条件概率与事件的独立性+高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第三章

概率3.1条件概率与事件的独立性3.1.3乘法公式湘教版高二下册学习目标1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.

在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题.当事件A与B相互独立时，有P(AB)=P(A)P(B)

如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？探究新知

下面，我们从具体的问题入手，了解条件概率的定义，以及条件概率的计算方法，重要的是理清条件概率与积事件的概率的联系与区别.问题1：某个家庭有2个孩子，问：(1)两个孩子都是女孩的概率？(2)如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是女孩的概率又是多少？解：(1)设A=“有1个孩子是女孩”,B=“2个孩子都是女孩”.条件探究新知所以(2)“如果有1个孩子是女孩,两个孩子都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为探究新知解:(1)设A=“选到团员”,B=“选到男生”.问题2：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示.在班级里随机选择一人做代表.(1)选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？问题2：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示.在班级里随机选择一人做代表.(1)选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？探究新知(2)“在选到团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为所以条件分析：求

的一般思想ABABΩ

若已知事件A发生，则只需在A发生的范围内考虑，即现在的样本空间为A.

因为在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生.

所以在事件A发生的条件下，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即探究新知缩小样本空间法

为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为Ω，则有ABABΩ探究新知

这个公式才是条件概率原本的计算公式，只是它不够形象，不容易理解.条件概率的定义：在原样本空间的概率一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.探究新知一般把“P(B|A)”读作“A发生的条件下B发生的概率”.公式法C小试牛刀BB例1判断下列几种概率哪些是条件概率：(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率.(2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率.(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率.由条件概率定义可知(1)(3)是，(2)不是.典例分析题型一

条件概率的判断典例分析跟踪训练1下面几种概率是条件概率的是A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次

命中的概率C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品

的概率D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是

，则小

明在一次上学中遇到红灯的概率√由条件概率的定义知B为条件概率.题型一

条件概率的判断典例分析二、利用定义求条件概率例2.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.典例分析二、利用定义求条件概率例2.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.典例分析二、利用定义求条件概率例2.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.（2）方法2：在缩小的样本空间A上求P(B|A).已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为

典例分析二、利用定义求条件概率利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A).(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝

，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生.反思感悟在原样本空间的概率典例分析跟踪训练2.一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.典例分析三、缩小样本空间求条件概率例3集合A＝{1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,(1)在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.解：将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),甲抽到奇数的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15个.在这15个样本点中,乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9个,所以所求概率P＝典例分析三、缩小样本空间求条件概率例3集合A＝{1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,(2)在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到偶数的概率.解：将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),甲抽到奇数的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15个.在甲抽到奇数的样本点中，乙抽到偶数的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝典例分析三、缩小样本空间求条件概率例3集合A＝{1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.变式3.若甲先取(放回)，乙后取，设事件A＝“甲抽到的数大于4”，事件B＝“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A).解：甲抽到的数大于4的样本点有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的样本点有(5,2)，(6,1)，共2个，所以P(B|A)＝方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率，即利用公式

来计算.方法总结求条件概率有两种方法：公式法缩小样本空间法易错提醒：利用缩小样本空间求条件概率问题，应搞清楚是求哪个事件的样本点数.方法一：基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式

求

；当堂检测答案:A2.下列说法正确的是(

)A.P(A|B)=P(B|A)B.P(B|A)>1C.P(AB)=P(A)·P(B|A)D.P((AB)|A)=P(B)答案:C当堂检测当堂检测当堂检测5.在100件产品中,有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取1件产品.试求:(1)第一次取到不合格品的概率;(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.分析:由题意可知,100件产品中共有5件不合格品,不合格率为

.在第一次取到不合格品的条件下,第二次又取到不合格品的概率为条件概率.当堂检测归

纳

总

结SumUp归纳总结概率的乘法公式：

若Ai(i=1，2，∙∙∙，n)为随机事件，且P(A1A2∙∙∙，An－1)>0，则互相独立事件的概率乘法公式：

若事件Ai(i=1，2，∙∙∙，n)互相独立，则上式变为课

后

作

业HomeworkAfterClassP122练习

第1题第2题课后作业课