高中数学题型全面归纳（学生版）：第二节导教的应用

第二节导教的应用

考纲解读

1.了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调

区间(其中多项式函数一般不超过三次).

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小

值；会求闭区间上函数最大值、最小值；

3.生活中的优化问题，会利用导数解决某些实际问题.

知识点精讲

1.函数单调性与导函数符号的关系

一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间(a,份内，如果/'(X)>0,

那么函数y=/(x)在该区间内单调递增；如果/'(x)<0,那么函数y=/(x)在该区间内

单调递减.

2.求可导函数单调区间的一般步骤

(1)确定函数/(x)的定义域；

(2)求广(x),令/'(x)=0,解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

(3)把函数/(x)的间断点(即/(x)的无定义点)的横坐标和/'(X)=0的各实根按

由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数/(x)的定义域分成若干个小区间；

(4)确定了'(X)在各小区间内的符号，根据尸(x)的符号判断函数/(x)在每个相应小

区间内的增减性.

注①使r(x)=o的离散点不影响函数的单调性，即当了‘(X)在某个区间内离散点处为

零，在其余点处均为正(或负)时，/(X)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如,

在(—00,+8)上，f(x)=x3,当x=0时，r(x)=0；当XHO时，/'(x)>0,而显然

/(无)=/在(一8,+00)上是单调递增函数.

②若函数y=/(x)在区间(a,份上单调递增，则/'(x)20(/'(x)不恒为0),反之不

成立.因为/'(X)之0,即/'(x)>0或/'(x)=0,当/''(x)〉。时，函数y=/(x)在区间

(a,。)上单调递增.当尸(x)=0时，/(处在这个区间为常值函数；同理，若函数y=/(x)在

区间(a,勿上单调递减，则/'(x)<0(/'(x)不恒为0),反之不成立.这说明在一个区间上

函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：

f'(x)>0=>f(x)单调递增；

/(x)单调递增n/'(x)20；

f\x)<0=>/(x)单调递减；

/(X)单调递减n/(x)<0.

3.函数极值的概念

r

设函数y=/(x)在点X。处连续且y=f(xn)=0,若在点x0附近的左侧尸(幻>0,右

侧/''(x)<0,则与为函数的极大值点；若在工。附近的左侧/'(x)<0,右侧尸(x)>0,则

与为函数的极小值点.

函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有

多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点

与极小值点统称为极值点.

4.求可导函数/(x)极值的一般步骤

(1)先确定函数/(x)的定义域；

(2)求导数

(3)求方程/'(x)=()的根；

(4)检验尸(x)在方程/'(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，

在右侧附近为负，那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，

在右侧附近为正，那么函数y=/(x)在这个根处取得极小值.

注①可导函数/(x)在点/处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即

f'(xQ)=O,且在/左侧与右侧，尸(x)的符号导号.

②/'(%)=0是％为极值点的既不充分也不必要条件，如八%)=/，/(0)=0,但

%=0不是极值点•另外，极值点也可以是不可导的，如函数/(x)=W，在极小值点%=0

是不可导的，于是有如下结论：

%为可导函数/(x)的极值点nf'(x0)=0；

但/'(尤0)=()幺/为/a)的极值点.

5.函数的最大值、最小值

若函数y=/(x)在闭区间句上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在［a,h］

上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

6.求函数的最大值、最小值的一般步骤

设丫=/(x)是定义在区间［a,可上的函数，y=/(X)在(a,b)可导，求函数丁=/(x)在

目上的最大值与最小值，可分两步进行：

(1)求函数y=/(x)在(。,匕)内的极值；

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/g)比较，其中最大的一个

是最大值，最小的一个是最小值.

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最

值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也

可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

题型归纳与思路提示

题型42利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

思路提示

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数f(x)单调递增o导函数

f'(x)>0(导函数等于0,只在离散点成立，其余点满足r(x)>0)；原函数单调递减0

导函数r(x)W0(导函数等于0,只在离散点成立，其余点满足/(/)<0).

