成都市八年级数学下期末B卷填空、压轴题(培优)含答案

成都市八年级数学下期末B卷填空、压轴题专题（培优）

一.填空题（共32小题）

1.已知7-3x-4=0,则代数式T—的值是.

x-x-4

2.如图，△ABC的三边A8,BC,AC的长分别为45,50,60,其中三条角平分线相交于点O,则S»B。：

SABCO：SACAO=

AC=6cm,BC=Scm,动点P从点C出发，按C-BfA的路径,

以2c〃?每秒的速度运动，设运动时间为/秒，当，为.时，△AC尸是等腰三角形.

4.如图，四边形ABCD中，对角线ACLBD,且4c=2,BD=4,各边中点分别为4、Bi、Ci、Di,顺次

连接得到四边形AIBICIQI,再取各边中点42、比、C2、。2,顺次连接得到四边形A282c2。2,…，依此

类推，这样得到四边形则四边形的面积为.

5.如图，在矩形A8C。中，AB=2,BC=M，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴

上滑动，点C在第一象限，连接OC,则当OC为最大值时，点C的坐标是

6.如图，在等腰直角△4BC中，NACB=90°,0是斜边4B的中点，点。、E分别在直角边AC、BC上,

且NQOE=90°,£>E交0C于点P.则下列结论：

(1)图形中全等的三角形只有两对；

(2)ZVIBC的面积等于四边形CCOE的面积的2倍；

(3)CD+CE=®OA；

2

(4)AD^+BE=4SAD0E

其中正确的结论有.(填序号)

7.如图，NMON=90°,边长为4的等边aABC的顶点A、8分别在边OM,ON上，当B在边ON上运

动时,4随之在边。例上运动，等边三角形的形状保持不变,运动过程中，点C到点。的最大距离为

8.在△ABC中，尸、。分别是BC、AC上的点，作PR1.A8,PS1AC,垂足分别是R,S,PR=PS,4。=

PQ,则下面三个结论：①AS=AR；©PQ//AR；③△BRPgZkCSP.其中正确的是.

9.如果x-3是多项式2/-的一个因式，则〃?的值_______

10.如图，边长为2的正方形ABC。绕点A逆时针旋转45度后得到正方形48'C。'，边B'C与OC

交于点。，则四边形A8'。。的周长是

11.如图，在等腰三角形4BC中，NABC=120°,点P是底边AC上一个动点，M,N分别是AB,BC的

中点，若PM+PN的最小值为2,则△ABC的周长是

12.若不等式2x<4的解都能使关于x的一次不等式(a-1)x<a+5成立，则a的取值范围是.

13.若实数a,匕满足。+*=1,则2/+7序的最小值是.

14.已知整数x、y满足/+孙-2/=7,则满足条件的冲值是.

15.如图，N84C=/BQC=90°,以AB,BD为边作团ABQE,连接CE,若A£>=6,BC=8,则CE为

16.如图，在平面直角坐标系中，点尸坐标(3,0),有一长度为&的线段AB在直线y=x+l的图象上滑

17.如图，正方形A8C。的边长为2,点E、F分别是C。、BC的中点，AE与。尸交于点P,连接CP,则

CP=.

18.如图所示，在菱形纸片ABC。中，A8=4,ZBAD=60°,按如下步骤折叠该菱形纸片:

第一步：如图①，将菱形纸片A8C。折叠，使点A的对应点4'恰好落在边C。上，折痕E尸分别与边

AD.48交于点E、F,折痕EF与对应点A、A'的连线交于点G.

第二步：如图②，再将四边形纸片BCA'F折叠使点C的对应点C'恰好落在A'F上，折痕MN分别

交边C£>、8C于点M、N.

