九年级数学中考复习学案 三角函数

自学资料

主题：锐角三角函数

自学五步法

9乐学善思

知识点一（锐角三角函数的概念）

【知识梳理】

知识点1:正切、正弦、余弦的定义

在Rt^ABC中，NC=90°,

对_a

正弦=sinA=

邻_b

余弦=cosA=

对_a

正切=tanA=

二k

锐角A的正切、正弦、余弦都是角A的三角函数。

特殊角的锐角三角函数

30"45,60,

1出

sin-4在

222

出01_

cos且

2T2

tan.4也1出

3

I

【典型例题】

1.如图，点A为Na边上的任意一点，作ACJ_BC于点C,CDLAB于点D,下列用线段比表

示cosa的值，错误的是（）

A.股B.弛C.岖D.空

BCABACAC

【解答】解：VAC1BC.CD1AB.

:.Za+ZBCD=ZACD+ZBCD,

/.Za=ZACD,

.,.cosa=cos/ACD=^=BC=DC,只有选项c错误，符合题意.故选：C.

BCABAC

2、在AABC中，q5tanA-3）?+12cosB-|=01则4ABC为（）

A.直角三角形B.等边三角形C.含60。的任意三角形D.是顶角为钝角的等腰三角形

【解答】解：（＞/"§tanA-3）2+2cosB-=0.；.5/"§tanA-3=0,2cosB-5/^O,

.".tanA=V3-cosB=^,ZA=60°,ZB=30°..1△ABC为直角三角形.

2

故选：A.

3.如图，一块矩形木板ABC。斜靠在墙边（OCLOB,点4,B,C,D,。在同一平面内），

已知AB=a,AD=b,NBCO=x,则点。到。8的距离等于（）

B.aco&x+bcosxC.asinx+£>cosxD.acosx+bsinx

【解答】解：如图，过点。作DE_LOC于点E,则点。到OB的距离等于OE的长.

1•四边形AECD是矩形，.-.ZflCD=90°,CD=AB=a,AD=BC=b,:.NCDE=NBCO=x,

OC=BC*cosx=bcosx,C£=CD*sinx=asinA-,

:.OE=OC+CE=bco^+asinx.

则点D到OB的距离等于反osx+asinx.故选：C.

4、如图，在AABC中，AD_LBC,垂足为点D,若AC=6^,ZC=45°,tanZABC=3,则BD

等于（）

A.2B.3C.372D.273

【解答】解：TAC=6圾，NC=45°,.♦.AD=AC・sin45°=672X^=6,

'.,tanZABC=3./.AD_故选：

31.•.BD=AD_2JA

BD3

2

5、如图，点P在第二象限，OP与x轴负半轴的夹角是a,且OP=5,cosa=&,则点P坐标是

5

()

A.(3,4)B.(-3,4)C.(-4,3)D.

【解答】解：过点P作PAlx轴于点A,过点P作PB_Ly轴于点B,

如图所示.

3

VOP=5»cosa=—»/.OA=OP*cosa=3♦2-OA^4,

5

・••点P的坐标为(・3,4).

故选B.

6、(1)已知：sina・cos60°=Y3,求锐角a；

4

(2)计算:«+2(兀-2010)°-4sin45。•

知识点二(解直角三角形)

【知识梳理】.在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形.

2.在放△A3C中，ZC=90°,则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系:

(1)锐角之间的关系：ZA+ZB=90°；

(2)三边之间的关系：a2+b2=c2-,

/」、耳缶,问•?安.，的对边的邻边，的对边

(3)3用NJ印的天乐：sinA=—NA—--;cosA“=-ZA----;tanA.=:

斜边斜边ZA的邻边

。1,1,

(4)面积公式：""2"2("为斜边上的高)

3

3.解直角三角形的类型与解法:

已知条件解法

直角边a及锐ZB=90°-ZA；b=a•tanA；c=-^—

sinA

一边及一锐角A

角

斜边c及锐角AZB=90°-ZA；a=c•sinA；b=

c•cosA

两条直角边ac=^cr+b2；ZB=90°-ZA,

和bZ?=Vc2-6Z2

两边

直角边a和斜sinA=-,ZB=90°-ZA,

c

边C

h=y/c2-a2

比照上表，总结解非直角三角形的方法

题型一：构建直角三角形

1.如图，在AABC中，AD_LBC,垂足为点D,若AC=6«,NC=45。，tanZABC=3,贝ijBD

等于()

A.2B.3C.3MD.273

【解答】解：,••AC=6&,ZC=45°,

AD=AOsin450=6Mx返=6,

2

VtanZABC=3,.,--^=3,.\BD=^=2,故选：A.

