高中数学压轴题解决方案之圆锥曲线

高中数学压轴题解决方案

之圆锥曲线专题讲义

22

I.若椭同工+工=1可在线y=2x+5相切，求情园方程

4a

2

2.若惚y=kx+J^，刷员G：t+y2=].交于不同的两点A、B.。为坐标原点.I向•而＞2.

求k的取值范围?

3.已知A.B为椭圆M+4=l上的两个动点.满足4AOB=90°.

a2bZ

求证：原点0到直线AB的距离为定值;

4

Hl⑥

2°

4.(2011•北京)已知椭圆Gi工+y2=i.过点(m,0)作圆x［+y2=］的切线］交椭圆G于A.

4

B两点.

(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率；

(II)将|AB|一东为m的函数.并求|AB|的最大值.

4

5.（2014•陕西）已知椭以二+4=1（a>b>0）经过点（0.后.离心率为1左右焦点

a2b2/

分别为F,（-C,0）,F2（c,0）.

（1）求椭圆的方程;

（［I）若直线I：y=-gx+m与椭圆交于A、B两点，与以RF，为直彳包的圆交fC、D两点.

⑥

5

⑥

22

6.(2015•湖南)已知抛物线C,：x?=4y的焦点F也是椭圆C,：y_+^-=l(a>b>0)的一个焦点.

CjjC,的公共弦的长为2灰，过点F的M线1与G相交J：A.B两点.与C,相交「C.D两点.

IlAC'JBDPII^-

(I2RC,的方程；

(n)若|AC|=|BD.求直线I的斜率.

5

—|I⑥]

22

7.(2015•陕西)已知椭做IE：\+4=l(a>b>0)的半焦距为c.原点O到经过网点(c.O).

a2bZ

(0.b)的立线的距离为fc.

(I)求椭圆E的离心率;

(II)如图.AB是圆M：(x+2)l(y-1-一妹的一条立彳仝.若椭圆E经过A、B两点.求椭圆

E的方程.

5

11々Q

8.(2017•浙江)如图.L!知抛物线x，=y.点A"卷,卷),B(自力抛物线上的点P(x.y)

(-y<x<-|).过点B作自线AP的垂线.垂足为Q.

(I)求直线AP斜率的取值范围;

(U)求|PA|•IPQI的最大值.

5

9.(2012•山东)在平面直角坐标系xOy中.F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物

线C上位J：笫一象限内的任意一点，过M.F.O=点的圆的圆心为Q.点Q到抛物线C的

准线的距离为

4

(I)求抛物线C的方程；

(H)是否存在点M.使得打线MQ与抛物线C相切于点M?若存在.求出点M的坐标；若

不存在.说明理由;

(III)若点乂的横坐标为行.宜线1：y=kx+5与抛物线C有两个不同的交点A.B.I与网Q

布店个不同的交点D.E.求当总WkW2时.|AB『十|DE『的最小值.

5

22

1().(2012•广东)在平面苴角坐标系x()y>|'.已知椭圆C：三+二51(a>b>0)的离心率

6=噌.II•椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3

(I)求椭圆C的方程;

(2)在椭圆C卜」是否存在点M(m.n),使得直线1：mx+ny=l与圆O：x'+y^l相交于不

同的两点A、B.且△OAB的面积最大？若存在.求上点M的坐标及对应的△OAB的

面积;若不存在.请说明理由.

⑥

5

11.(2014•新课标1理20)已知点A(0.-2),椭圆E：“=1(a>b>0)的离心率为

a2b?

1F是椭圆E的右焦点.直线AF的斜率为变IO为坐标疑点.

23

(I)求£的方程;

(II)设过点A的动直线1*jE相交I-P.Q两点.当△OPQ的面积最大时.求1的方程.

5

12.（2014•内江四模）已知直线1与直线x+y=l=0垂直,其纵截距b=-圆椭圆C的两个焦点

为F,（-1,0）,F2（1,0）,且与直线I相切.