第三步：展开菱形纸片ABCD,连接GC',则GC'最小值

19.如图，在直角坐标系中，正方形OABC顶点8的坐标为（6,6）,直线CO交直线0A于点。，直线0E

交线段A8于点E,且CD_LOE,垂直为点凡若图中阴影部分的面积是正方形0ABe的面积的工，则4

3

OFC的周长为

20.如图，△ABC,均为等腰直角三角形，NB4C=ND4E=90°,将△ADE绕点A在平面内自由

旋转，连接。C,点M，P,N分别为。E,DC,BC的中点，若A£>=3,AB=7,则线段MN的取值范围

是

A

E

BNC

21.如图，RtZXABC中，/C=90°,AC=3,BC=4,点。是BC边上一定点，且CD=1,点E是线段

OB上一动点，连接AE,以AE为斜边在AE的右侧作等腰直角△△£：£当点E从点。出发运动至点8

停止时，点尸的运动的路径长为.

22.如图，在平行四边形ABC。中，点E为A。边的中点，将△ABE沿BE翻折，得到△「方£连接。尸并

延长交BC于点G,若BE=AO=3,平行四边形A8CD的面积为6,则FG=.

23.如图，以直角三角形A8C的斜边BC为边在三角形A8C的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为。,

连接A。，如果A8=4,A0=6圾，则AC=.

24.如图，在RI/XABC中，ZACB=90°,NA=60°,AB=6,△BCD为等边三角形点E为△BCD围成

的区域（包括各边）的一点过点E作EM〃A8,交直线AC于点M作硒〃AC交直线AB于点N,则』AN+AM

2

的最大值为

25.如图，在矩形ABCQ中，AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足SA»B=LS矩形ABCD,贝U点尸至ijA、

3

B两点的距离之和PA+PB的最小值为

26.如图，在△ABC中，NABC和NAC8的平分线相交于点G,过点G作£尸〃BC交AB于£,交AC于巴

过点G作GO_LAC于。，下列四个结论：①EF=BE+CF；②NBGC=90°-工/A；③点G到AABC

2

各边的距离相等；④设GQ=m,AE+AF=n,贝ij,加，其中正确的结论有（填序号）.

27.如图，矩形ABC。的边0C在x轴上，边0A在y轴上，且点C的坐标为（8,0）,点A的坐标为（0,

6）,点£、F分别是OC、BC的中点，点M,N分别是线段OA、A8上的动点（不与端点重合），则当四

边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为

28.如图，正方形48C。的边长AB=3,点E、F分别是CB,OC延长线上的点，连AF交CB于点G,若

BE=1,连接4E,且NEAF=45°,则4G长为

29.如图，矩形纸片A5CQ中，AD=5,AB=3.若M为射线A。上的一个动点，将沿折叠得

到△NBM.若ANBC是直角三角形.则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为.

30.如图，在矩形ABCQ中，BC=y/2AB,N49C的平分线交边BC于点E,于点H,连接CH并

延长交边AB于点凡连接AE交C尸于点O,则旦旦的值是

AE

NA=45°,AB=4,AD=2®M是AO边的中点，N是AB边上一

动点,将线段绕点M逆时针旋转90至MN',连接N'B,N'C,则N'B+N'C的最小值是.

AC=6,8c=8,CD平分/ACB交AB于点D点E为CO的中

点.在BC上有一动点尸，则PO+PE的最小值是

二.解答题（共28小题）

33.问题：如图(1),点E、尸分别在正方形ABC。的边BC、CD上，NE4F=45°,试判断BE、EF、FD

之间的数量关系.

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△AOG,从而发现EF=BE+F£>,请你利用图(1)

证明上述结论.

【类比引申】

如图(2),四边形ABCZ)中，NBAQW90°,AB=AD,ZB+ZD=180°,点E、F分别在边BC、CD

上，则当/EAF与/BA。满足关系时，V5WEF=BE+FD.

【探究应用】

如图(3),在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形A8CD已知AB=A£>=80米，NB=60°,

ZADC=\20°,ZBAD=]50°,道路BC、CO上分别有景点E、F,且A&LAO,DF=(4073-40)

米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为米.

BECE

图⑴图⑵图⑶

34.若关于x的不等式组(只有4个整数解，求”的取值范围.