BD3

2.已知：如图，AABC中，AC=1(),sinC=&，sinB=--求AB.

53

4

【解答】解：作AD_LBC于D点，如图所示,

在RtZkADC中，AC=10,sinC=A,

5

AD=ACsinC=10XA=8，

5

在四△ABD中，sinB=—,AD=8,

3

则AB=仙=24.

sinB

3.如图，在aABC中，ZA=135°,AB=20,AC=30,^AABC

的面积.

【解答】解：过点B作BE1AC,

VZA=135°,/.ZBAE=18()°-ZA=180°-135°=45°,

:.ZABE=900-ZBAE=90°-45°=45°,

在RtABAE中，BE2+AE2=AB2,

VAB=20,ABE=20^10^/2，

V2

VAC=30,

:.SAABC=-AC*BE=A-X30X】0加=150^2-

题型二：方格纸

例1、如图，已知AABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（

【解答】解：过B点作BDJ_AC,如图，

由勾股定理得，

AD-2vL2粕

AB=4]2+32=V10,AD=J[2+22=2^"^,cosA=.

ABV105

2.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,P,。四点均在正方形网格的格点上，线

段A8,PQ相交于点M,则图中NQMB的正切值是（）

A.-B.1C.V3D.2

【解答】解：如图所示：平移48使A点与尸点重合，连接8,Q,

可得N0M8=NP,

,:PB'=2心PQ=2y/10,B'Q=4叵

:・PB‘2+QB'2=陪，

5

：.AQPB'是直角三角形，

；.tanNQMB=tanNP==^^=2.故选：D.

3.如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，贝！］sin/84C=()

A.丹B.叵C.叵

67613

【解答】解：如图，过点B作BD_LAC于。，

由勾股定理得，48=心，+=而，AC=y+3"=3后

•:SSBC=iAC«BD=i*3扬8。=1x1X3,

:.BD=乌,.".sinZB/AC=7?=

2A8/Xis--26

故选：B.

4.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1,贝！JtanNBAC的值为

()

A.'B.1

2

【解析】解：连接BC,

由网格可得AB=3C=AC=710,

...△ABC为等腰直角三角形，

：.ZBAC=45°,

贝UtanNBAC=l,故选：B.

题型三：与矩形结合

1.如图，在矩形ABCO中，CELBD于点E,BE=2,DE=8,则tan/ACE的值为

6

D

【解答】解：设AC1和8。相交于点O,•.,8£)=8£+DE=10,...OB=OC=5.•.,BE=2,...。《二？.

在RtZ\OCE中，CE-VOCZ-0Ei=>j5i-32=4,二tanNACE=住=宗

2.如图，有两个全等的正方形ABCD和BEFC,则tan(NBAF+NAFB)=()

A.1B.；C.-

63

【答案】A

【解析】：NBAF和NAFB是^BFE的外角，

，ZBAF+ZAFB=ZFBE=45°,

.*.tan(ZBAF+ZAFB)=tan45°=l故选：A.

题型四：与翻折有关

1.矩形ABCO中A8=10,BC=8,E为A。边上一点，沿CE将△CDE对折，使点。正好落在

AB边上，求tanZAFE.

【解答】解：根据图形有：/AFE+NEFC+NBFC=18。°,

根据折叠的性质，NEFC=NEDC=90°,即乙4FE+NBFC=90°,

而RtZXBCF中，有NBCF+NBFC=90°,易得/AFE=NBCF,

在RtZSBFC,根据折叠的性质，有CF=CD,

在中，BC=8,CF=CD=10,

由勾股定理易得：BF=6,则tanNBCF=2；

4

故有tanZAFE=tanNBCF=W；答：lanZAFE=

44

2.将矩形ABCO沿AE折叠，得到如图的图形.已知NCEB'=60°,则NAEB'的正切值

7

【解答】解：T/AE8'是△AEB沿AE折叠而得,

：.^AEB'=ZAEB.

