2025届新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质课件新人教A届选择性必修第一册

3.3抛物线3．3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质素养目标•定方向

1．掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(难点)

1．通过抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养．必备知识•探新知

抛物线的简单几何性质知识点1标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦点坐标

F__________

F__________

F__________

F__________准线方程

x＝________

x＝______

y＝________

y＝______顶点坐标O(0,0)离心率e＝_____通径长_______12p做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称．(

)(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(

)(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(

)×√√D直线与抛物线的位置关系知识点2直线与抛物线有三种位置关系：_______、_______和_______.设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①k＝0时，直线与抛物线只有_______交点；②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线_______⇔有_____个公共点．Δ＝0⇔直线与抛物线_______⇔只有_____个公共点．Δ＜0⇔直线与抛物线_______⇔_______公共点．相离相切相交一个相交两相切一相离没有想一想：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．做一做：若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为__________.直线与抛物线相交的弦长问题知识点3(1)一般弦长设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝______________________或|AB|＝________________________(k≠0)．(2)焦点弦长x1＋x2＋p做一做：过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为(

)A．16 B．14C．12 D．10[解析]

抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝12，故选C.C关键能力•攻重难1．(1)设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3,0)，求|PA|取得的最小值；(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．题型探究题型一抛物线性质的应用[规律方法]

利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．对点训练❶题型二直线与抛物线的位置关系2．已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况．直线l与抛物线C的位置关系如图所示．[规律方法]

直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．

已知抛物线y2＝8x和直线l：y＝k(x－1)－1，判断直线l与抛物线的位置关系，若l与抛物线相交于不同两点，求以点(1，－1)为中点的弦所在的直线方程．对点训练❷题型三抛物线的焦点弦问题3．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求直线l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．[规律方法]

过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．

抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A(4,4)，过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求线段MN的长．[解析]

(1)依题意设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，因为抛物线C过点A(4,4)，所以42＝8p，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.对点训练❸易错警示4．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为_____________.[错解]

由题意知，抛物线的焦点在x轴上，故可设其方程为y2＝2px(p>0)，又因为通径长为6，故2p＝6，故方程为y2＝6x.[辨析]

错解中只考虑了焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x轴的负半轴上的情况，故出现漏解．y2＝±6x[正解]

由题意，抛物线的焦点在x轴上，故设方程为y2＝2px(p≠0)，∵通径长为6，∴|2p|＝6，∴p＝±3.∴抛物线方程y2＝±6x.课堂检测•固双基D2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝(

)A．5 B．6C．8 D．10[解析]

抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.C3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，则实数p＝_____；若过点F且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|＝_____.284．