吉林省长春市长春经济技术开发区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

长春经开区2021－2022学年度第二学期期末质量监测八年级数学试卷本试卷包括四道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为90分钟一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列各式中，是分式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分式的定义，对选项一一分析即可．【详解】解：A、分母是，不含字母，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；B、分母是，不含字母，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；C、分母是，不含字母，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；D、分母是，含有字母，是分式，故该选项符合题意．故选：D【点睛】本题考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含有字母，也可以不含字母，理解定义是解本题的关键．2.平行四边形一定具有的性质是（）A.邻边垂直 B.对边相等 C.对角互补 D.邻角相等【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可求解．【详解】解：平行四边形的对边相等，邻角互补，对角相等，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．3.在最近的数学周测中，小华次测试的分数为：、、、、、、、．这次成绩的中位数是（）A.分 B.分 C.分 D.分【答案】C【解析】【分析】根据中位数的定义：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数叫做中位数，计算即可得出答案．【详解】解：将小华次测试的分数从小到大排列为：、、、、、、、，∴小华次成绩的中位数为：（分）．故选：C【点睛】本题考查了中位数，解本题的关键在熟练掌握中位数的定义．4.如图，将矩形纸片沿折叠，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质，得出，再根据两直线平行，同位角相等，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，又∵矩形纸片沿折叠，∴，又∵，∴．故选：A【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质．5.已知正比例函数，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【详解】解：∵函数y=（k-3）x，y随x的增大而减小，∴k-3＜0，解得k＜3．故选：B．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．二、多项选择题（每小题3分，共9分）6.有一组数据，其中，，，，，，若去掉，会对哪些数据产生影响？（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】ABD【解析】【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法计算后，再对数据在去掉前后进行对比，即可得出答案．【详解】解：∵去掉之前，这组数据的平均数为，去掉之后，这组数据的平均数为，∴去掉，会对平均数产生影响；∵去掉之前，把数据按从小到大的顺序排列：，这组数据的中位数为，去掉之前，把数据按从小到大的顺序排列：，这组数据的中位数为，∴去掉，会对中位数产生影响；∵去掉之前，这组数据的众数为，去掉之后，这组数据的众数为，∴去掉，对众数不会产生影响；∵去掉之前，这组数据的方差为，去掉之后，这组数据的方差为，∴去掉，会对方差产生影响；综上可得：去掉，会对平均数、中位数、方差影响．故选：ABD【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，解本题的关键在熟练掌握相关的计算方法．7.在下列图形中，属于中心对称图形的有（）A.菱形 B.梯形 C.矩形 D.等边三角形【答案】AC【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．【详解】解：A、菱形属于中心对称图形，故该选项正确，符合题意；B、梯形不属于中心对称图形，故该选项错误，不符合题意；C、矩形属于中心对称图形，故该选项正确，符合题意；D、等边三角形不属于中心对称图形，故该选项错误，不符合题意．故选：AC【点睛】本题考查了中心对称图形，解本题的关键在熟练掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．8.在平面直角坐标系中，将直线平移后，所得新直线与坐标轴的交点与原点构成一个三角形，若这个三角形的面积为，则平移的方式可能是（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向上平移个单位 D.向下平移个单位【答案】AD【解析】【分析】根据一次函数的平移口诀：上加下减、左加右减，得出平移后的新函数，再求出新函数与坐标轴的交点，再结合三角形的面积公式，对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、将直线向左平移个单位，可得：，即，∴新直线与轴的交点为，与轴的交点为，∴新直线与坐标轴的交点与原点构成的三角形的面积为，∴该三角形的面积与题意相符，故该项正确；B、将直线向右平移个单位，可得：，即，∴新直线与轴的交点为，与轴的交点为，∴新直线与坐标轴的交点与原点构成的三角形的面积为，∴该三角形的面积与题意不相符，故该项不正确；C、将直线向上平移个单位，可得：，即，∴新直线与轴的交点为，与轴的交点为，∴新直线与坐标轴的交点与原点构成的三角形的面积为，∴该三角形面积与题意不相符，故该项不正确；D、将直线向下平移个单位，可得：，即，∴新直线与轴的交点为，与轴的交点为，∴新直线与坐标轴的交点与原点构成的三角形的面积为，∴该三角形的面积与题意相符，故该项正确；综上可得：选项A、D正确，符合题意．