XVZBEC=180°,即NAEB'+NAEB+NCEB'=180°,

又,：NCEB'=60°

：.ZAEB'=i(1800-NCEB')=60°,

:./AEB'的正切值=12!!6()°=V3.故答案为百

3.如图，在矩形ABC。中，E为8c边上一点，将沿4E翻折得△AEB',点"恰好落

在CD边上，若AB=5,BC=4,则cot/BAE=

【解答】解：根据题意，AH'=48=5,4D=BC=4,BE=EB

：.DB'=3,CB'=2.

设8E=x,则EB'=x,CE=4-x.\/

根据勾股定理得*2=(4-x)2+22,I---------y―।

nEC

解得x=2.5.

：.cotZBAE=AB：BE=5：2.5=2.

4.如图，在直角坐标系中放入矩形纸片ABC。.将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为

B',折痕为CE,已知sinN。"C=|,CE=S反,则点E的坐标是_______.

【解答】解：在RtZXB'OC中，根据sin/08'C==1

BC5

设OC=3x,则BC=5x,

由勾股定理OB=40瞠+03=4x,C|3

根据矩形的性质可知BC=B'C=OA=5x,：.AB'=x,

由折叠的性质可证0cs△E48',|/

.03DCB<C4a取5%.A4r5B'A%

・・----=------=-----,E|J—=—=----,..AE-XtBE--x,

AEABiB(EARMRtR33

在RtAB'CE中,由勾股定理得

B'd+B'£2=CE2,即(5x)2+(-x)2=(5710)2.解得x=3,

A

4

：.OA=5x=\5A£-x=4,：.E(15,4).故本题答案为：(15,4).

f3

题型五：作图

1、如图，是由边长相等的小正方形组成的网格，点A,B,C均在格点上，连接BC.

8

(1)tanZABC的值等于

(2)在网格中，用无刻度直尺，画出NCBD,使tanNCBD=Z.

3

(2)如图所示，tanNCBD=Z

3

2、如图，射线0A放置在由小正方形组成的网络中，现请你分别在图①、图②中添画(工具只

能用直尺)射线OB,使tan/AOB的值分别为1、1.

二射线OB是所求作的图形；

如图②所示：二射线OB是所求作的图形:

4.问题呈现

如图1,在边长为1的正方形网格中，连接格点。，N和E,C,ON和EC相交于点P,求tan

9

NCPN的值.

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题

中NCPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接

格点M,N,可得MN〃EC,则NDNM=NCPN,连接。M,那么NCPN就变换到

中.

问题解决

（1）直接写出图1中tanNCPN的值为；

（2）如图2,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,求cos/CPN的值;

思维拓展

(3)如图3,AB1BC,AB=4BC,点/在AB上，且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,

【解答】解：(I)如图1中，

YEC//MN,

：,/CPN=NDNM,

,tanNCPN=tanNDNM,

•:/DMN=90°,

/.tanNCPN=timZDNM==2,

故答案为2.

(2)如图2中，取格点。，连接CO,DM.

*：CD//ANt

:・/CPN=NDCM,

是等腰直角三角形，

.*.ZDCA/=ZD=45°,

10

/.cosZCPN=cosZDCM=专.

'：PC//HN,

:・NCPN=/ANH,

•:AH=HN,NAHN=90",

:"ANH=/HAN=45°,

14CPN=45°.

知识点三（解直角三角形的应用形）

【知识梳理】

（1）坡角：坡面与水平面的夹角，用字母a表示。

图6-34

坡度（坡比）：坡面的铅直高度〃和水平宽度/的比，用字母，表示，贝h=1=tana

（2）俯角与仰角

铅一视线

垂

线仰角

水平线当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平

俯角线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角.

