析.②且“2.

4

【解析】

(1)由题意可知NADB=NCE4=90°,又可推出NABD=NC4E,即可证明

△ADB^ACE4(AAS),得出8D=A£，AD=CE.即推出DE=AD+AE=BD+CE.

(2)由题意易证NABO=NC4E,即证明AAOB/ACEA(AAS),同理即

DE=AD+AE=BD+CE.

(3)①由(2)知AADB且ACE4(AAS),得出8D=A£，由NA8O=NC4E,易证

NFBD=NFAE，又由题意可知FB=FA,即证明出AEB。也AE4E(SAS),得出结论包＞=fE,

ZBFD^ZAFE,即可求出NO依=60°,即证明△/)所为等边三角形.

②由=ADEF为等边三角形,即可求出△。防的面积.

(1)DE=BD+CE,理由：

:ABAC=9Q°,

：.ZBAD+ZCAE=90°,

BD±m,

：.ZADB=NCEA=90。,

ZBAD+ZABD^90°,

ZABD=ZCAE,

NADB=ZCEA=90°

在△4)8和KEA中，＜NAB。=NC4E,

AB=AC

：.蛇ACE4(AAS),

•••BD=AE＞AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE.

故答案为：DE=BD+CE.

(2)结论。£=3O+CE成立;

理由如下：：+NC4E=180°—NB4C,

ZBAD+ZABD=\SO°-ZADB,ZBDA=ZBAC,

:.ZABD=NCAE,

ZABD=ZCAE

在ABAD和/XACE中，，NADB=ZCEA=a,

AB=AC

ABADg△ACf^AAS),

•••BD=AE>AD=CE,

：.DE=DA+AE=BD+CE.

(3)①为等边三角形，

理由：由(2)得，△84O/4ACE,

•••BD=AE，

•••ZABD=ZCAE,

：.ZABD+NFBA=ZCAE+FEC,即ZFBD=ZFAE，

FB=FA

在AFBD和ZFAE中，<NFBD=NFAE,

BD=AE

AFBD知FAE(SAS),

,FD=FE,ZBFD=ZAFE，

ADFE=ADFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=60°,

，ADEF为等边三角形.

②：为等边三角形.

，ADEF的高为曲DE.

2

•C1八"G八._G2

,,S^DFE=DE'~YDE=~Tn'

本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理.熟练掌握判定三角形

全等的方法是解答本题的关键.

19.(1)b=2mn；(2)(12,16,20)；(3)b=2k2+2k

【解

(1)根据表格中提供的数据可得答案；

(2)把根=4,〃=2代入(疗一〃\2〃〃2,疗+川)即可求解；

(3)根据勾股定理求解即可；

(1)74=2x2x1,

12=2x3x2,

8=2x4xl,

24=2x4x3,

•••,

：•b=2mn，

故答案为：b=2nm；

(2)当m=4,〃=2时，

a=m2-n2=42-22=12,b—2mn=2x4x2=16,c=m2+n2=424-22=20,

勾股数(a，b,c)为(12,16,20),

故答案为：(12,16,20)；

(3)根据题意，得(21+1)2+/=("1)2,

...4k2+4k+\+b2=tr+2b+\.

解得b=2k?+2k.

本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.在直角三角形

中，如果两条直角边分别为a和6,斜边为c,那么/+乂=/.也就是说，直角三角形两条直角边

的平方和等于斜边的平方.

20.点A和点5间的距离为120m

【解析】

在RtAABC中利用勾股定理计算出AB长即可.

解：VACA.AB.

，N5AC=90"，

.,•在中，AB2+AC2=BC2.

VAC=160,BC=2(X),

AB=y/BC2-AC2=/2002-16()2=120(m).

答：点4和点3间的距离为120m.

本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于

斜边的平方.

21.(1)①60°；②BE-AE=2DF，理由见详解；(2)m=2y-2x

【解析】

(1)①根据等边三角形的性质得BC=AC,EC=CD,/BCA=NECD=60。，再证明ABCE三AACD,

即可求解；②先证明NACF=30。，设AC=a,则AF=』a,可得,a=FD+AE,进而即可得到结论;

22

(2)过点C作CNJ_AB于点N,过点F作FM_LAE于点M,可得ABCE三AACD,RtAANC=RtAAFC,

再证明MF=！FC=!NC,BE=2FD-AE,结合三角形的面积公式，即可得到结论.

22

(1)①△A6C和△CDE是等边三角形，

；.BC=AC,EC=CD,NBCA=/ECD=60。，

；.NBCE=/ACD,

AABCE^AACD,

ZC4D=ZB=60°；

②BE-AE=2DF，理由如下：

•••。/_14。于点尸，

/AFC=90。，

又：NCAD=60。，

...在AAFC中，ZACF=30°,

设AC=a,则AF=」a,FC=yjAC2-AF2=—«.

22

VABCE=AACD,AB=AC=a,

；.AD=BE,即：-a+FD=a-AE,

2

.*.-a=FD+AE,即：L(AE+8E)=FD+AE,化简得：BE-AE=2DF

22

(2)过点C作CNLAB于点N,过点F作FMLAE于点M,

・・•AA5c和△CDE是等边三角形，

ABC=AC=AB,EC=CD,ZBCA=ZECD=60°,

.\ZBCE=ZACD,

.\ABCE=AACD(SAS),

AZEBC=ZDAC=60°,BE=AD,

AZDAC=ZBAC=60°,

・・・ZDAE=180o-60°-60o=60°,

VCN1AB,CF1AD,

ACN=CF,

XVAC=AC,

.'.RtAANC=RtAAFC(HL),

AN=AF,

在RtAAFM中，ZFAM=60°,

AMF=—AF,

2

在RtAAFC中，ZCAD=60°,

,-.AF=—FC,

3

AMF=—FC=—NC,

22

又；BE=AD,BE-AE=AB=2AN,AD-FD=AF=AN,

•,.BE-AE=2(AD-FD),

；.BE-AE=2(BE-FD),

BE=2FD-AE,

；BE-NC=g(2FD-AE)NC=2(；FD-NC)-；AENC,

AyBENC=2(^-FDFC)-gAE-2MF,

SABCE-2SAFCD-2SAAEF,

/.m=2y-2x.

本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助

线构