高中数学必修二 期末考测试（基础）(含答案)

期末考测试（基础）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1.（2021•安徽安庆・高一期末）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子

中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为

【答案】B

【解析】设其中做过测试的3只兔子为剩余的2只为AB,则从这5只中任取3只的所有取法有

（a,b,c},{a,b,A},{a,h,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,8},{b,A,B},{c,A,B}共10种.其中恰有2

只做过测试的取法有{。也闺,{0也5},{〃,6闵,{4,°,3},他£：）},{取＜:,阴共6种,

所以恰有2只做过测试的概率为4=|,选B.

2.（2021•江西•景德镇一中）在正方体ABCD-ABCD中，二面角A-D.C-C的大小等于（）

D.90°

解：如图，连接AD”BC.,

:正方体ABCD-ABCD中，DC_L平面BCCiBi,

AD,Ci±€I6,D1C1IC1B,

则NBC£为二面角A-DC-C的平面角，等于45°.

故选B.

3.（2021•北京•首都师大二附高一期末）设在AABC中，角48,C所对的边分别为a,b,c,若

Z?cosC+ccosBsinA,则AABC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

【答案】B

【解析】因为人85。+。853=〃$111/1,所以由正弦定理可得sinHeosC+sinCeos3=sin?A，

sin(B+C)=sin2Asin/I=sin2,所以sinA=1,A=],所以是直角三角形.

4.(2021•浙江•高一期末)已知直三棱柱ABC-A|B|J中，ZABC=120,AB=2,BC=CC,=1,则异

面直线AB,与BC,所成角的余弦值为

厉八

.x/3RrV106

2553

【答案】C

【解析】如图所示，补成直四棱柱ABS-AAGR,

则所求角为Z5C,BC1=>/2,BD=>/22+l-2x2xlxcos60°=6,C、D=AB、=后,

因此cosNBCQ嚼关=半

易得=+故选C.

5.（2021•浙江浙江•高一期末）如图，在下列四个正方体中，A,6为正方体的两个顶点，加N,0为所在

棱的中点，则在这四个正方体中，直线48不平行与平面明图的是（）

【答案】D

【解析】A：由正方体性质有/6〃八&NQu面MNQ,面MVQ可知：AB〃面MNQ,排除;

B、C：由正方体性质有46〃阳，MQI面MN。，面仞VQ可知：AB〃面MNQ,排除：

D：由正方体性质易知：直线46不平行与面物Q,满足题意.

故选：D

6.（2021•江苏常州•高一期末）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，

从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，

不变的数字特征是

A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

【答案】A

【解析】设9位评委评分按从小到大排列为占<%,<%3<%4-<^<%9,

则①原始中位数为三,去掉最低分为，最高分X”后剩余中位数仍为与，，A正确.

-1—1

②原始平均数X=§（X1+*2+演+七…+%+工9），后来平均数V=,（*2+W+入4…+/）

平均数受极端值影响较大，，［与7不一定相同，B不正确

③$2='［（苦—可2+（再_可2+...+（1―可2］/-廿'+伍_*'）2+一.+■一J/）?由②易知，C不正确.

④原极差=X9-外,后来极差=%-9可能相等可能变小，D不正确.

7.（2021•广东•深圳外国语学校高一期末）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件4为“所

取的3个球中至多有1个白球“，则与事件力互斥的事件是（）

A.所取的3个球中至少有一个白球B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球

C.所取的3个球都是黑球D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球

【答案】B

【解析】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑：黑，黑，黑.

事件A包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，

只有事件”所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件A互斥.故选：B.

8.（2021•福建宁德•高一期末）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王

的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于

齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，

则田忌的马获胜的概率为（）

【答案】C

【解析】设山忌的上等马为A，中等马为：4,下等马为4,齐王的上等马为用，中等马为：B2,下等马

为鸟，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：AB-AtB2,4鸟，4与，4打，AB,,

人，&与，名，共种；其中田忌的马获胜的事件为：纥，共种，所以山忌的马获

q49\B2,\By,43

胜的概率为：P=|=1.

故选：C.

二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9.（2021•海南•白沙黎族自治县白沙中学高一期末）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为“涉"，

若a=1,b=>/3>A=3（）,贝II3=（）

A.30B.150°C.60D.120°

【答案】CI）

【解析】由正弦定理一J=工，所以.〃bsinA石，又b“,0°<B<180°,所以8=60°或

sinAsinBsmB=--------=---=—

a12

8=120°.故选：CD.

10.（2021•广东•揭阳第一中学高一期末）已知复数W=2T马=2，则（）

A.Zz是纯虚数B.z「zz对应的点位于第二象限

C.|Z,+Z2|=3D.|z仔?|=26

【答案】AD

【解析】利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，4-7=2-31对应的点位于第四象限，故B错；

对于C选项，Z1+Zz=2+i,则B+zJ=依+产=百,故C错；

对于D选项，Z1-Z2=（2-Z）-2J=2+4J,则上司=衣寿=2石，故D正确.

