高考数学总复习《导数-利用导数解决恒成立与存在性问题》专项练习题（附答案）

第第页高考数学总复习《导数-利用导数解决恒成立与存在性问题》专项练习题（附答案）常见考点考点一恒成立问题典例1．已知函数（e是自然对数的底数）曲线在点处的切线为。(1)求ab的值(2)若不等式在上恒成立求正实数m的取值范围。【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求导由切线为可得运算即得解（2）参变分离可得令求导分析单调性可得的最小值为分析即得解(1)可得因为曲线在点处的切线为。所以解得。(2)由（1）知∵不等式在上恒成立∴在上恒成立即在上恒成立。令∵当时解得。∴当时为减函数当时为增函数∴的最小值为∴∴正实数m的取值范围为。变式1-1．已知函数．(1)证明：直线都不是曲线的切线(2)若使恒成立求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）求出的导数设出切点可得切线的斜率根据斜率相等进而构造函数求出导数和单调区间即可证明（2）由使恒成立转化为再利用导数法求出在的最大值即可求解。(1)由题意可知的定义域为由得直线过定点若直线与曲线相切于点则即设则所以在上单调递增又从而当且仅当时成立这与矛盾。所以直线都不是曲线的切线。(2)由得若使恒成立转化为即可。令则令则所以所以在上是单调递减所以故在上是单调递减当时取得最大值为即。所以实数的取值范围为【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率再根据同一切线斜率相等即可证明对于恒成立问题通常采用分离常数法进而转化为求函数的最值问题利用导数法即可求解。变式1-2．已知函数。(1)当时求函数的单调区间(2)若恒成立求实数a的值。【答案】(1)递减区间为递增区间为(2)。【解析】【分析】（1）当时求得令得到且即可求得函数的单调区间（2）求得设当时不满足题意当时得到单调递增设有唯一的零点使得结合函数单调性得到再令结合单调性求得即可求解。(1)解：当时函数其定义域为可得令可得单调递增又由当时可得单调递减当时可得单调递增所以的递减区间为递增区间为。(2)解：由可得设当时可得单调递增当时不满足题意当时由单调递增设有唯一的零点即当时可得单调递减当时可得单调递增所以因为可得当且仅当时等号成立所以所以因为恒成立即恒成立令可得当时单调递增当时单调递减所以即又由恒成立即所以。变式1-3．已知函数（）恰有两个极值点且．(1)求实数的取值范围(2)若不等式恒成立求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）对求导后分析其导数的零点（2）将代入后消去然后为不等式恒成立问题换元后分类讨论最值(1)∵依题意得为方程的两不等正实数根∴令当时当时∴在上单调递增在上单调递减且当时∴解得故实数的取值范围是(2)由（1）得两式相减得∵令∴即令则需满足在上恒成立∵令则（）①当时∴在上单调递减∴∴在上单调递增∴符合题意②当时∴在上单调递增∴∴在上单调递减∴不符合题意③当时∴在上单调递增∴∴在上单调递减∴不符合题意综上所述实数的取值范围是。考点二存在性问题典例2．已知函数。(1)讨论函数的单调性(2)若存在使得成立求实数a的取值范围。【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求得对进行分类讨论由此求得的单调区间。（2）根据（1）的结论对进行分类讨论由结合构造函数法以及导数来求得的取值范围。(1)已知函数定义域为①当时x+0-0+递增极大值递减极小值递增在上单调递增在上单调递减②当时函数在单调递增③当时x+0-0+递增极大值递减极小值递增在上单调递增在上单调递减。综上所述时在上单调递增在上单调递减时在单调递增时在上单调递增在上单调递减。(2)若存在使得成立即使得。由（1）可知当时在上单调递增不满足当时x-0+递减极小值递增所以即令∴∴在上单调递减又∵由得。综上实数a的取值范围为。变式2-1．已知函数．(1)判断函数的单调性(2)已知若存在时使不等式成立求的取值范围．【答案】(1)函数在区间上单调递减(2)。【解析】【分析】(1)求出函数的导数判断的符号作答。(2)对给定不等式作等价变形借助(1)脱去法则“f”分离参数构造函数再求出函数最值作答。(1)函数求导得：令则即函数在区间单调递减而则当时即所以函数在区间上单调递减。(2)当时因且则由(1)知在单调递减则存在不等式成立令则当时当时因此函数在上单调递增在上单调递减于是得所以的取值范围是。【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题将给定不等式等价转化构造函数再利用函数的导数探讨解决问题。变式2-2．已知函数．(1)当时求的单调区间(2)若存在使得成立求实数的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为单调递增区间为(2)。【解析】【分析】（1）当时得出的定义域并对进行求导利用导数研究函数的单调性即可得出的单调区间（2）将题意等价于在内有解设即在上函数对进行求导令得出分类讨论与区间的关系并利用导数研究函数的单调和最小值结合从而得出实数的取值范围。(1)解：当时可知的定义域为则可知当时当时所以的单调递减区间为单调递增区间为。(2)解：由题可知存在使得成立等价于在内有解可设即在上函数令即解得：或（舍去）当即时在上单调递减得又所以当时即时在上单调递增得不合题意当即时则在上单调递减在上单调递增即不符合题意综上得实数的取值范围为。【点睛】思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性以及利用导数解决不等式成立的综合问题：（1）利用导数解决单调区间问题应先确定函数的定义域否则写出的单调区间易出错利用导数解决含有参数的单调性问题要注意分类讨论和化归思想的应用（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数利用导数研究的单调区间和最值再进行相应证明。