故选：AD【点睛】本题考查了一次函数的平移、一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积，解本题的关键在熟练掌握一次函数的平移方法．三、填空题（每小题3分，共18分）9.若式子有意义，则x______．【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件，解答即可．【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：【点睛】本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．10.若直线不经过第一象限，则______（填“”、“”、“”）【答案】【解析】【分析】利用函数图象与系数的关系，得出，，即可求解．【详解】解：∵直线不经过第一象限，则经过第二、三、四象限或经过第三、四象限，∴，，∴．故答案为：【点睛】本题考查了函数图象，解本题的关键在熟练掌握一次函数图象与系数的关系．对一次函数，当，时，图象经过一、二、三象限；当，时，图象经过一、三、四象限；当，时，图象经过一、二、四象限；当，时，图象经过二、三、四象限．本题易错在忽略考虑a=0的情况.11.若n个数的平均数是，则这n个数的总和为______．【答案】【解析】【分析】根据数据总和平均数数据的个数，即可求解．【详解】解：若n个数的平均数是，则这n个数的总和为；故答案为：．【点睛】此题考查了平均数，关键是要掌握平均数的计算方法．12.如图，在中，、交于点O．交于点E．若的周长为30．则的周长为______．【答案】15【解析】【分析】先判断出是的垂直平分线，得出，从而可得出的周长，再由的周长为30，即可得出答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵的周长为30，∴，∵，∴是线段的垂直平分线，∴，∴的周长，故答案为：15．【点睛】此题考查了平行四边形的性质及线段的垂直平分线的性质，解答本题的关键是判断出是线段的垂直平分线．13.如图，在菱形中，，垂足为点．与交于点，连接．若，则的大小为______．【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质，得出，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据菱形的性质，得出，再根据垂线的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，进而即可得出结果．【详解】解：∵四边形菱形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，即．故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．14.如图，平面直角坐标系中，点为函数（）图象上一点，点为函数（）图象上一点，直线轴．若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据反比例函数系数的几何意义，得出，再根据面积间的关系，得出，再根据反比例函数系数的几何意义，即可得出的值．【详解】解：如图，令直线与轴的交点为点，∵点为函数（）图象上一点，∴，∵，∴，∵点在函数（）在第二象限的图象上，∴，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据面积间的关系得出是解本题的关键．四、解答题（本大题10小题，共78分）15.化简：【答案】【解析】【分析】将分式除法变为乘法，约分计算即可；【详解】解：【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．16.求一组数据1，1，2，4的方差．【答案】1.5【解析】【分析】先求得这组数据平均值，再根据方差公式，计算即可.【详解】解：平均数为，∴方差，即该组数据的方差为：1.5．【点睛】此题主要考查方差的计算和平均数的计算，熟记方差和平均数的计算公式是解题的关键．17.某水果店搞促销，对某种水果打8折出售，若用90元钱去买这种水果，可以比打折前多买3斤，求该种水果打折前的单价．【答案】该种水果打折前的单价为元【解析】【分析】根据钱数一定，用钱数除以单价等于数量，再根据打折前后购买的数量关系，可列出分式方程，解出并检验，即可得出答案．【详解】解：设水果打折前单价为元，打折出售，则售价为元/斤，∵用90元钱去买这种水果，可以比打折前多买3斤，∴可得：，解得：，经检验，是原方程的解，∴该种水果打折前的单价为元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解本题的关键是要找到等量关系．18.如图，以的边、为边，作等边和等边，连接，．求证：四边形是平行四边形．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质，得出，，，再根据等边三角形的性质，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据平行四边形的判定定理，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵和是等边三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．19.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力阻力臂动力动力臂．榕榕欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是（单位：N）和（单位：m）．