例3.8若函数y=/(x)的导函数在区间［。,句上是增函数，则函数y=/(x)在区间目

上的图像可能是()

变式1设/'(X)是/(X)的导函数，将y=/(x)和y=/'(x)的图像画在同一直角坐标系

中，不可能的是()

A.B.C.D.

变式2已知函数y=4”(x)的图像如图3-3所示.(其中尸(x)是/(x)的导函数)，下面4

个图像中，y=/(x)的图像大致是

变式3设函数/(x)=ax2+bx+c(a,6,ceR),若％=-1为函数/(x)e'的一个极值点,

则下列图像不可熊为y=/(x)的图像的是()

变式4函数/(幻=依"'(1一幻"在区间［0,1］上的图像如图3-4所示，贝打小〃的值可能是

()

A.m=1,H=1B.m=1,几=2C.m=2,n=lD.m=3,n=1

图3-4

题型43利用导数求函数单调区间

思路提不

求函数的单调区间的步骤如下：

(1)求/(X)的定义域

(2)求出尸(x).

(3)令/'(x)=0,求出其全部根，把全部的根在x轴上标出，穿针引线.

(4)在定义域内，令/'(x)>0,解出x的取值范围，得函数的单调递增区间；令

/'(x)<0,解出x的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间

不只一个，则这些单调区间不能用“U”、“或”连接，而应用“和”隔开.

27

例3.9求函数/(x)=§d+/f-15x+4(xeR)的单调区间.

评注单调区间的呈现形式，解题过程尽量列表.

变式1已知函数/(%)=/-3/+6.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)设点P在曲线y=/(x)上，若该曲线在点P处的切线/通过坐标原点，求/的方程.

变式2已知曲线/(x)=V*+OX?+3)x+cS/0),且g(x)=/(x)-2是奇函数.

(1)求a,c的值；

(2)求函数/(x)的单调区间.

变式3函数/(x)的定义域为R,/(-1)=2,对任意xeR,/'(x)>2,贝J/(x)>2x+4

的解集为()

A.(—1,1)B.(—1,+<x>)C.(-co,-1)D.(—8,4-oo)

题型44含参函数的单调性(区间)

思路提示

第1步求函数定义域；第2步求导函数；第3步以导函数的零点存在性进行讨论；第4

步当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系以及与区间的位置关系；第5步画出导

函数的同号函数的草图，从而判断导函数的符号;第6步根据第5步的草图列出了'(x),/(x)

随x的变化情况表，并写出函数的单调区间；第7步综合以上讨论的情形，完整写出函数

的单调区间.

例3.10设函数/(幻=女2+以+©左>0)在x=0处取得极值，且曲线y=/(x)在点

(1,/(1))处的切线垂直于直线x+2y+1=0.

(1)求a,b的值；

(2)若函数g(x)=，一，讨论g(x)的单调性.

fW

评注本题导函数的符号是由有关含参数的二次函数来确定，导函数在区间上无变号零点

则必单调；在区间上有变时等总则必不单调，故当二次函数的八=。2一4ac«0时，导函

数无变号零点，故为单调函数；当△=^-4ac>0时，此时导函数有变号零点，就是不

单调函数，应分具体区间讨论不同的单调性.

Y4-a

变式1已知函数/(x)=-----(aeH).

x+1

(1)若函数/(x)在点(1,/⑴)处的切线为y=人，求实数的值;

(2)求函数/(x)的单调区间.

2

变式2已知函数/(x)=x--+Q(2—lnx)(Q>0),讨论f(x)的单调性.

X

例3.11求函数/(x)=(l—a)lnx-x+；-的单调区间.

分析含参函数求解单调区间，讨论的关键在于导函数的零点区间端点的相对大小关系.

评注本题难度较大，在分类中要不重不漏，标准统一，分层不越级.讨论的重点在于比较

导函数的零点％=1,x,=—及定义域端点值x=0的大小来确定的参数范围，但千万

a

不要以二次项系数。的正负作为对a的分类的依据！即不要分。>0,“=0M<0讨论!