、视线（3）方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的

11

角叫做方向角。

【考点1］锐角三角函数的应用一一选择题型

【例1】（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作:

（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角NACE=a；

（2）量得测角仪的高度CO=a；

（3）量得测角仪到旗杆的水平距离。B=〃.

利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）

tanasincr

【分析】过C作于F,则四边形3FCO是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论.

［解析】过C作C/7,AB于F,则四边形BFCD是矩形，

：.BF=CD=a,CF=BD=h,

,/ZACF=a,

.AFAF

..ttana=—=—,

/.AB=AF+BF=a+htma,

故选：A.

12

~A

f°B

【变式1-1］（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放

置在与教学楼水平距离为186机的地面上，若测角仪的高度是1.5m.测得教学楼的顶部A处的

仰角为30°.则教学楼的高度是（）

A

CB

A.55.5mB.54mC.19.5mD.18m

【分析】根据三角函数和直角二角形的性质解答即可.

【解析】过。作。

•.•在。处测得教学楼的顶部A的仰角为30°,

AZADE=30°,

■:BC=DE=186m,

.,.AE=£>E«tan3（）°=18〃?，

：.AB=AE+BE^AE+CD=\S+\.5=\9.5m,

故选：C.

B

13

【考点2】锐角三角函数的应用一一填空题型

【例2】（2020•南通）如图，测角仪CO竖直放在距建筑物底部5根的位置，在。处测得建

筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5加，则建筑物的高度约为7.5m.（结

果保留小数点后一位，参考数据：sin50°^0.77,cos50°弋0.64,tan50°"1.19）

【分析】作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可.

【解析】如图，过点。作。45,垂足为点E,则DE=BC=5,DC=BE=1.5,

在RtAADE中，

VtanZADE=桨，

DE

：.AE=tanZADE'DE=tan5（）°X5^1.19X5=5.95（米）,

."B=AE+BE=5.95+L5"7.5（米），

故答案为：7.5.

【变式2.1］（2019•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°,测得

该建筑底部C处的俯角为17°.若无人机的飞行高度A。为62加，则该建筑的高度8。为_

262m.

（参考数据：sinl7°七0.29,cos!7°^0.96,tan17°-0.31）

14

【分析】作AEJ_BC于E,根据正切的定义求出AE,根据等腰直角三角形的性质求出BE,

结合图形计算即可.

【解析】作于E，

则四边形AOCE为矩形，

：.EC=AD=62,

在RtzMEC中，tanNE4C=空,

AE

则AE=―生偿=200,

tan^.EAC0.31

在中，NBAE=45°,

：.BE=AE=200,

ABC=200+62=262(m),

则该建筑的高度BC为262m,

故答案为：262.

B

DC

【变式2.2］（2019•宿迁）如图，ZMAN=60°,若△ABC的顶点8在射线4W上，且AB=2,

点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是M<BC<2M

15

【分析】当点C在射线4V上运动，△A8C的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角

形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的

值.

【解析】如图，过点8作垂足为G,BCiLAM,交AN于点

在RtaABG中，AB=2,ZA=60°,

N45cl=30°

：.ACy=^AB=\,由勾股定理得：BC\=M，

在RtZV!BC2中，48=2,ZA=60°

二ZAC2B=30°

...AC2=4,由勾股定理得：BC2=2百，

当△ABC是锐角三角形时，点。在GC2上移动，此时近<8。<2仃.

故答案为：^3<BC<2^3.

【考点3】锐角三角函数的应用一一解答题型

【例3】(202()•宿迁)如图，在一笔直的海岸线上有48两个观测站，A在B的正西方向，

AB=2km,从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站5测得船C在北偏西30°的

方向.求船C离观测站A的距离.

【分析】如图，过点C作CDLA8于点。，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在

两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可.

【解析】如图，过点C作COLA8于点D,

16

-2knPT

则NG4D=N4CD=45°,

：.AD^CD,

设AD=x,则4。=岳，

：.BD^AB-AD^2-x,

VZCBD=60°,

在RtAfiCD中，tanZCBD=段,

解得x=3-6.

经检验，x=3—b是原方程的根.

