2023-2024学年福建省福州一中高一（下）第三次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州一中高一（下）第三次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设向量a与b的夹角为θ，且a=(−2,1),a+2b=(2,3)A.−35 B.35 C.2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个长为3宽为2的矩形，则该平面图形的面积为(

)A.322

B.32

3.已知直线a、b和平面α、β，则下列说法正确的是(

)A.若a/​/α，b/​/α，a⊂β，b⊂β，则α/​/β

B.若a/​/α，b/​/β，α/​/β，则a/​/b

C.若a/​/α，b/​/β，a/​/b，则α/​/β

D.若a/​/α，a/​/β，α∩β=b，则a/​/b4.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵ABC−A′B′C′中，AB⊥AC，AB=1，AC=2，BB′=3，则此堑堵的外接球半径是(

)A.23 B.3 C.5.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45°，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为θ.则sinθ=(

)A.12 B.3 C.−2 D.6.在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=32，AD=3，sin∠ABC=A.922 B.15227.已知圆台上下底面的圆心分别为O1，O2，母线AB=3(点B位于上底面)，且满足AO2=2BO1，圆O2的周长为2π，一只蚂蚁从点AA.3132 B.33 8.在△ABC中，AB=AC，若点O为△ABC的垂心，且满足AO=14AB+xACA.12 B.13 C.14二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，下列条件中可以判定△ABC一定为等腰三角形的有(

)A.acosA=bcosB B.acosB=bcosA C.bsinB=csinC D.a=2bcosC10.已知三棱台ABC−A′B′C′，上下底面边长之比为1：2，棱AB、BC、AC的中点为点M、P、N，则下列结论错误的有(

)A.A′N//PC′

B.A′P与AC为异面直线

C.AB/​/面A′C′P

D.面A′MN//面BCC′B′11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b=1，1−2acsinA=a2+cA.1+atanB=0 B.sinC+cos2B=0

C.c+2a>2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且四边形ABCD是边长为10的正方形，则这个八面体的体积是______．

13.在梯形ABCD中，AB/​/CD，∠DAB=90°，AB=2，CD=AD=1，若点M在线段BD上，则AM⋅CM的最小值为______．14.已知e1、e2为单位向量，且|e1−e2|=1，若向量四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(4,6)，C(0,3)．

(1)若(AB+tAC)⊥(AB−tAC)，求t的值；

(2)记AB16.(本小题15分)

如图，四边形ABCD中，AD⊥AB，∠ADC=120°，AB=23，AD=1，CD=2，

(1)求将四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的体积；

(2)求将四边形ABCD绕直线AB旋转一周所成几何体的表面积．17.(本小题15分)

正六棱柱ABCDEF−A′B′C′D′E′F′，两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，高为4，记C′D、E′F、AA′的中点分别为P、Q、M．

(1)要经过点M和对角线F′C′将六棱柱锯开，请说明在六棱柱表面该怎样划线，并求截面面积；

(2)证明：PQ/​/平面ABCDEF；

(3)直线AB上是否存在一个点N，使得平面D′QN//平面BPF？若存在，求出BN的长度；若不存在，请说明理由．18.(本小题17分)

已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，3csinB+bcosC=a+c，

(1)求角B；

(2)若点D在边AB上，BD=2，AC=23，且DA=DC，求19.(本小题17分)

在△ABC中，D、E为边BC上两点，且满足∠BAD=∠CAE，BD=1，DE=5，EC=3，

(1)求证：ABAC=sin∠ADB3sin∠AEC；

(2)求证：ABAC为定值；

参考答案1.A

2.D

3.D

4.C

5.A

6.C

7.A

8.B

9.BCD

10.AC

11.ABD

12.100013.−914.315.解：(1)由题意可知AB=(3,4),AC=(−1,1)，

又(AB+tAC)⊥(AB−tAC)，

所以(AB16.解：(1)作CE⊥AD，CF⊥AB，E，F为垂足，

因为∠ADC=120°，所以∠EDC=60°，

因为CD=2，所以DE=1，CE=3，

所以AF=CE=3，

又AB=23，AD=1，所以CF=AE=AD+DE=2，

BF=AB−AF=23−3=3，

由勾股定理得CB=CF2+BF2=7，

由四边形ABCE绕直线AD旋转一周形成圆台，

且V圆台=13×2×(3π+12π+6π)=14π，

由三角形CDE绕直线AD旋转一周形成圆锥，

且V圆锥=13×1×3π=π，

所以将四边形ABCD绕直线AD17.解：(1)取BB′的中点M′，连接MM′，MF′，M′C′，

由于C′F′//A′B′，又C′F′⊄平面ABB′A′，A′B′⊂平面ABB′A′，

所以C′F′//平面ABB′A′，

因为C′F′⊂平面MC′F′，平面ABB′A′∩平面MC′F′=MM′，

所以MM′//C′F′，则四边形MM′C′F′即为所求截面，

因为C′F′=4，所以MM′=2，MF′=4+4=22，

等腰梯形MM′C′F′的高为8−1=7，所以截面面积为12×(2+4)×7=37；

(2)证明：取CD、EF的中点P′、Q′，连接PP′，QQ′，P′Q′，

因为P，P′分别为C′D，CD的中点，所以PP′//CC′，PP′=12CC′，

同理QQ′//EE′，QQ′=12EE′，

因为正六棱柱中CC′//EE′，CC′=EE′，

所以PP′//QQ′，PP′=QQ′，

所以四边形PP′Q′Q为平行四边形，

则PQ//P′Q′，又PQ⊄平面ABCDEF，P′Q′⊂平面ABCDEF，

所以PQ/​/平面ABCDEF；

(3)不存在这样的点N，使得平面D′QN//平面BPF，

在正六棱柱中，CF//DE//D′E′，所以CFE′D′为梯形，

连接D′Q延长交CF的延长线于点H，

由于CF//D′E′，且Q为FE′的中点，则△HFQ≌△D′E′Q，

所以HF=D′E′=2，因为CPPD′=1,CFHF=18.解：(1)由3csinB+bcosC=a+c，根据正弦定理得3sinCsinB+sinBcosC=sinA+sinC，

因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，所以3sinCsinB+sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+sinC，

因为sinC≠0，所以3sinB=cosB+1⇒sin(B−π6)=12，

因为B∈(0,π)，所以B−π6∈(−π6,5π6)，可得B−π6=π6，即B=π3；

(2)由题意DA=DC，所以设∠DCA=θ,θ∈(0,π2)，

则∠DAC=θ,∠BDC=2θ,∠BCD=2π3−2θ,∠ADC=π−2θ，

设AD=DC=m，BC=a，在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC=CDsin19.(1)证明：在△ABD中，由正弦定理得，ABsin∠ADB=BDsin∠BAD=1sin∠BAD，

在△AEC中，由正弦定理得，ACsin∠AEC=CEsin∠CAE=3sin∠CAE，

因为∠BAD=