35.如图，将边长为15的正方形。EFP置于直角坐标系中，OE、OP分别与x轴、y轴的正半轴重合，边

长为2b的等边△A8C的边8c垂直于x轴，△4BC从点A与点O重合的位置开始，以每秒1个单位长

的速度先向右平移，当BC边与直线EF重合时，继续以同样的速度向上平移，当点C与点F重合时，

△A8C停止移动.设运动时间为x秒，△布C的面积为y.

(1)当x为何值时，P、A、8三点在同一直线上，求出此时A点的坐标；

(2)在△ABC向右平移的过程中，当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多

少？

(3)在△ABC向上移动的过程中，当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多

少？

交于点A，且与x轴交于点8,过点A作AC_Ly轴与点C.点

P从。点以每秒1个单位的速度沿折线0-C-A运动到A；点R从8点以相同的速度向。点运动，一

个点到终点时，另一个点也随之停止运动.

(1)求点A和点B的坐标;

(2)过点R作直线/〃y轴，直线/交线段84于点Q,设动点尸运动的时间为f秒.

①当f为何值时，以A,P,O,R为顶点的四边形的面积为13?

②是否存在以A、P、R为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出f的值；若不存在，请说明理

37.如图(1),已知aABC是等腰直角三角形，/BAC=90°,点。是BC的中点.作正方形。EFG,使

点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG.

(1)试猜想线段BG和AE的关系(位置关系及数量关系)，请直接写出你得到的结论：

(2)将正方形OEFG绕点。逆时针方向旋转一角度a后(0°<a<90°),如图(2),通过观察或测量

等方法判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由：

(3)若BC=DE=m,正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度a(0°<a<360°)过程中，当AE

为最大值时，求AF的值.

图⑴国(2)

38.(1)如图1,在△ABC中，AD平分NBAC交BC于。，DE1.ABE,。尸JLAC于凡则有相等关系

DE=DF,AE=AF.

(2)如图2,在(1)的情况下，如果NMDN的两边分别与A8、AC相交于M、N两

点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+=2AF,请加以证明.

(3)如图3,在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZBAC=60°,AC=6,A£>平分/84C交BC于。，NMDN

=120°,ND//AB,求四边形AMCW的周长.

39.如图1,在△A8C中，点尸为8c边中点，直线a绕顶点A旋转，若点8,P在直线a的异侧，BML

直线〃于点M.CN_L直线”于点M连接PM,PN.

(1)延长MP交CN于点£(如图2).

①求证：ABPM冬ACPE；

②求证：PM—PN-,

(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B,P在直线。的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还

成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)若直线。绕点A旋转到与8c边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形M8CN的形状

及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由.

40.如图，等边AABC中，AO是NBAC的角平分线，。为AO上一点，以CD为一边且在8下方作等边

△CD£,连接BE.

(1)求证：△ACOWZXBCE；

(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若8C=8时，求P。的长.

41.已知实数x,y满足/+49:+4)2-x-2y+』=0,求(x+y)2-2(x+_y)(2x+3y)+(2x+3y)?的值.

4

42.如图为正方形ABC。中，点M、N在直线8力上，连接AM,4V并延长交BC、CO于点E、F,连接

EN.

(1)如图1,若M,N都在线段8。上，且AN=NE,求/MAN；

(2)如图2,当点M在线段OB延长线上时，AN=NE,(1)中NMAN的度数不变，判断BM,DN,

MN之间的数量关系并证明；

(3)如图3,若点例在。B的延长线上，N在8。的延长线上，且NAMN=135°,48=近，MB=M，

求DN.

DD

43.等腰直角三角形OAB中，ZOAB=90Q,OA=A8,点。为04中点，DCLOB,垂足为C,连接B£>,

(1)求证：A.M=CM-,

(2)将图①中的△OCD绕点。逆时针旋转90°,连接80,点M为线段B。中点，连接AM、CM、

0M,如图②.