（I）求直线I.椭圆C的方程;

（2）过上作两条互相垂直的直线L、I”上椭圆分别交J：P、Q及M、N.求四边形PMQN

面积的最大值吐最小值.

5

一|I⑥IP

13.(2017•犬津)设椭I员1鼻+4=1(a>b>())的左焦点为F.右顶点为A,离心率为

a2b22

已知A是抛物线产2Px(r>0)的焦点.F到抛物线的准线I的距离为£•.

(1)求椭圆的方程和抛物线的方程:

(U)设1上两点P.Q关Fx轴对称.直线AP与椭圆相交「•点B(B异J：A).直线BQ'j

x轴相交「点D.若aAPD的面积为返,求直线AP的方程.

5

14.(2016•新课标1)设网xJ+y2+2x-l5=0的圆心为A,宜线I过点B(1.0)且。x轴不重合.

1交I员IA于C.D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|+|EBi为定值.并写出点E的轨迹方程；

(II)设点E的轨迹为曲线C,,宜线1交C,TM.N两点,过B且与1垂直的宣线与圆A交

IP.Q两点,求四边形MPNQ面枳的取值范围.

5

15.(2011•湖南)如图.椭圆C,：=1(a>b>0)的离心率x轴被曲线C,：

用』磕伪麴健联•绻于C,修捻懒捻

（I）C：的方程:

（II）设3与y轴的交点为M.过坐标原点O的直线1与C2相交千点A、B.直线MA.

MB分别与3相交于D.E

(i)ill:IJf］：MD1ME；

（ii）idAMAB.△MDE的面积分别是S,.

请说明理由.

⑥卷

5

16.（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中.点B与点A（-1,1）关于原点O对称.P是动点.

且宜线AP'-jBP的斜率之积等广-4

（I）求动点P的轨迹〃程；

（II）设立线AP和BP分别与立线x=3交于点M.N.问：是否存在点P值得△PAB与

△PMN的面积相等？若存在.求出点P的坐标;若不存在.说明理由.

5

17.(2014•湖南)如佟I.O为坐标原点.箱|员|C,：^-+^-=1(a>b>0)的左、右焦点分别

22

为F1.F”离心率为a；双|lh线c,:上=l

已知e©=^^,且|F同=心-1.

(I)求仁、C：的方程：

(H)过F,作3的不垂直于y轴的弦AB.M

为AB的中点.当直线OM与C,交JP.

Q两点时.求四边形APBQ面积的最小值.

5

18.（2015•新课标2）已知椭I员IC：9x2+y2=m2（m>0）.直线I不过原点O11.不平行于坐标轴.

I与C有两个交点A.B.线段AB的中点为M.

（I）证明：白:线（）M的斜率与1的斜率的乘积为定值；

（2）若I过点（2m）.延长线段OMDC交「•点P.四边形OAPB能否为平行四边形？若能.

求此时1的斜率;若不能.说明理由.

5

一|I⑥IP

22

19.（2013•新课标2）平面有:用坐标系x（）y'P.过椭园M：\+4=1（a>b>0）八焦点的

直线x+y-遂=0交M于A.B两点.P为AB的中点.且OP的斜率为力.

（I）求M的方程

（【【）C,D为M卜.的两点.若四边形ACBD的对用线CD1AB.求四边形ACBD而枳的

最大值.

5

20.(2015•浙江)已知椭恨/+丫2=1上网个不同的点A.B关于“线y=mx+1寸称.

2y2

(I)求实数m的取值范闱;

(2)>RAAOB面积的最大值(O为坐标原点).

⑥⑥

5

一|I⑥二

21.（2015•新课标2）已知椭网C：9x2+y2=m2（m>0）.直线I不过原点OII.不平行于坐标轴.

1与C有两个交点A.B.线段AB的中点为M.

（I）证明：有线（）M的斜率与1的斜率的乘积为定值；

（2）若1过点（弓.m）.延长线段OM与C交于点P.四边形OAPB能否为平行四边形？若能.

