新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题五统计与概率第二讲统计统计案例与概率微专题5概率统计与导数的交汇

微专题5概率统计与导数的交汇5.[2024·河北张家口一模]某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备”有关联？单位：箱是否有不合格品设备无不合格品有不合格品合计新旧合计(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再依据检验结果确定是否对余下的全部口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为f(p)，求f(p)最大时p的值p0.(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以(2)中确定的p0作为p的值．已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.技法领悟解决有关概率的最大(最小)问题往往利用函数的导数或不等式来实现．[巩固训练5][2024·江苏扬州模拟]今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．我国目前为止尚无猴痘病例报告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控提前做出部署．同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南(2024年版)》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜藏期5～21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在确定程度的交叉疼惜力．据此，援非中国医疗队针对救济的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的亲密接触者集中医学视察21天．在医学视察期结束后发觉亲密接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家200个接种与未接种天花疫苗的亲密接触者样本医学视察结束后，统计了感染病毒状况，得到下面的列联表：接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接种天花疫苗3060接种天花疫苗2090(1)是否有99%的把握认为亲密接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；(2)以样本中结束医学视察的亲密接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国全部结束医学视察的亲密接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率；(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府确定对村庄内全部住户进行排查．在排查期间，发觉一户3口之家与确诊患者有过亲密接触，这种状况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为f(p)．求当p为何值时，f(p)最大？附：χ2＝α0.10.050.010xα2.7063.8416.635微专题5概率统计与导数的交汇[例5]解析：(1)单位：箱是否有不合格品设备无不合格品有不合格品合计新9010100旧7525100合计16535200零假设为H0：有不合格品与新旧设备无关联．由列联表可知χ2的观测值χ2＝＝≈7.792>6.635＝x0.01，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.(2)解析：由题意，得f(p)＝p3(1－p)17，则f′(p)＝[3p2(1－p)17－17p3(1－p)16]＝p2(1－p)16(3－20p)，令f′(p)＝p2(1－p)16(3－20p)＝0，又0<p<1，得p＝.当p∈(0，)时，f′(p)>0，当p∈(，1)时，f′(p)<0，所以f(p)最大时p的值p0＝.(3)解析：由(2)知p＝.设Y表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知Y～B(480，)，所以E(Y)＝480×＝72.若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，则X＝0.2×20＋5Y，所以E(X)＝0.2×20＋5×E(Y)＝364.假如对余下的产品做检验，这一箱产品所须要的检验费为0.2×500＝100(元)．364远大于100，所以应当对余下的480个口罩进行检验．[巩固训练5](1)解析：依题意有χ2＝≈6.061<6.635，∴没有99%的把握认为亲密接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关．(2)解析：由题意得：该地区每名亲密接触者感染病毒的概率为＝，设随机抽取的4人中至多有2人感染病毒为事务A，则P(A)＝)2()2＝；(3)解析：f(p)＝(1－p)p＋(1－p)2p＝p(1－p)(2－p)＝p3－3p2＋2p则f′(p)＝3p2－6p＋2,令f′(p)＝0，则p1