①求证：AM=CM,AMI.CM；

②若AB=4,求△AO仞的面积.

44.在矩形ABC。中，AB=12,BC=25,P是线段AB上一点(点P不与A,B重合)，将△PBC沿直线

PC折叠，顶点8的对应点是点G,CG,PG分别交线段AZ)于E,0.

(1)如图1,若OP=OE,求证：AE=PB；

(2)如图2,连接BE交PC于点尸，若BE工CG.

①求证：四边形BFGP是菱形；

②当4E=9,求度的值.

PC

GGG

图1图2备用图

45.如图，已知直线y=fcv+4(k#0)经过点(-1,3),交x轴于点A,y轴于点B,/为线段AB的中点，

动点C从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动，连接FC,过点F作直线FC的垂线交

x轴于点。，设点C的运动时间为r秒.

(1)当0<f<4时，求证：FC=FD；

(2)连接C。，若△「£>(7的面积为S,求出S与f的函数关系式；

(3)在运动过程中，直线CF交x轴的负半轴于点G,」。+工是否为定值？若是，请求出这个定值:

OC0G

x

46.如图1.在边长为10的正方形ABC。中，点M在边AO上移动(点M不与点A,。重合)，MB的垂直

平分线分别交48,CD于点E,F,将正方形ABC。沿EF所在直线折叠.则点8的对应点为点M,点C

落在点N处，MN与CD交于点、P,

(1)若AM=4,求BE的长；

(2)随着点M在边AQ上位置的变化，NM8P的度数是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，

请求出NMBP的度数；

(3)随着点M在边AO上位置的变化，点尸在边CD上位置也发生变化，若点P恰好为CO的中点(如

图2),求CF的长.

47.(1)【问题发现】如图1,在RtAABC中，AB=4C=4,N8AC=90°,点。为BC的中点，以C。为

一边作正方形CCEF,点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；

(2)【拓展研究】在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，当点8,E,F三点共线时，连接

BE,CE,AF,线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

(3)【问题发现】当正方形CDEF旋转到8,E,广三点共线时，求线段AF的长.

48.如图1,直线y=-2》+6与y轴交于点A,与x轴交于点。，直线AB交x轴于点8,ZiAOB沿直线

4

A8折叠，点0恰好落在直线A。上的点C处.

(1)求08的长;

(2)如图2,F,G是直线4B上的两点，若△OFG是以尸G为斜边的等腰直角三角形，求点尸的坐标；

(3)如图3,点P是直线AB上一点，点Q是直线A。上一点，且P,Q均在第四象限，点E是x轴上

一点，若四边形尸QQE为菱形，求点E的坐标.

49.如图，矩形ABCO中，ZBAC=30°,对角线AC、8。交于点0,NBCD的平分线CE分别交AB、BD

于点E、H,连接0E.

(1)求NBOE的度数;

(2)若BC=1,求△BC/7的面积;

备用图

图1

50.如图，已知平面直角坐标系中，A(1,0)、C(0,2),现将线段。绕A点顺时针旋转90°得到点B,

连接AB

(I)求出直线BC的解析式;

(2)若动点M从点C出发，沿线段CB以每分钟J而个单位的速度运动，过M作MN//AB交y轴于N,

连接AN设运动时间为7分钟，当四边形ABMN为平行四边形时，求f的值.

(3)P为直线8C上一点，在坐标平面内是否存在一点Q使得以0、B、P、。为顶点的四边形为菱形?

若存在，求出此时。的坐标；若不存在请说明理由.

51.(1)如图1,在矩形A8C力中，对角线AC与8。相交于点O,过点。作直线E£LB。，且交AO于点

E,交BC于点凡连接BE,DF,且BE平分/ABC.

①求证：四边形8FDE是菱形;

②直接写出NEB尸的度数.

