新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题六解析几何第三讲圆锥曲线-大题备考微专题5范围问题

微专题5范围问题5.[2024·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.技法领悟圆锥曲线中范围问题的解题策略1．函数法：将要求的量用已知参数表示出来，转化为关于这个参数的值域问题，利用函数性质、配方法、基本不等式法求解．2．不等式法：构造关于要求的参数的不等式，通过解不等式求范围．[巩固训练5][2024·河北唐山模拟]已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，点P(1，)在E上，不经过点P的直线l：y＝kx＋m与E交于不同的两点A，B.(1)求E的方程；(2)若直线PA与直线PB的斜率之和为0，求k的值及m的取值范围．微专题5范围问题提分题[例5](1)解析：设点P的坐标为(x，y)，依题意得|y|＝，化简得x2＝y－，所以W的方程为x2＝y－.(2)解析：证明：设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|)．设B(t，t2＋)，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，故可设直线AB的方程为y－(t2＋)＝k(x－t)，不妨设k>0，与x2＝y－联立，得x2－kx＋kt－t2＝0，则Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2>0，所以k≠2t.设A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，所以|AB|＝|x1－t|＝|k－2t|＝|2t－k|，|BC|＝|－－2t|＝|＋2t|＝|2kt＋1|，且2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)＝(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|)．因为|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝，当2k－2k2≤0，即k≥1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－]上单调递减或是常函数(当k＝1时是常函数)，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，所以当t＝时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k2＋1，又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)＞(k2＋1)＝.令f(k)＝，k≥1，则f′(k)＝，当1≤k＜时，f′(k)＜0，当k＞时，f′(k)＞0，所以函数f(k)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以f(k)≥f()＝3，所以2(|AB|＋|BC|)＞≥3.当2k－2k2＞0，即0＜k＜1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－]上单调递增，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，所以当t＝－时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k3＋k＝k(1＋k2)，又2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)＞k(k2＋1)＝.令g(k)＝，0<k<1，则g′(k)＝，当0<k<时，g′(k)<0，当<k<1时，g′(k)>0，所以函数g(k)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，所以g(k)≥g()＝3，所以2(|AB|＋|BC|)>≥3.综上，矩形ABCD的周长大于3.[巩固训练5](1)解析：由题意得，解得a＝，b＝1，c＝1，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，因为直线l与椭圆E相交，所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(1＋2k2－m2)>0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，所以kPA＋kPB＝＝＝2k＋(k＋m－)×＝2k－(k＋m－)×＝2k－(k＋m－)×＝2k－＝，由于kPA