.".AC=42x=>f2（3-6）=（3近一份）kin.

答：船C离观测站A的距离为（3近一正）km.

【变式3-1］（2020•南京）如图，在港口4处的正东方向有两个相距6k”的观测点8、C.一

艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至。处，在5、。处分别测得NABO=45°、Z

C=37°.求轮船航行的距离AO.（参考数据：sin26°心0.44,cos26°^0.90,tan26°心

0.49,sin37°七0.6（）,cos37°^0.8（）,tan37°^0.75.）

【分析】过点。作于点”，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AQ.

17

【解析】如图，过点。作。Hd_AC于点H,

：.CH=DH

tan370

在RlADBH中，ZDBH=45°,

：.BH=DH

tcm45°

,:BC=CH-BH,

.DHDH,

••——-o,

tan?70tan450

解得。”-18加，

在RtZ\ZM”中，NADH=26°，

：.AD=DH^20km.

cos260

答：轮船航行的距离AD约为2（）km.

3：能力实践

一.选择题（共5小题）

1.（2020•宿迁模拟）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan/BAC等于（）

18

A.—B.—C.—D.—

7346

【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理可求出CF和AF的长度，然后根据锐角三角

函数的值即可求出答案.

【解析】设小正方形的边长为1,

过。作CELA8于尸，

由勾股定理得：AB=2yf5,AC=2近，BC=2,

由三角形面积公式得：ABXCF=BCXAE,

2yf5xCF=2X2,

解得：CF=等，

在RtZ\AEC中，由勾股定理得：4尸=等,

2.（2020•盐池县模拟）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CO是43边上的中线，AC=8,

BC=6,则NAC。的正切值是（）

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD,再根据等边对等角的

19

性质可得NA=NAC。，然后根据正切函数的定义列式求出NA的正切值，即为tanNACD的

值.

【解析】•「CO是A8边上的中线,

：.CD=AD,

：.ZA=ZACD,

VZACB=90°,BC=6,AC=8,

.,/.BC63

..tanZ/l=—=-=-)

...tanNACD的值二

4-

故选：D.

3.（2020•清江浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线。4过点（3,1）,则tana的值

【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案.

【解析】如图：过点A做x轴的垂线，交x轴于点8

VA（3,1）,

，OB=3,AB=1,

.*AB1

..tana=—=-

OB3

故选：C.

20

4.（2020•如皋市二模）如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A

的仰角为30°,沿C8方向前进12小到达。处，在。处测得建筑物顶端A的仰角为45°,

则建筑物的高度等于（）

A.12（V3+1）mB.12（V3-1）mC.6（＜3+1）mD.6（V3-1）m

【分析】利用所给的角的三角函数用43表示出B。，CB；根据BC-08=8即可求出建筑

物45的高度.

【解析】•.•在Rt^ABC中,NACB=30°,

•,.tanZACB=tan30°=能，

BC

,\=-^-=用AB,

BCtan30°

在RtzXABD中，tanNA£>8=tan45°=黑，

■:CD=BC-BD=AB（^3-1）=12,

.,.AB=6（-/3+1）m.

故选：C.

5.（2020•高新区一模）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监

船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达8处，

测得岛屿P在其北偏西3（）°方向，保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛

屿P之间的距离（即PC的长）为（）

21

A.40海里B.60海里C.40b海里D.20b海里

【分析】首先证明PB=BC,推出NC=30°,可得PC=2PA,求出尸4即可解决问题.

【解析】在RtaPAB中，"：ZAPB=3Q°,

；.PB=2AB,

由题意得BC=2AB,

：.PB=BC,

:.NC=NCPB,

VZABP=ZC+ZCPB=60°,

/.ZC=30°,

:.PC=2PA,

,.•PA=A8・tan60°,

.-.PC=2X20xV3=4073（海里），

故选：C.

二.填空题（共5小题）

6.（2020•惠山区校级一模）如图1,AB=EG=5,FG=1（）,4。=4,小红想用△EFG包裹矩

形ABCO,她包裹的方法如图2所示，则矩形ABCD未包裹住的面积为16.