(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图2,G,/分别在BF,BE边上，且BG=B/,连接G。,

，为G。的中点，连接F"，并延长"7交ED于点J,连接〃，IH,IF,IG.试探究线段出与F”之间

满足的关系，并说明理由;

(3)把(1)中矩形ABC。进行特殊化探究，如图3,矩形A8CO满足4B=A£＞时，点E是对角线AC

上一点，连接DE,作EFLOE,垂足为点E,交AB于点F,连接。凡交AC于点G.请直接写出线段

AG,GE,EC三者之间满足的数量关系.

(1)如图1,CE与BC的数量关系是；

(2)如图2,若尸是线段C8上一动点(点P不与点8、C重合)，连接。P,将线段。尸绕点。逆时针

旋转60°,得到线段。尸，连接8凡请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)若点P是线段CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出。E、

BF、BP三者之间的数量关系.

A<%

53.如图，△ABC与△4£>E都为等腰直角三角形，NA8C=NA£>E=90°,连接8。，EC,且F为EC的

中点.

(1)如图1,若力、4、C三点在同一直线上时，请判断。尸与B尸的关系，并说明理由；

(2)如图2,将图1中的△AQE绕点A逆时针旋转机。(0<w<90),请判断(1)中的结论是否仍然

成立？并证明你的判断：

(3)在(2)下，若AOE尸与aBCF的面积之和于aOBF的面积，请直接写出机的值.

54.已知菱形ABC。的边长为5,其顶点都在坐标轴上，且点A坐标为(0,-3).

(1)求点B的坐标及菱形ABCD的面积；

(2)点P是菱形边上一动点，沿运动(到达。点时停止)

①如图1,当点P关于x轴对称的点Q恰好落在直线y=&x-3上时，求点P的坐标.

3

②探究：如图2,当P运动到BC,C。边时，作△4BP关于直线AP的对称图形为AAB'P,是否存在

这样的P点，使点夕正好在直线y=^x-3上？若存在，求出满足条件的点尸坐标；若不存在，请说

55.菱形A8CQ中，ZBAD=60°,8。是对角线，点E、F分别是边AB、A。上两个点，且满足AE=QF,

连接BF与QE相交于点G.

(1)如图1,求/BG。的度数；

(2)如图2,作CH_LBG于，点，求证：2GH=GB+DG；

(3)在满足(2)的条件下，且点〃在菱形内部，若GB=6,CH=E，求菱形A8C£>的面积.

56.(1)如图1,正方形ABCO中，ZPCG=45°,且P£>=BG,求证：FP=FC；

(2)如图2,正方形ABCD中，NPCG=45°,延长PG交CB的延长线于点F,(1)中的结论还成立

吗？请说明理由；

(3)在(2)的条件下，作FELPC,垂足为点E,交CG于点N,连接。N,求NNQC的度数.

57.如图，在平面直角坐标系中，直线48分别交x、y轴于点A、B,直线BC分别交X、)，轴于点C、B,

点A的坐标为(2,0),ZABO=30°,且ABLBC.

(1)求直线BC和AB的解析式；

(2)将点B沿某条直线折叠到点。，折痕分别交BC、54于点E、D,在x轴上是否存在点尸，使得点

D、E、尸为顶点的三角形是以。E为斜边的直角三角形？若存在，请求出厂点坐标；若不存在，请说明

理由；

(3)在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与8、C两点构成的四边形是正方形？若存在，

请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.

58.如图，在平面直角坐标系，中，已知直线AB经过点A(-2,0),与y轴的正半轴交于点B,且OA

(2)点C在直线上，且BC=A8,点E是y轴上的动点，直线EC交x轴于点力，设点E的坐标为

(0,m)(〃?>2),求点。的坐标(用含，"的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，若CE：CD=1：2,点尸是直线AB上的动点，在直线AC上方的平面内是否存

在一点G,使以C,G,F,E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明

理由.

59.如图1,在正方形ABCQ中，E是8c边上一点，尸是BA延长线上一点，AF=CE,连接BQ,EF,FG

(2)求证：DF=DG；

(3)如图2,若GHLEF于点H,且£7/=方/”，设正方形ABC。的边长为x,GH=y,求y与x之间

的关系式.