求此时1的斜率；若不能.说明理由.

5

22.（2014•陕西）如图，|11|线CIII上半椭I员ICl：鼻丁W=1（a>b>0,y50）和部分抛物

a2b2

线G：y=-x=l（yWO）连接而成.C与C,的公共点为A.B.其中C的离心率为

2

(I)求a.b的值;

（II）过点B的直线1与C,.C,分别交于点P.Q（均异尸点A.B）.若AP1AQ.求直线

1的方程.

5

2

23.(2015•湖南)已知抛物线C,:x=4y的焦点F也是椭I员IC\：I=1(a>b>0)的…

a2b2

个焦点.C与C的公共弦长为2V6.

（I兀Kc,的方.程；

（II）过点F的代线I与C1相交于A、B网点，与C相交于C、D两点.11过叮而同向.

（i）^|AC|=|BD|.求直线1的斜率;

（ii）设G在点A处的切线与x轴的交点为M.证明：立线1绕点F旋转时.△MFD

总是钝一三加形.

5

24.(2015•福建)已知椭圆E：-匚+'=1(a>b>0)过点(0,&〉.“离心率

ab2

(1)求椭圆E的方程;

)交椭圆E于A.B两点，判断点G(-5°)与以线段AB

(2)设M线x=m广1(meF

为直径的圆的位置关系.并说明理由.

5

25.(2014•天津)设椭I员|芸+£=1(a>b>0)的左、右焦点分别为卜、F”/顶点为A.

a2b2

上顶点为B,已知|AB「巫|FR.

2'

(I)求椭园的离心率：

(II)设P为椭圆卜一异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点%,经过原点O的宣

线1坷该圆相切.求直线I的斜率.

5

一|I⑥IP

26.(2005•江西)如图.设抛物线C；y=x：的焦点为F.动点P在直线1：x-y-2=0上运动.过

P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切JA,B两点.

(I)APB的重心G的轨迹方程

(2)证明［PFA=LPFB.

5

2

27.（2015•新课标1）在直角坐标系xOy中,|11|线C：y=工一与荏线1：y=kx+a（a>0）交于M,

4

N两点.

（I）当k=0时.分别求C在点M和N处的切线方程.

（II）y轴卜.是否存在点P,使得当k变动时,总有40PM=40PN?（说明理由）

5

28.(2015•北京)已知椭圆C：£+£=1(a>b>0)的离心率为1点P(0.1)和点A(m.

a2b129,

n)(mW0)都在椭|员ICI..直线PA交x轴于点M.

(I)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(J||m.n及示);

(11)设0为原点，点B与点A关于X轴对称,直线PB交x轴于点N*问:y轴上是否存在点Q.

使得/OQM=/ONQ?若存在,求点Q的坐标,若不存在,说明理由.

5

2

29.(2015•福建)已知点F为抛物线E：y=2px(F>0)的焦点.点A(2.m)在抛物线E上.

且|AF|=3.

(I)求抛物线E的方程:

(n)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B.证明：以点F为圆心且与直线GA相

切的琳必与宜线GB相切.孙”一

22厂

3().(2017•山东)在平面角坐标系x()y中.椭I员IE：a>b>0)的离心率•为【苦,

a」/2

俵距为2

(I)求椭圆E的方程.

(II)如图.该直线1：y=k,x-返交椭圆E于A.B两点，C是椭圆E上的一点.直线0C

2

的斜率为k”II.看kk返.M足线段0C延长线卜.一点，IUMC|：AB|-2：3.0M

4

的半径为|MC|.OS.0T是G)M的两条切线,切点分别为S.T,求乙SOT的最大值,

并求取得最大值时直线I的斜率.

⑥

5

一U

31.（2011春•柳东新区校级期末）Li知抛物线C：/=4x.［线I：y=kx+b与C交于A.B两点.

0为坐标原点.

（1）当k=l.R直线1过抛物线C的焦点时.求|AB的值:

（2）当直线OA.OB的倾斜角之和为45。时.求k.b之间满足的关系式.并证明直线1过

定点.