故选：AD

11.（2021•黑龙江•大庆二中高一期末）设必，〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则下列

结论正确的是（）

A・若ml.a,〃_La,则m//n

B.若m//n,m//a,则n//a

C.若归。，gB,则例〃是异面直线

D.若。〃£,a,nuB,则/〃〃〃或in,n是异面直线

【答案】AD

【解析】由"，〃是两条不同的直线，。，£是两个不同的平面，得：

对于4若加上a,。，则由线面垂直的性质定理得加〃〃，故力正确；

对于〃，若m//n,m//a,则n//o或ZTCa,故“错误；

对于。，若ga,zxz£,则以，〃相交、平行或异面，故。错误；

对于〃，若。〃£,归a,nu8,则〃/〃〃或加，刀是异面直线，故〃正确.

故选：AD.

12.（2021•山西•平遥县第二中学校高一月考）在AABC中，AB=6,AC=1,B=j则角A的可能

6

取值为（）

A.*B.工C.空D.工

6332

【答案】AD

【解析】由余弦定理，AC2=BC2+BA1-2BCBA-cos

BP1=BC2+3-2BCxV3x—,解得8c=1或8C=2.

2

TT

当5C=1时，此时•△ABC为等腰三角形，BC=AC,所以＞1=8=7；

6

TT

当8c=2时，AB-+AC2=BC2,此时AABC为直角三角形，所以A=彳.

故选：AD

三、填空题（每题5分，4题共20分）

13.（2021•江苏•高一课时练习）已知,是虚数单位，设平行四边形48W在复平面内，/为原点，B,。两

点对应的复数分别是3+2K2-4/,则点C对应的复数是

【答案】5-2;

【解析】依题意得A（0,0）,5（3,2）,0（2,-4）,丽=（3,2）,而=（2,Y）,

•••四边形ABCI）是平行四边形，

.-.AC=AB+AD=（3,2）+（2,-4）=（5,-2）,故点C对应的复数为5—2i.

故答案为：5-2i

14.（2021•吉林•延边二中高一月考）为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽

样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为h5:3.已知高一年级共抽取了240人,

则高三年级抽取的人数为人.

【答案】360

【解析】由已知高一年级抽取的比例为瞿=：,所以丁，="得&=2,

12005女+5+35

故高三年级抽取的人数为1200x近玉=360.

故答案为：360

15.（2021淅江高一单元测试）已知随机事件A,8互斥，且P（A+B）=0.8,P（A）=0.3,则P（B）=

【答案】0.5

【解析】•.•随机事件A,B互斥,\P(A+8)=尸(A)+P(B),P")=0.8-0.3=0.5.故答案为：0.5.

16.（2021•山西•长治市潞城区第一中学校高一月考）己知向量3=（肛1）,B=（4-〃,2）,〃?>0,〃>0,

1Q

若则上+°的最小值

mn

9

【答案】

2

【解析】•：a11b，/.26=4—〃o2m+〃=4,（机>0,〃>0）

18—f—+—\2w+n)=—f10+—+

—+—

mn4(mn)4^m

当且仅当2=咽，即〃=4a〃=］时，等号成立.故答案为：3

mn332

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17.（2021•江苏省郑集高级中学高一月考）已知复数2=（2+。/-3,〃（1+。-2（17）.当实数〃取什么值时,

复数z是：

（I）虚数；

（H）纯虚数；

（山）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.

【答案】（I）加力1且机力2；（II）m=~；（III）m=O,或机=2.

2

【解析】（I）z=（2+i），〃2-3加（l+i）-2（l-i）

=2〃7?-3m-2+(7772-3ni+2)i,

,/meR,2m2一3m一2,m2-3m+2wR,

当复数z为虚数时,in之一3m+2。0,加。i且机工2,

所以实数加工1且加工2时，复数z为虚数；

(H)当复数z为纯虚数时，｛露;〃:2\

解得帆=一!，

2

所以当加=-3时，复数z为纯虚数；

(III)当复数z对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上时，

2nr—3/n—2+m2—3m+2=3m2—&n=0,

解得W=0,或根=2,

所以m=0,或能=2时，

复数z对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上

18.(2021•全国•高一课时练习)2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例,

实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小

区年龄处于［20,45］岁的人中随机地抽取x人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把

达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.

收率/ftl»>

0.06]

0.04-

0.03

什希方)

202530354045

组数分组“环保族”人数占本组的频率

第一组[20,25)450.75

第二组[25,30)25y

第三组[30,35)200.5

第四组[35,40)z0.2

第五组[40,45)30.1

（1）求X、）、Z的值;

（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保

留整数）;

（3）从年龄段在［25,35］的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为

记录员,求选取的2名记录员中至少有一人年龄在［30,35］中的概率.

x=200

13

【答案】(1)。=0.625；(2)30.75；(3)—.