60.四边形A8CQ是正方形，/XBEF是等腰直角三角形，NBEF=90°,BE=EF,连接。F,G为。尸的中

点，连接£G、CG.

(1)如图1,若点E在CB边的延长线上时，延长线段EG,8相交于点M,

求证：GE=GM,CE=CM.

(2)将图1中的△8EF绕点B顺时针旋转至图2所示位置时，延长EG到M,使GE=GM,连接MD,

MC.

①求证：NEBC=NMDC；

②判断EG与CG的关系并证明.

图1图2

参考答案

一.填空题（共32小题）

1.工；2.9：10：12；3.3,6或6.5或5.4；4.占5.(则13);6.(2)(3)(4)；7.273

22n—2-2-

±2；8.①②:9.15；10.4近；11.4+2V3；12.l〈aW7；13.2；14.-10或6；15.2沂;

16.V34；17.；18.V3;19.6+2-JlK：20.2MWMNW5E：21.

2^^37222.3-J5；

5

23.16；24.Z5；25.472；26.①③④:27.(4,6)；28.29.10；30.-131.2^/10;

2

32.竿加

解答题（共28小题）

33.问题：如图（1）,点E、尸分别在正方形ABCD的边8C、CDh,/E4F=45°,试判断BE、EF、FD

之间的数量关系.

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△AOG,从而发现EF=BE+FZ）,请你利用图（1）

证明上述结论.

【类比引申】

如图（2）,四边形ABC。中，ZBAD^90°,AB=AD,/8+NO=180°,点E、尸分别在边8C、CD

上，则当NE4尸与NBA。满足NBAD=2NEAF关系时,仍有EF=BE+FD.

【探究应用】

如图（3）,在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形4BCD已知AB=AO=80米，ZB=60°,

ZADC=120°,ZBAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,J&AEA.AD,DF=（40«-40）

米，现要在E、尸之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为40（加+1）米.

【解答】【发现证明】证明：如图（1）,,：/XADG^^ABE,

：.AG=AE,ZDAG^ZBAE,DG=BE,

又尸=45°,即/。AF+NBE4=/E4尸=45°,

：.ZGAF=ZFAE,

在△G4F和△项E中，

rAG=AE

<ZGAF=ZFAE，

AF=AF

.,•△AFG^AAFE(SAS).

：.GF=EF.

又,：DG=BE,

：.GF=BE+DF,

：.BE+DF=EF.

【类比引申】ZBAD=2ZEAF.

理由如下：如图(2),延长CB至M,使8例=。凡连接AM,

VZABC+ZD=180",NABC+NA8M=180°,

：.ZD=ZABM,

在△A2M和△AOF中，

，AB=AD

<ZABM=ZD>

BM=DF

：./\ABM^^ADF(SAS),

：.AF=AM,ZDAF^ZBAM,

■:NBAD=2NEAF,

：.NDAF+NBAE=ZEAF,

：.NEAB+NBAM=ZEAM=NEAF,

在△阳E和△MAE中，

，AE=AE

<ZFAE=ZMAE，

AF=AM

(SAS),

EF=EM=BE+BM=BE+DF,

即EF=BE+DF.

故答案是：NBAD=2NEAF.

【探究应用】如图3,把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△AQG,连接AF,过A作垂足为

H.

；/BAO=150°,NDAE=90°,

/.ZBAE=f>0°.

又；NB=60°,

△ABE是等边三角形，

.•.8E=AB=80米.

根据旋转的性质得到：NAOG=NB=60°,

又；N4£)F=120°,

AZGDF=180°,即点G在CQ的延长线上.

易得，△AQG丝△A8E,

：.AG=AE,NDAG=/BAE,DG=BE,

又；A//—80X«-40灰,HF=HD+DF=40+40(V3-1)=40«,

2

故N/MF=45°,

：.ZDAF^ZHAF-ZHAD^45°-30°=15°

从而/E4F=/EA。-/£>AF=90°-15°=75°

又：Na4£)=150°=2X75°=2NE4F

,根据上述推论有：EF=BE+。尸=80+40(A/3-1)=40(V3+D(米)，

即这条道路E尸的长为40(V3+D.