5

22

32.(2010•辽宁)设椭圆C：(a>b>0)的左焦点为F.过点F的直线与椭圆C相交

I-A.B两点.直线1的倾斜角为60°.AF=2FB-

(1)求椭圆C的离心率;

(2)如果|AB|=普.求椭圆C的方程.

5

卷

33.(2011•四川)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1.0).过其焦点F(0.1)的直线1与椭圆交于C、

D两点,并与x轴交「点P.直线AC与直线BD交卜点Q.

(T)当|CD|=亲历时.求直线1的方程;

(II)当点P异于A、B两点时.求证:而."55为定值■

5

22

34.(2010•江苏)在平面直角坐标系xoyUL如图.已知啾%-+[-=1的左、右顶点为A、B.

右焦点为F.设过点T(I.m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x,.%)、N(x2.y2).

其中m>0,y,>0,y2<0.

(I)设动点P满足PF2-PB2=4.求点P的轨迹;

(2)设x,=2.xky.求点T的坐标；

(3)设t=9.求证:直线MN必过x轴上的一定点(其

坐标-m无关).

5

H

35.(2012•北京)已知曲线C：(5-m)x2+(m-2)y2=8(mGR)

(I)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆.求m的取值范围:

(2)设m=4.曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与|H|线c

交于不同的两点M、N.♦线y=l与直线BM交于点G.求证:A.G,N:.点共线.

5

2

36.(2011•全国大纲卷)已知0为坐标原点,F为椭I员IC：X2+台=1在y轴iE半轴上的焦点.

过F且解率为-加的直线I与C交于A、B两点.点P满足东+淄+加益

(I)证明：点P在C上;

(II)设点P关于点O的对称点为Q.证明:A、P、B,Q四点在同•圆上

5

|1ir

37.（2014•全国大纲卷）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F.直线y=4马y轴的交点为

r

P.与C的交点为Q.IL|QF|=1|PQ.

（IARC的力.程；

（II）过F的宜线ILjC相交|：A、B两点,若AB的垂直平分线LjC相交:M、N两点.且A、

M,B,N四点在同一圆上,求1的方程.

5

—|I⑥IP

22

38.(2014•浙江)如图.设椭圆C：三+Z=l(a>b>0).动直线I与椭以IC只有•个公共点P.

且点P在第一象限.

(I)已知在线I的斜率为k.川a.b.k表示点P的坐标；

(n)若过原点O的宣线L与1垂直.证明：点P到直线L的距离的最大值为a-b.

5

22厂

39.(2016•北京)已知椭圆C：&■+4=1(a>0,b>0)的离心率为浮.A(a.O),B(0.

aZ『2

b).O(0.0).aOAB的面枳为1.

(1)求椭圆C的方程;

(II)设P是椭I员IC上一点.直线PA与y轴交于点M.直线PB与x轴交于点N.求证:

|AN|<BM为定值.

5

22

40.（2011•山东）已知直线I与椭做IC：N-+2—=i交于P（x-y）Q（x,.yj的个同点.

32

△OPQ的面积Smy率其中O为坐标原点.

（1）证明x5+x；和y5+y；均为定值；

（II）设线段PQ的中点为M.求|OM|«|PQ的最大值;

（III）椭圆C上是否存在点D.E.G.使得S—=SA皿产S八由产哆？若存在.判断△DEG

的形状；若不存在,请说明理由.

⑥

5

⑥

2

41.(2014•if.pq)如图.已知双曲线C:刍-『=1(a>0)的右焦点为F.点A.B分别在C

a

的两条渐近线AF_Lx轴.AB1OB.BF〃OA(O为坐标原点).

(1)求双曲线C的方程;

(2)过C上一点P(x.y)(y。/0)的直线I：—2-y(ly=l与直线AF相交于点M.与直线

,;(1a

X=苣相交于点N.证明:当点P在C上移动时.