易错点：①容易忘记当。=0时的情况.

②当a<0时，二次函数的图像开口方向向下，单调性发生变化.

③综上，单调性相同的归为一类，但各个区间不能使用“U”连接.

变式1求函数/(x)=e-fe(x2+x--)(Zr<0)的单调区间.

k

变式2求函数/(x)=ea\-+a+1)(。＞-1)的单调区间.

X

题型45已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，

求参数范围

思路提示

(1)已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于

零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线

最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.

(2)已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法

求解参变量范围.

(3)已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小

于零有解.

一、已知含参函数在区间上的单调性，求参数的范围

例3.12已知函数/(x)=3ax4-2(3。+l)x2+4x.

(1)当时，求f(x)的极值；

6

(2)若/。)在(-1,1)上是增函数，求。的取值范围.

评注二次函数模型是在解决导数问题中常用的模型，经常用来类比解决三次函数(其导

数为二次函数)以及函数的导数只有一个极值点的函数(类二次函数)的某些问题.

若一个三次函数在某区间上单调递增或递减，可相应转化为其导函数(二次函数)在此

区间上恒为非负或非正的问题.

设/(x)=or?++c(a>0),若/(x)>0在区间上恒成立o/(x)在［加,〃］上

的最小值大于0,如图3-5所示.

hhhh

<=>当----N机时，f(77?)>0；当初<-----<AZ时，f(----)>0；当---->〃时，

若/(x)<0在区间［见用上恒成立O/(x)在［九川上最大值小于0,如图3-6所示.

这是因为对于开口向上的抛物线，最大值必在区间的端点处取得.

1/(〃)<0

对于开口向下的抛物线，只要结合图像类似讨论即可.

变式1函数/•(》)=/^(。〉0)在区间(—1,1)内单调递增，求。的取值范围.

k+b

变式2已知函数/*)=(2必一/卜％其中。为常数，且

(1)若。=1,求函数/(x)的极值点；

(2)若/(x)在区间(血,2)内单调递增，求a的取值范围.

变式3已知函数/(x)=加+芯(xGR)的图像过点P(-l,2),且在点P处的切线恰好与

直线x—3y=0垂直.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若函数/(x)在区间［〃z,m+1］上单调递增，求实数〃?的取值范围.

二、含参函数在区间上不单调，求参数范围

例3.13已知函数/(%)=丁+(1-tz)x2-a(a+2)x+b(a,beR).

(1)若函数/(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求。力的值;

(2)若函数/(处在区间(-1,1)上不单调，求。的取值范围.

评注若/(%)在某区间上不单调，则/'(x)在此区间有变号零点，可先考虑尸(x)=0在整

个定义域内根的情况，结合函数的图像和性质找出给定区间有变号零点的充要条件，若不

易直接求解极值点，应分离自变量与参变量，转化为函数的值域求解.

变式1已知函数/(>)=犬+优一1)/+伏+5)X-1,其中keR,若函数/(x)在区间

(0,3)上不单调，求左的取值范围.

三、含参函数在区间上存在单调增(或减)区间，求参数范围

例3.14设函数/(x)=lnx+(x-a)?中，aeR,若函数/(x)在［1,2］上存在单调递增区

间，求的取值范围.

评注解本类题目的一般思路是：含参函数/（X）在区间句上存在单调递增（减）区间,

则/'（X）>0（/'。）<0）在区间口,句上有解=/'（X）的最大（小）值大（小）于0在区

间上成立.

变式1已知函数/*）=5^+/一%，meR,且函数/（x）在⑵+8）上存在单调递增

区间，求实数〃?的取值范围.

例3.15已知函数/(x)=ox-lnx,g(x)=e'"+3龙，其中aeR.

(1)求/(x)的极值；

(2)若存在区间使/(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求。的取值范围.

题型46函数的极值与最值的求解

思路提示

有关极值问题要从极值存在的充分条件与必要条件上考虑，不仅要注意导数为零点,

同时也要注意导数为零附近导数变号情况.