变式2-3．已知函数(1)若求函数的极值(2)设函数求函数的单调区间(3)若存在使得成立求a的取值范围．【答案】(1)极小值为无极大值(2)单调递增区间为单调递减区间为。(3)【解析】【分析】（1）研究的单调区间进而求出的极值（2）先求再解不等式与求出单调区间注意题干中的的条件（3）先把题干中的问题转化为在上有再结合第二问研究的的单调区间对a进行分类讨论求出不同范围下的求出最后结果(1)当时定义域为令得：当时单调递增当时单调递减故是函数的极小值点的极小值为无极大值(2)定义域为因为所以令得：令得：所以在单调递增在单调递减。综上：单调递增区间为单调递减区间为。(3)存在使得成立等价于存在使得即在上有由（2）知单调递增区间为单调递减区间为所以当即时在上单调递减故在处取得最小值由得：因为故。当即时由（2）知：在上单调递减在上单调递增在上的最小值为令因为所以则即不满足题意舍去综上所述：a的取值范围为【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性极(最)值问题处理．巩固练习练习一恒成立问题1．已知函数。(1)求在处的切线方程(2)当时不等式恒成立求实数的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可（2）分离变量可得利用导数可求得由此可得的取值范围。(1)又在处的切线方程为(2)当时由得：令则令则当时在上单调递增在上单调递增即实数的取值范围为。【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义利用导数解决函数中的恒成立问题解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间关系即由得由得。2．已知函数．(1)当时讨论的单调性(2)当时恒成立求实数a的取值范围．【答案】(1)在上单调递增在上单调递减(2)【解析】【分析】（1）直接求导先确定导数的单调性及零点即可确定的单调性（2）当时当时参变分离得构造函数求导得再构造函数确定单调性后即可求出实数a的取值范围．(1)当时易得在上递增又故当时单调递增故当时单调递减所以在上单调递增在上单调递减(2)当时不等式恒成立可得当时由恒成立可得恒成立设则可设可得设由可得恒成立可得在递增即在递增所以即恒成立即在递增所以再令可得当时在上递增当时在递减所以所以综上可得。【点睛】本题关键点在于参变分离构造函数求导后通过因式分解将导数变为再把分子的因式构造成函数确定后即得的正负进而求解。3．已知函数。(1)若在上是减函数求实数的取值范围(2)当时若对任意的不等式恒成立求实数的取值范围。【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出导函数得到即可求出的取值范围（2）把题意转化为分类讨论：当时求出当时转化为令利用导数求出即可求出实数的取值范围。(1)因为所以令得则的单调递减区间为因为在上是减函数所以即故的取值范围是(2)由题知：则即当时恒成立则当时令则则当时递减当时递增故则综上所述实数的取值范围是．4．已知函数(1)当时求曲线在点（0f（0））处的切线方程(2)当且时]恒成立求b的取值范围。【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出然后算出即可（2）由条件可得恒成立构造函数则原不等式等价于在上恒成立然后可证明然后得在上单调递增然后即可求解。(1)当时则又因为所以曲线在点（0f（0））处的切线方程为。(2)恒成立即恒成立。等价于恒成立。构造函数则在上恒成立等价于在上恒成立。因为所以令函数则显然是增函数则在上单调递增所以故从而可得在上单调递增所以当时恒成立。所以所以即b的取值范围是[-1+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形构造出函数属于函数的同构类型解答的关键是观察不等式的特点变成同一函数在两个变量处的取值。练习二存在性问题5．己知函数。(1)当时求的单调区间。(2)存在使得成立求整数的最小值。【答案】(1)增区间为无单减区间(2)【解析】【分析】（1）利用导数与函数的单调性之间的关系可求得结果（2）由题意可知存在使得构造函数其中利用导数分析函数的单调性求出的取值范围可求得整数的最小值。(1)解：当时该函数的定义域为则当且仅当时等号成立故函数的增区间为无单减区间。(2)解：存在使得成立即令其中则令则令对任意的恒成立故函数在上为增函数则即对任意的恒成立则函数为增函数。因为所以存在使得当时此时函数单调递减当时此时函数单调递增所以设则令则对任意的恒成立故函数在上为增函数则即对任意的恒成立故函数在为增函数故即即因为为整数所以整数的最小值为。【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立可根据以下原则进行求解：（1）（2）（3）（4）。6．已知函数(1)讨论函数的单调性(2)证明：存在使得不等式有解（e是自然对数的底）。【答案】(1)讨论见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)对原函数求导后利用判别式对进行分类讨论即可(2)理解“有解”的含义构造函数将原不等式转化为求函数的最大值。(1)的定义域为R①当时有两个不等实数根为：时单调递增时单调递减时单调递增②当时所以在上单调递增(2)不等式等价于所以只需证的最大值大于1因为又所以时等号成立所以设函数单调递增单调递减因为所以存在使不等式有解。【点睛】对于第二问使用函数的缩放法是核心对原函数由于的不确定性使得求其最大值很困难“化繁为简”“化难为易”的数学思想就显得特别重要通过本题的计算应该能够体会到这种数学思想在以后的数学计算中遇到很复杂的计算应该首先考虑这种数学思想。7．已知函数。(1)当时证明函数在区间上只有一个零点(2)若存在使不等式成立求的取值范围。【答案】(1)证明见解析(2)或【解析】【分析】（1）首先求得导函数的解析式然后讨论函数的单调性结合函数的性质即可确定函数零点的