【分析】利用相似三角形的判定，证明Rt△/HNsRtAF'EG,利用相似三角形的性质,

22

求得HN,利用三角形的面积公式得结果.

【解析】如图2,将矩形ABCD和RtAECF以AD为轴翻折,

.GBEBanIO-GE，5-4

•.,

GBfB/CfGBf4

解得:GBf=8,

：.S^B'cG=1*B，C'・B'G=|X4X8=16,

故答案是：16.

7.（2020•海门市一模）如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教

学楼的。处测得旗杆底端8的俯角为30°,测得旗杆顶端4的仰角为45°,若旗杆与教学

楼的距离为12%则旗杆AB的高度是（12+4、⑶m.（结果保留根号）

【分析】作于点C,根据题意可得，N4OC=45°,ZBOC=30°,OC=12,再根

据特殊角二角函数即可求出AC和BC的值，进而可得AB的值.

【解析】如图，作OCLAB于点C,

AZACO=ZBCO=90°,

23

根据题意可知：

NAOC=45°,ZBOC=30°,OC=\2,

.*.AC=OC=12,

.•.8C=OC・tan3()。=12x苧=4仁

：.AB^AC+BC=12+473（僧）.

所以旗杆AB的高度是（12+4近）m.

故答案为：（12+4、行）.

8.（2020•徐州模拟）2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度

提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门

8的顶部C的俯角为35°,底部。的俯角为45°,如果A处离地面的高度45=2（）米，求

起点拱门的高度6m.（结果精确到1米；参考数据：sin35°^0.57,cos35°七

【分析】作于£根据矩形的性质得到CE=O8=20,CD=BE,根据正切的定义求

出AE,结合图形计算即可.

【解析】作CELA8于E,

24

则四边形CD8E为矩形，

：.CE=DB,CD=BE,

在RtZ\A£>8中，ZADB=45°,

：.AB=DB=20,

：.CE=20,

在RtAACE中，tanNACE="，

CE

:.AE=CE・tanZACE^20X0.70=14,

：.CD=BE=AB-AE=6m,

故答案为：6.

9.(202()•张家港市模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=\2,。为AC边的中点，线段

8。的垂直平分线分别与边BC,AB交于点E,F,连接。F,EF.设8E=x,tan/ACB=

y.给出以下结论：@DF//BC-,②ABOE的面积为③△《£)£的周长为12+x；©x2-

丁=9；⑤2x-y2=9.其中正确结论有②⑤(把你认为正确结论的序号都填上).

25

【分析】过A作于。，过。作于M,连接DE,根据线段垂直平分线求出

DE=BE=x,根据等腰三角形求出8。=。。=6,求出CM=QW=3,解直角三角形求出EM

=3y,AQ=6y,在中，根据勾股定理求出即可.由此可以判断②⑤正确.

【解析】过A作AQLBC于Q,过。作。于M,连接DE,

YBD的垂直平分线交BC于E,BDEx,

**•BE=DE=x,

9

：AB=AC9BC=12,tanZACB=yf

：.—=—=y,BQ=CQ=6,

MCCO

：.AQ=6y,

\'AQ±BC,EMIBC,

：.AQ//EM,

•.•。为AC中点，

26

.•.CM=QM=；CQ=3,

：.EM=3y,

•*.SAEBD=^'BE*DM=|xy,故②正确，

：.EM=12-3-x=9-x,

在RtZ\E£>M中，由勾股定理得：/=(3y)2+(9-尤)2,

即2r-V=9,故⑤正确.

不妨设①成立，则可以推出BO平分NA8C,推出△ABC是等边三角形，这个显然不可能，

故①不成立.

不妨设③成立，则推出CD=8E=OE=x,推出这个显然不可能，故③错误，

不妨设④成立，则由⑤可知f=2x,推出x=2,这个显然不可能，故④错误，

故答案为②⑤.

三.解答题(共10小题)

10.(2020•盐城)如图，在△ABC中，ZC=90°,tan4=y,NABC的平分线交AC于点

D,CD=y[3,求A3的长？

【分析】根据/C=90°,tanA=j,可求出NA=30°,NABC=60°,再根据8。是NABC

的平分线，求出NC8O=N4BO=3()。，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可.