例3.16(2012陕西理7)设函数/(x)=xe1则()

A.x=l为/(x)的极大值点B.x=l为/(x)的极小值点

C.x=-l为/(x)极大值点D.x=-l为/(x)的极小值点

变式1(函数/(x)在R上可导，其导函数为了'(X),且函数丫=(1一%)/'(》)的图像如图

3-7所示，则下列结论中一定成立的是()

A.函数/(%)有极大值/(2)和极小值/(I)

B.函数/(x)有极大值/(-2)和极小值/(I)

C.函数,f(x)有极小值/(2)和极小值/(一2)

D.函数/(x)有极大值/(-2)和极小值/(2)

图3-7

变式2若。＞0力＞0,且函数/(外=4/-℃2_2加+2在工=1处有极值，则时的最

大值等于()

A.2B.3C.6D.9

例3.17已知函数,/'(x)=ox：!+l(a>0),g(x)=x3+/zr,.

(1)若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(l,c)处有公共切线，求a,/?的值；

(2)当/=48时，求函数/(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间上的最大值.

评注本题求解在给定区间上的最值，将零点与区间的端点加以比较，分析函数在区间上

的单调性，从而求出最值.

变式1已知函数/(x)=lnx+0.

(1)当。＜0时，求函数/(%)的单调区间；

a

(2)若函数/(x)在［I,e］上的最小值是I,求a的值.

变式2已知中函数〃x)=x—gar?—ln(l+x),其中aeE

(1)若x=2是/(x)的极值点，求n的值.

(2)求/(x)的单调区间.

(3)若/(x)在［0,+8)上的最大值是0,求a的取值范围.

题型47方程解(函数零点)的个数问题

思路提示

研究函数/(力的零点问题常常与研究对应方程/(x)=0的实根问题相互转化.

(1)已知含参函数/(X)存在零点(即至少一个零点)，求参数范围问题，一般可

作为代数问题求解.即对/(x)=0进行参变分离，得到a=g(x)的形式，则所求a的范围

就是g(x)的值域.

(2)当研究函数/(x)的零点个数问题，即方程/(x)=0的实根个数问题时，也

常要进行参变分离，得到a=g(x)的形式，然后借助数形结合(几何法)思想求解.

例3.18设。为实数，函数/(%)=-义+3%+。

(1)求“X)的极值；

(2)若方程/(力=0有3个实数根，求。的取值范围；

(3)若函数y=/(x)恰好有两个零点，求a的值.

评注本类题要结合函数的单调性和极值，体现数形结合的数学思想

变式1已知f(x)=o?+hx2_x(xw/?,a力常数，awO),且当x=l和x=2时，函数

f(x)取极值.

(1)求f(x)的解析式

(2)若曲线产f(x)与8(力=-3%一相(一2<%<0)有两个不同的交点，求实数的加取值

范围.

变式2已知函数/(力=加+加一3%(a,beR),在点(1,/⑴)处的切线方程为

y+2=0.

(1)求的解析式；

(2)若对于区间［2,2］上任意两个自变量的值芭，々，都有lf(%)—f(w)l<c，求实数c

的最小值；

(3)若过点M(2,㈤(〃冲-2)可作曲线产f(x)的三条切线，求实数〃z的取值范围.

题型48不等式恒成立与存在性问题

思路提示

J在关等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其

转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅

助函数.

(1)若函数”X)在区间D上存在最小值八》)而,和最大值/(x)a,则

不等式/(x)>a在区间D上恒成立=/(x)min>a；

不等式/(x)2a在区间D上恒成立o>a；

不等式在区间D上恒成立o/(x)心<b；

不等式在区间D上恒成立。/(力…<b；

(2)若函数/(x)在区间D上不存在最大(小)值，且值域为(见〃)，则

不等式/(x)>a(或在区间D上恒成立。〃此a.

不等式/(x)<可或*x)W在区间D上恒成立omW反

例3.19已知函数/(x)=xlnx

(1)求/(x)的最小值.