（1）求动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数关系式．（2）若，求此时需要的动力的大小．【答案】（1）（2）若，此时需要N的动力【解析】【分析】（1）根据阻力乘以阻力臂等于动力乘以动力臂，进而得到结果；（2）根据（1）中的解析式，代入值，求出值即可．【小问1详解】解：根据题意，可得：∴动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数关系式为：；【小问2详解】解：由（1）可得：，当时，（N），∴若，此时需要N的动力．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意列出函数解析式是解本题的关键．20.如图，在中，，，点D是边的中点，连结．作，，与相交于点E．（1）求证：四边形是矩形．（2）四边形的面积为______．【答案】（1）见解析（2）18【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定和矩形的判定定理推知四边形是矩形．（2）易得四边形是梯形，由等腰三角形的性质求得的长度，在中，由勾股定理可以求得的长度，即可得出结果．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，在中，∵，点D是边的中点，∴，∴，∴四边形是矩形．【小问2详解】∵，∴四边形是梯形，∵，点D是边的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，∴在中，，∴梯形的面积为：，故答案为:18．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理，利用等腰三角形“三线合一”是解题的关键．21.彤彤参加某实验室遴选测试，她在专业知识笔试、现场答辩、实验操作三个方面成绩分别为：85分，80分，90分．（1）求彤彤三方面测试的平均成绩．（2）由于实验室更看重实验操作能力，所以评委决定对三方面测试依次按照2：3：5的比确定最终成绩，求彤彤的最终成绩．【答案】（1）彤彤三方面测试平均成绩为分（2）彤彤的最终成绩为分【解析】【分析】（1）根据题意，结合平均数的公式，计算即可；（2）把2、3、5分别看作85分、80分、90分的权，按加权平均数的计算公式计算即可．【小问1详解】解：∵彤彤在专业知识笔试、现场答辩、实验操作三个方面的成绩分别为：85分，80分，90分，∴彤彤三方面测试的平均成绩为：（分）．【小问2详解】解：∵三方面测试依次按照2：3：5的比确定最终成绩，∴彤彤的最终成绩为：（分）．【点睛】本题考查了平均数和加权平均数，解本题的关键在熟练掌握平均数和加权平均数的计算公式．平均数是指在一组数据中，所有数的和再除以这些数的个数所得出的结果．即把个数的总和除以，所得的商叫作这个数的平均数；加权平均数公式：（其中、、…叫做权）．22.【感知】如图①，点F是正方形的边上一点，点E是延长线上一点，且．易证，进而证得．【应用】（1）如图②，在正方形中，点F、G分别在边、上，且．求证：．【拓展】（2）如图③，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且．若，，则四边形的周长为______．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）如图②中，过点C作交延长线于点H．先证明，再证明，得到，由此即可证明．（2）如图③中，过点C作交延长线于点P．先证明，再证明，得到，由此即可计算四边形的周长．【详解】（1）证明：如图②中，C作交延长线于点H．∵四边形为正方形，∴．∴．∵，∴．∴．在和中，∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．（2）如图③中，过点C作交延长线于点P．∵，，∴∴,∵∴，∵，∴．∵,∴．在和中，，∴．∴．∵，，∴．在和中，，∴．∴．∵，∴．∴四边形的周长为，故答案为：．【点睛】本题考查四边形的综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会由感知部分得到启发，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23.如图，在菱形中，．动点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动；在点P出发的同时，动点Q从点B出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒．作交于点E，作交于点F，与交于点M．点P运动的时间为t秒．（1）菱形的周长为______．（2）当时，求的长．（3）设四边形的周长为y，求y与t之间的函数关系式．（4）当点M落在菱形的对角线上时，直接写出t值．【答案】（1）24（2）2（3）（4）2或4【解析】【分析】（1）根据菱形四条边长度相等即可求解；（2）先证四边形是平行四边形，推出．再根据速度、时间、路程的关系求出即可；（3）先证四边形是平行四边形，再分和两种情况讨论即可；（4）时，动点Q沿运动，点M可能落在对角线上；当时，动点Q沿运动，点M可能落在对角线上．画出大致图形，利用平行线分线段成比例定理的推论即可求解．【小问1详解】解：菱形中，，菱形的周长为；【小问2详解】解：四边形是菱形，，又，四边形是平行四边形，．当时，，．即当时，的长是2；【小问3详解】解：，，，四边形是平行四边形．根据动点P和动点Q速度和运动方向可知：当时，动点Q沿运动，，，四边形的周长；当时，动点Q沿运动，，，四边形的周长；综上，y与t之间的函数关系式为；【小问4详解】解：当时，动点Q沿运动，，，，，当动点M落在菱形的对角线上时，如图所示：在中，，，即，解得；当时，动点Q沿运动，，，，，当动点M落在菱形的对角线上时，如图所示：在中，，，即，解得；综上可知，当点M落在菱形的对角线上时，t的值为2或4．【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理的推论等知识点，解题的关键是注意不同时间段内动点Q的运动方向不同．24.在平面直角坐标系中，函数的图象是直线．（1