故答案是：40(A/3+1).

图⑶

34.若关于x的不等式组只有4个整数解,求〃的取值范围.

等＜x+a

争〉x-3①

【解答】解:

竿＜x+a②

0

由①得：x<21,

由②得：x＞2-3a,

*-3

•••不等式组〈警"只有4个整数解,

不等式组的解集为：2-3“<x<21,即不等式组只有4个整数解为20、19、18、17,且满足16<2-

3a<17,

-5<aW-11.

3

35.如图，将边长为15的正方形OEFP置于直角坐标系中，OE、OP分别与x轴、y轴的正半轴重合，边

长为2«的等边AABC的边2C垂直于x轴，△ABC从点A与点。重合的位置开始，以每秒1个单位长

的速度先向右平移，当BC边与直线EF重合时，继续以同样的速度向上平移，当点C与点F重合时，

△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△办C的面积为y.

(1)当x为何值时，P、A、8三点在同一直线上，求出此时A点的坐标：

(2)在AABC向右平移的过程中，当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多

少？

(3)在△ABC向上移动的过程中，当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多

【解答】解：(1)如图，当P、A、B在同一直线上时，Rt△尸8尸中，NPBF=60°,

I4

o]Er

尸=5'R,DF=FB-BD=5M-

则DE=\5-473.

Ax=12+15-473=27-473(秒)，

此时点4的坐标为(12,15-4«)；

(2)如图,

当(XW12时,

y=Ss；®PODC-SAPOA-SAAOC，

=A(15+V3)(X+3)一匹尤一3«,

222

_15-h/345+3A/315诉

---------1十---------------------―---------Xr~-------，

2222

=返/45

A'—^―，

22

由一次函数性质可知：当x=0时，y

-2

当x=12时，y盘大=6«+至;

2

(3)由(2)知，△ABC向上移动时，当尤=12时，ya*=6V3+—;

2

当点C与点F重合时，此时x=12+15-2«即x=27-2«时，y垠小=为巨.

36.如图，已知直线y=-x+7与直线y=5x交于点A,且与x轴交于点B,过点4作ACLy轴与点C.点

P从。点以每秒1个单位的速度沿折线0-C-A运动到A；点R从8点以相同的速度向。点运动，一

个点到终点时，另一个点也随之停止运动.

(1)求点A和点B的坐标；

(2)过点R作直线/〃y轴，直线/交线段B4于点Q,设动点尸运动的时间为f秒.

①当/为何值时，以A，P，0,R为顶点的四边形的面积为13?

②是否存在以A、P、R为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出，的值；若不存在，请说明理

由.

・••联立①②解得，x=3,y=4,

AA(3,4),

令y=-x+7中，y=0,得，x=7,

：.B(7,0)；

(2)由运动知,BR=t,

•・,过R的直线/〃y轴，且与线段BA相交，

・・・0WW4,

AOR=1-t,

•・・ACJ_y轴，

.•・OC=4,

，点P必在线段oc上，

由运动知，0P=3CP=4-t,

①S四边形APOR=S四边形ACOS-SMCP-S&ABR

=JL(AC+OB)xoc-AACXCP-AB/?XOC

222

=工(3+7)X4-AX3X(4-r)-AxrX4

222

=20-6+3-2r

2

=-L+14,

2

•.•以A,P,O,R为顶点的四边形的面积为13,

-2r+14=13,

2

1=2；

②当点P在y轴上时，(0</<4)

由题意得，P(0,z),R(7-/,0),

VA(3,4),

：.PA2=9+(z-4)2,PR2=(7-t)2+?,RA2=(7-Z-3)2+16=(f-4)2+16,

假设存在以A、P、R为顶点的三角形是等腰三角形，

，1、当刑=PR时，即：以2=pR2,

：.9+(r-4)2=(77)2+?,

二产-6什24=0,此方程无解，

II、当B4=RA时，即：PA2=RA2,

.,-9+G-4)--(r-4)2+16,明显，此方程无解，

III、当PR=R4时，即：PR2=RA2,

：.(7-Z)2+?=(r-4)2+16,

-6什17=0,此方程无解，

.,.3^-30^88=0,此方程无解，

即：不存在时间/,使以A、P、R为顶点的三角形是等腰三角形.