(2)对所有xNl都有/(%)之以—1,求实数a的取值范围.

评注对于恒成立问题，其根本思路是转化，而转化只有两种方法.1,变量分离法，2,不

分离参数法，本例第(2)间运用分离变量的方法，使得构造中的函数不含有参数，避免

了对参数的分类讨论，对于不等式验证区间端点成立的情形，一般采用不分离参数法(见

本例的变式1),同学们应该视不同的情形使用不同的方法.

变式1设函数〃x)=(l+x)2—21n(l+x).

⑴求的单调区间；

(2)若当龙G1-1,e-1时，不等式/(%)«加恒成立，求实数加的取值范围；

(3)若关于x的方程〃x)=x2+x+a在区间［0,2］上恰好有两个相异的实根，求实数a

的取值范围.

变式2(2012湖南22(1))已知函数f(x)=*7,其中aH0,若对一切xeR,f(x)>1

恒成立，求a的取值集合.

例320设函数f(x)=，—eT

(1)证明；f(x)的导数f，(x"O；

(2)若对所有x»0,都有f(x)2or,求。的取值范围.

评注对于恒成立问题，其根本思想是“转化”，而转化有两种方法：分离参数法和不分离

参数法，对于不等式试验区间端点值成立的情形，一般采用不分离参数法，相比分离参数

法操作上简单，可以视不同情形，选择不同的方法

变式1(2012天津20)已知〃x)=x—ln(x+a)的最小值为0,其中a〉0.

(1)求a的值；

(2)若对任意的xe[O,+8),均有4丘2成立，求实数攵的最小值.

变式2已知函数/(x)=lnx—a(x—l),a&R.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当xNl时，f(x)W四土恒成立，求”的取值范围.

-x+1

思路提示2

(1)若函数/(x)在区间D上存在最小值〃初““和最大值”XL、，即

则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(x)在区间D上有解=a</(力,皿；

不等式aW/(力在区间D上有解=aW/(X)M；

不等式a>/(x)在区间D上有解oa>/a).,；

不等式a2/(x)在区间D上有解。a'/"";

(2)若函数/(x)在区间D上不存在最大(小)值，如值域为(”，〃)，则对不等式有解

问题有以下结论：

不等式a</(x)(或aW/(%))在区间D上有解oa<〃

不等式Z?>〃x)(或b2/⑺)在区间D上有解=b>m

例3,21已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=-3把(as/?).

x

(1)若a=l,求函数/(x)的极值；

(2)设函数/z(x)=/(x)—g(x),求函数〃(x)的单调区间；

(3)若在［1,e］上存在一点与，使得/(%)<g(占)成立，求a的取值范围.

A

变式1设函数/(x)=x—Mnx+2，在x=l处取得极值.(1)求。与b满足的关系式;

(2)若a>l,求函数/(x)的单调区间；(3)若a>3,函数g(x)=a2%2+3,若存在

,m2eg,2,使得|f—g(牡)|<9成立，求a的取值范围.

思路提示3

(1)对于任意的玉e[a,可，总存在x,e[m,〃],使得

(2)对于任意的玉e[a,可，总存在wWm,ri\,使得

/a)Ng(/)o/a)1nbiNg(9)1ns/

(3)若存在％e[a,b],对于任意的％2w[m,n\,使得

/a)Wg(X2)=〃必<g(%L；

(4)若存在玉e[a,b\,对于任意的赴e[m,ri\,使得

/&)幺(々)=/(%)皿々(9)2；

(5)对于任意的X|e[a,b],e[m,川使得1/(%)<8(/)。/(石)1rax«g(毛).；

(6)对于任意的X|e[a,句，A2Glm,可使得Ng(xj)皿;

(7)若存在玉e[a,4，总存在毛s[m,〃],使得

/&)<g(W)=/&L<g(W)a

(8)若存在玉e[a,可，总存在赴e[m,/?],使得

/(%)Ng(/)o/(X)1raxNg㈤而小

]—Q

例3.22已知/(x)=lnx-ar+-----1G/?).