2

5

42.(2013•山东)椭圆C；W+*i(a>0,b>0)的左右焦点分别是F.F”离心率为近,

a2b22

过FE垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为I.

(I)求椭I员IC的方程;

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PLPF,.设ZRPF,的角平分线PM交

C的长轴「点M(m.0).求m的取值范围：

(3)*(2)的条件下,过点P作斜率为k的立线I.使得I与椭圆C且只有一个公共点.

设直线PF1.PF,的斜率分别为k.k,,若k#0.试证明为定优并求出这

个定值.

5

=1(a>b>0)的离心率是半.点P(0.1)在短

43.（2015•四川）如图.椭圆E：

轴CD上,且pd•pB__।

（I）求椭求E的方程;

（II）设0为坐标原点,过点P的动直线除椭圆交卜A、B两点.是否存在常数入,使得豕•

品+入瓦•无为定值?若存在•求入的值;若不存在,请说明理由.

5

44.（2013•江西）如图.椭惧IC：:+01（a>b>0"过*P（I.］）,离心率e=微.直线

aZb222

1的方程为x=4.

（I）求椭圆C的方程;

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P）.设立线ABLjjf线I相交「点M.记PA.

PB.PM的斜率分别为k”k”k,.问：是否存在常数入,使得K+k产Ah?若存在.求

入的值;若不存在.说明理由.

5

22

45.(2016•四川)已知椭圆E：^-+-X-=l(a>b>0)的两个焦点4短轴的一个端点是直角

二甭形的3个顶点.直线1：y=x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

(I)求椭圆E的方程及点T的坐标;

(II)设0是坐标原点,直线1'平行「OT.与椭圆E交于不同的两点A、B.且勺直线I交

「点P.证明：存在常数3使得|PT|M11PAi•PB].并求入的值.

5

22/—

46.（2010•II冻）如图.已知抑I员12T+J=1（a>b>0）的离心率为乂2.以该椭网上的点和

a2b22

椭圆的左、右焦点F,为顶点的•:用形的局长为4（亚+1）.一等轴双曲线的顶点是该椭

圆的焦点,设P为该双曲线I：异于顶点的任一点.直线PF,和PF,与椭圆的交点分别为A,

B和C、D.

（I）求椭求和双曲线的标准方程;

（n）设宜线PF,、PF,的斜率分别为k,、k”证明k,•k,=l;

（III）（此小题仅理科做）是否存在常数人*使得|AB|+|CD=?i|AB7CD|恒成立?若存在.求

入的值;若不存在.请说明理由

5

一U

47.(2016•新课标2)已知椭［以IE：4+j_=l的焦点在x轴上.A是E的左顶点，斜率为k

(k>0)的立线交E干A.M两点.点N在E上.MA1NA.

(I)当t=4.IAMHANI时.求AAMN的面积;

(II)当21AMi=|AN|时.求k的取值范围.

5

21

48.（2016•天津）设椭I员1彳+工2_=1（a>«）的右焦点为F.右顶点为A.已知-^丁+

a3

13e

向-其中0为原点.c为椭网的离心率.

（I）求椭圆的方程;

（2）设过点A的直线I可椭圆交手点B（B不在x轴上），垂直J7的直线与1交干点M,*j

y轴于点H.若BF1HF.II.AMOA<4MA0.求直线1的斜率的取值范围.

5

49.(2012•四川)如图.动点M到两定点A(-1.0)、B(2.0)构成△MAB.且乙MBA=

2AMAB.设动点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程;

5

50.(2015•天津)已知椭恻:+4=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为近.点

a2b23

M在椭圈匕且位I：第一象限,直线FM被I员IX为乜应做得的线段的氏为c.IFMLGZI

43

(1)求直线FM的斜率;

(II)求椭圆的方程;

(III)设动点P在椭I员I匕若直线FP的斜率大I：亚.求宜线OP(()为原点)的斜率的取值

范围.

5

一U

51.(2015•重庆)如题图.椭哼田(a>b>0)的左右焦点分别为F,,F,,且过F2的

直线交椭圆十P.Q两点,且PQ1PF,.