【解析】在RtZXABC中,ZC=90",tanA=y,

.*.NA=3()°,

：.ZABC=60°,

•.•8。是NABC的平分线，

：.ZCBD=ZABD=30°,

又，：CD=a,

27

在RtZXABC中，ZC=90°,ZA=3()°,

答：AB的长为6.

11.（2020•淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C,测得NC4B=30°,

NABC=45°,AC=8千米，求A、B两点间的距离.（参考数据：72»1.4,用出1.7,结

果精确到1千米）.

【分析】过点C作COLA8于点。，在Rt^ACO中，通过解直角三角形可求出A£）,CO的

长，在RtZiBCE）中，由NBOC=90°,NCBD=45°可得出5。=。。，再结合A8=A£>+8。

即可求出A、B两点间的距离.

【解析】过点C作于点D,如图所示.

在RtZLACD中，47=8（千米），ZCAD=30°,NCD4=90°,

：.CD=AC^inZCAD=4（千米），AO=AC・cosNG4O=4百（千米）-6.8（千米）.

在RtZ\BCD中，0）=4（千米），NBDC=90°,NCBD=45°,

：.ZBCD=45°,

：.BD=CD=4（千米），

：.AB=AD+BD=6.8+4^\\（千米）.

答：A、B两点间的距离约为11千米.

12.（2019•南京）如图，山顶有一塔AB,塔高33加.计划在塔的正下方沿直线C。开通穿山隧

道EF.从与E点相距80机的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°,从与尸点相距5（加

28

的。处测得4的仰角为45°.求隧道ER的长度.

（参考数据：tan22°~0.40,tan27°心0.51.）

【分析】延长A8交CO于“，利用正切的定义用C”表示出A"、BH,根据题意列式求出

CH,计算即可.

【解析】延长交CO于”，

则

在中，ZD=45°,

：.AH=DH,

在中，tanNAC〃=黑，

Ln

:.AH=CH•tanZACH^Q.5\CH,

在RtZ\8〃C中，tan/BCH=空,

Cn

：.BH=CH*lanZBCH^QACH,

由题意得，0.51C//-0.4CH=33,

解得，C//=300,

EH=CH-CE=220,BH=120,

：.AH=AB+BH=\53,

：.DH=AH=\53,

：.HF=DH-DF=103,

:.EF=EH+FH=323,

答：隧道EF的长度为323加.

29

13.（2020•鼓楼区校级模拟）如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE=4米，

坡角NDEB=41°,小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为60°,在斜坡上的点。处

测得楼顶A的仰角为45°,其中点3,C,E在同一直线上求大楼AC的高度.（结果精确到

整数.参考数据:6出1.73,sin41°-06cos41°=0.75,tan41°一0.87）

【分析】设CE=x,根据正弦的定义求出6D,根据余弦的定义求出BE,根据正切的定义用

x表示出AC,根据等腰直角三角形的性质列方程，解方程得到答案.

【解析】作。尸L4C于F，

设CE=x,

在RtaDEB中，sinNOEB=空，

DE

ADB=DE-sinZZ）£5^4X（）.6=2.4,

cosNDEB=煞，

DE

：.BE=DE・cos/DEB-4X0.75=3,

在Rt^AEC中，tanNAEC=些，

CE

.\AC=CE9tanZAEC=Mx,

VZADF=45°,

：・FA=FD,

-2.4=x+3,

解得，x=27哈+D,

.\AC=>/3x^\3r

答：大楼AC的高度约为13米.

30

AA

CEB

14.(202()•徐州模拟)某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树OE的高度，他们在

这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端。的仰角为30°,朝着这棵树的方向走

到台阶下的点C处测得树顶端。的仰角为60°,已知A点的高度A8为2米，台阶AC的坡

度i=l：2,且8,C,E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树OE的高度.(测倾

器的高度忽略不计，结果保留根号)

D

BCE

【分析睛先表示出”的长，进而得出的长，再表示出CE=£X+2),利用仍=BC+CE

求出答案.

(解析］过点A作AF±DE,设DF=x,