(1)当aW；时，讨论/(x)的单调性；

(2)设g(x)=x2_2/zx+4,当a=；时，若对任意X]€(0,2),存在赴41,2],使

/(x,)2g(W).求实数匕的取值范围.

评注对于存在性与任意性的综合问题，不妨先定存在，如本例中对任意的％€(0,2),总

存在x2G[1,2],便令g(%2)=M,则％e(0,2),

/(xj2M。/(X,)min>M,设/(%L=m,ge(0,2),再分析存在

We[l,2],g(x2<m,则，即最终转化为“㈤二的问题.

变式1已知函数_(2a+l)x+21nx(aeR).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)设g(x)=f—2x,若对任意的王e(0,2],均存在々e(0,2J,使得

/(玉)<g(±)，求4的取值范围.

变式2已知函数/(x)=ln[；+gax]+x2-ax,(“为常数，a>0)

(1)若x=g是函数/(x)的一个极值点，求a的值；

(2)求证：当()<a«2时，“X)在[g,+8)上是增函数；

(3)若对任意的。«1,2),总存在*061,1,使不等式—成立，求实

数机的取值范围.

题型49利用导数证明不等式

思路提示

利用导数证明不等式常用的方法是构造辅助函数，通过构造辅助函数将不等式的证明

问题转化为函数的单调性证明或函数的最值问题.

例3.23设。为实数，函数/(x)=/-2x+2a,xeR

(1)求“X)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln2-1且x>()时e'-2ox+l

评注一般地，要证/(X)〉g(X),XG(0,+8),在区间I上恒成立，构造辅助函数

=通过分析产(力的单调性，从而求出尸(X)在I上的最小值，只要

能证明/(x/n〉。，就可证明/(x)>g(x).

变式1设a2(),/(x)=x—1-In?x+2alnx(x>0).

(1)令E(X)=4'(X),讨论尸(x)在(0,+00)上的单调性并求极值;

(2)求证：当X>1时，恒有x>ln2x—2℃+1

变式2已知函数.f(x)=av+g+c(a>0)的图象在点处的切线方程为

y=x-\.

(1)用〃表示出。,c；

(2)若/(x"lnx在[I,4w)上恒成立，求a的取值范围.

(3)证明：1+，+1+…+1>ln(n+l)+—~~r[n>\,〃eN*)

23nv'2(〃+l)、'

lnx+A

变式3已知函数/(%)(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线

y=/(x)在点(1J⑴)处的切线与x轴平行.

(I)求左的值；

(II)求/(x)的单调区间；

(HI)设g(x)=(f+x)/(x),其中尸(x)为/(x)的导函数.证明：对任意

X>O,g(x)<1+0-2.

题型50导数在实际问题中的应用

思路提示

导数在实际问题中的应用主要用于生活中的优化问题，思路是选取适当自变量列函数

式求最值，这里根据实际问题存在最值，若/'(x)=0只有一个点，即为极值点，也就是所

求最值(间峰函数).

例3.24一个圆环直径为20相，通过铁丝8C,C41,C4,C43(A，4，A是圆上三个等

分点)悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板2小，如图3—9所示.

//////////

图3-9

(1)设BC的长为xm,铁丝总长为ym,试写出y关于x的函数关系式，并写出函数

定义域；

(2)为多长的时，铁丝总长y有最小值，并求此最小值.

变式1某企业拟建造如图3-10所示的容器(不计厚度，长度单位：m),其中容器的中间为

QH

圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为”万优3,且/22r，假设该容

3

器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分建造费用为3千元//〃2,半球形部分建

造费用为c.(c>3)千元/，/,设该容器的建造费用为y千元.

---------1---------->1

AH力、

图3-10

(1)写出y关于「的函数表达式，并求该函数的定义域;

(2)求该容器的建造费用最小时的r.

变式2请你设计一个包装盒，如图3-11所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切

去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于

图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E,F在AB上，是被切去的等腰直角

三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).

(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问