1O

z=6

45

x=0-75=200

0.06x5

25

【解析】（1）由题意得：y=-----------------=0.625；

.200x0.04x5

z=200x0.03x5x0.2=6

（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值为：

x=22.5x0.3+27.5x0.2+32.5x0.2+37.5x0.15+42.5x0.15=30.75;

（3）从年龄段在［25,35］的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，

25

从［25,30）中选：9x石品=5人，分别记为A、B、C、D、E,

从［30,35］中选：9xJ^=4人，分别记为。、b、c、"，

在这9人中选取2人作为记录员，所有的基本事件有：（A8）、（AC）、（AO）、（AE）、（A,a）、（A,b）、（A,c）、

（Ad）、（B,C）、（8,0、（B,a）、（氏6）、（B,c）,（8,d）、（C,O）、（C,E）、（C,a）、（C,b）、（C,c）、

（C,d）、（D,E）、（。⑷、（。力）、（D,c）、（D,d）、（E,a）、（E㈤、（E,c）、（£"）、（&b）、（a,c）、（a,d）、

（b,c）、（b,d）、（c,J）,共36种，

选取的2名记录员中至少有一人年龄在［30,35］包含的基本事件有：（A,a）、（Ab）、（Ac）、（A,d）、（BM）、

（B,b）、（B,c）、（民d）、（C,a）、（C,/?）、（C,c）、（C,d）、（D,a）、（”）、（D,c）、（D,d）、（E,a）、（E,b）、

（E,c）、（E,d）、（a,b）、（a,c）、（a,d）、（b,c）、（b,d）、（c,d）,共26种，

因此，选取的2名记录员中至少有一人年龄在［30,35］中的概率尸=墓=2.

3618

19.（2021•广东•南方科技大学附属中学高一期中）如图，在四棱锥M-ABCD中，四边形ABCQ为梯形,

ZABC=ZBAD=90,BC//AD,AD=2AB=2BC

（1）若E为何4中点，证明：BE//面MCD

（2）若点M在面ABC。上投影在线段AC上，AB=1,证明：81■面M4C.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）取〃。中点为尸，连接£尸，CF,

则即为△M4D中位线，，EF//^ADS.EF^AD,

又•.・四边形ABCD是直角梯形，AD=2AB=2BC

BC//-AD,BC=-AD

22

BC//EF且BC=EF,

四边形BCFE为平行四边形，所以BE//CF,

因为面欣工>,CFu面MCD,所以BE〃面MCD.

⑵、•在四棱锥M-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AD=2AB=2BC=2,ZABC=ZBAD=90,

AC=CD=>/12+12=叵

:.AC2+CD2^AD\ACLCD,

设点M在面A5CD上投影在线段AC匕设为点H,

:.MH±^ABCD,C£>u面A8CD,

:.MH工CD,

又QACLCD,ACcMH=H,

\CDA面M4c.

jr1

20.（2021•河北•深州长江中学高一期中）已知tan（：+a）=二,awR.

42

⑴若向量£=（2tana』）,5=（l,-tana）,求£.坂的值；

出若向量。=（6,1+8$20）,坂=（一5,$亩2。一852。），证明：allb.

【答案】（1）-1；（2）详见解析.

7T

tan—+tana[…1

_._/x..,冗、A1+tanct1

【加牟析】（1）因为tan（—+a）=-------------------=----------=—

4.7t1-tana2

}I—tan-•tancc

4

所以tana=一1

3

—1

所以。•。=2tana—tana=tana=——

3

（,））因为sin2a-cos2a_2sinacoscr-cos2a

1+cosla2cos2a

2sina-cosa15

=------------------=tana——=——

2cosa26

所以6（2sin2a-cos2a）-（一5）（1+cos2a）=0.

所以£/力

21.（2021•重庆市江津中学校高一月考）如图，在四棱锥PT吸刀中，底面力比®为正方形，侧面必〃是正

三角形，侧面皿，底面加微物是外的中点.

(1)求证：A"_L平面/CT；

(2)求侧面W与底面四3所成二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析；(2)辿

7

【解析】⑴在正方形/四中，CD±AD,

又侧面PAD_L底面ABCD,侧面PA3A底面ABCD=AD,

所以COL平面PAD,

•rA"u平面为〃，所以CZ)_LAM,

QVPA。是正三角形，”是/力的中点，所以A〃_LPD,

又CDCPD=D,所以AMJ.平面也Z

⑵取力〃，8C的中点分别为E,F,连接即PE,PF,

则EF=CD,EFaCD,所以EF_LA。，

又在正M4D中，PELAO,••・EFcBE'=E,，A£>_L平面阳；

•.•正方形力题中，AZ)//8C,;.8C，平面斯

二/尸/石是侧面PBC与底面/或力所成二面角的平面角，

由CD平面PAD,EFHCD,防1.平面PEF,QPEu平面PAD,

即1.PE.设正方形ABCD的边长AD=2a,则所=2a,PE=岛，

所以PF=JPE、EF2=缶，所以cosNPFE=叵=^~,

PF7

即侧面胸与底面4纪9所成二面角的余弦值为班.

4_i.P

22.(2021•江苏•海安高级中学)在AABC中，角A,B,C