37.如图(1),已知△ABC是等腰直角三角形，N8AC=90°,点。是BC的中点.作正方形。EFG,使

点A、C分别在OG和DE上，连接4E、BG.

(1)试猜想线段BG和AE的关系(位置关系及数量关系)，请直接写出你得到的结论：

(2)将正方形。EFG绕点。逆时针方向旋转一角度a后(0°<a<90°),如图(2),通过观察或测量

等方法判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由：

(3)若BC=DE=m,正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度a(0°<a<360°)过程中，当AE

为最大值时，求AF的值.

图(1)图(2)

【解答】解：(1)如图(1),

•.'△ABC是等腰直角三角形，NB4C=90°,点。是BC的中点，

：.BD=CD=AD,

•在△BDG和△AQE中

，BD=AD

，ZBDG=ZADE.

DG=DE

:.丛BDG迫丛ADE(SAS),

：.BG=AE,NDGB=NDEA,

延长EA到BG于一点M,

：.ZGAM=ZDAE,

：.ZGMA=ZEDA=90°,

线段BG和AE相等且垂直；

(2)成立，

如图(2),延长EA分别交OG、BG于点M'、N'两点，

:ZVIBC是等腰直角三角形，/8AC=90°,点。是2c的中点，

；.乙4。8=90°,且80=4。，

*/ZBDG=ZADB-NAOG=90°-ZADG=AADE,

•.•在△BQG和△ADE中

rBD=AD

<ZBDG=ZADE.

DG=DE

：./\BDG^/\ADE(SAS),

：.BG=AE,ZDEA=ZDGB,

:NDEA+NDNE=90",NDNE=NMNG,

:.NMNG+NDGM=90",

即BG_LAE且8G=AE；

(3)由(2)知，要使AE最大，只要将正方形绕点。逆时针旋旋转270。，即4,D,E在一条直线上

时，AE最大；

；正方形OEFG在绕点。旋转的过程中，E点运动的图形是以点。为圆心，OE为半径的圆，

.•.当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°)时，

8G最大，如图(3),

若BC=DE=m,则AO=典，EF=m,

2

222222

在RtzMEF中，AF=A£+£F=(AD+D£)+£F=11W,

_4_

：.AF=^^-m,即在正方形OEFG旋转过程中，当AE为最大值时，4/=，亘机.

22

国(2)

图⑴

38.(1)如图1,在△ABC中，A。平分NBAC交BC于。，DE1ABE,DFLACTF,则有相等关系

DE=DF,AE=AF.

(2)如图2,在(1)的情况下，如果NMDN=NEDF,/MOV的两边分别与A8、AC相交于M、N两

点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+3^=2AF,请加以证明.

(3)如图3,在RtZiABC中，ZC=90°,ZBAC=60°,AC=6,AC平分NBAC交BC于O,ZMDN

=120°,ND//AB,求四边形的周长.

【解答】（1）证明：平分NBAC,

：.ZBAD=ZCAD,

'：DELAB,DFLAC,

.•.NAED=NAF£>=90°,

在△AOE和△4。尸中，

，ZBAD=ZCAD

<ZAED=ZAFD=90°，

AD=AD

：./\ADE^/\ADFCAAS),

：.DE=DF,AE=AF；

(2)解：AM+AN=2AF；

证明如下：由(1)得DE=DF,

,/ZMDN=ZEDF,

：.ZMDE=NNDF,

在△MZ)E和中，

'/MDE=/NDF

'DE=DF，

ZDEM=ZD