(I)若叫=2+亚,%=2-&.求椭圆的标准方程

(n)若|PQ|=MPF||,且■|=<4.试确定椭I员I离心率c的取值范闱.

_||ir

52.（2017•新课标1）已知椭圆C：3■+4■=1（a>b>0）,四点巴（1,1）,P2（0.1）,P3

（-1.1）.P」（l,返）中恰有三点在椭圆C上.

22

（1）求C的方程；

（2）设直线1不经过P,点且与C相交于A.B两点.若直线P,A与直线P,B的斜率的和为-1.

证明：1过定点.

5

22

53.(2014•天津模拟)已知椭恻C：二+01(a>b>0)的行焦点为F(I.0).且点(-1.

a2『

立)在椭圆CI'..

2

(I)求椭圆C的标准方程;

(2)已知动直线I过点F.且与椭圆C交于A.B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得

嬴•■二一马1成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

5

54.(2012•福建)如图.椭圆E：'+\=1(a>b>0)的左焦点为F,.右焦点为F、.离心率

a2b2

e=HF,的仃线交椭圆I：A、B两点，！=[△ABF,的周长为8.

(I)求椭圆E的方程

(II)设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:

在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为宜径的圆恒过点M?若存在.求出点M

的坐标；若不存在,说明理由

5

55.(2015•四川)如图.椭网E：4+且15>1>>0)的离，心率是返.过点P(0.I)的动

a2b22

直线I।j椭圆相交了A、B两点,当直线1平行「x轴时,直线1被椭圆E截得的线段长为

2亚.

(1)求椭圆E的方程；

(II)在平面M角坐标系xOy中.是否存在与点P不同的定点Q.使得耨斗恒成立?

lwIIrDI

若存在,求出点Q的坐标;若不存在.请说明理由.

5

56.（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F.A为C上异于原点的任意•点,

过点A的直线1交C于另一点B.交x轴的正半轴于点D,且有IFA|=|FD|.当点A的

横坐标为3时，△ADF为正加豚

（IMRC的方程；

（II）若直线L〃I,且L和C有且只有一个公共点E.证明直线AE过定点.并求出定点坐标.

5

57.(2013•新课标I)已知I员IM：(x+1-+户1,圆N：(x-1)2+y2=9.动MI＞与圈M外切并与网

N内切.一心P的轨迹为曲线C.

(I)求C的方程;

(II)1是与圆P.圆M都相切的一条直线,1与曲线C交于A.B两点,当圆P的半径最长时,

求|AB|.

5

58.（2014•广东）已知椭|员|C：£■+J=1（a>b>0）的右焦点为（漏.0）.离心率为哗■.

a2b23

（I）求椭圆C的标准方程;

（2）若动点P（4,yj为椭圆C外一点.且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的

轨迹方程.

5

59.(2011•天津)在平面直角坐标系x()y中.点P(a.b)(a>b>0)为动点,F”F,分别为

22

椭圆&+Z=l的左、右焦点•已知△FTF,为等腰•:启形.

(I)求椭圆的离心率e；

(II)设有线PF、与椭I员I相交于A.B两点.MPF,上的点.满足赢•氤=-2,求点

M的轨迹方程.

5

22

60.(2013•四川)已知椭圆C：三+夫=1(a>b>0)的两个焦点分别为F,(-1.0)，F2(1.

?\NLb/

0).且椭圆C经过点P£).

(I)求椭MC的离心率：

(II)设过点A(0.2)的宜线19椭I员IC交J-M.N两点.点Q是线段MN上的点,且

看卷+击.求点Q的轨迹方程.

5

61.(2011•安徽)设入＞0.点A的坐标为(1.1),点B在抛物线y=x：上运动.点Q满足

BQ=XQA.经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线尸点M,点P满足瑜=入命求点P的轨

迹方程.

W.

-2-1Op.12

-1-

-2-

5

—|1⑥ir

2

62