高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (十)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（10）

一、单项选择题（本大题共3小题，共15.0分）

1.如图，正方体4BCO-&BiCiDi中，而=2两，点M在侧面44/iB

内.若5M1CP,则点M的轨迹为（）

A.线段

B.圆弧

C.抛物线一部分

D.椭圆一部分

2.如图，正方体4BCD-4B1GD1的棱长为1,E,尸分别是棱CC1的中点，过点E,尸的平

面分别与棱BBi，OD1交于点G,H,给出以下四个命题:

①平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为45。；

②四边形EGFH的面积的最小值为1；

③四棱锥G-EGFH的体积为定值［；

④点&到平面EGFH的距离的最大值为半

其中正确命题的序号为

A.②③B,①④C.①③④D.②③④

3.如图，在三棱柱48C—44G中，J■底面48C,。,笈分别是棱的中点，点F在

棱CG上，4B=BC=C4=CF=2M4=3,则下列说法正确的是（）

A.设平面与平面3EG的交线为/,则直线G«与/相交

B.在棱4cl上存在点N,使得三棱锥N-4。尸的体积为旦

1

c.在棱4%上存在点P,使得

D.设点M在上，当硼f=l时，平面平面/。歹

二、多项选择题（本大题共10小题，共40.0分）

4.在棱长为2的正方体4BC。一公当口劣中，点P是棱BC的中点，点Q是底面从B1GD1上的动

点，且4PLD1Q,则下列说法正确的有（）

A.DP与0Q所成角的最大值为:

B.四面体A8PQ的体积不变

C.A441Q的面积有最小值管

D.平面CiPQ截正方体所得截面面积不变

5.如图，矩形ABC。，M为BC的中点，将回A8M沿直线AM翻折成回4aM,连接8“，N为的

中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（）

A.存在某个位置，使得CNJ.4B]

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若力B=BM,则力M1B]D

D.若==L当三棱锥/-AMD的体积最大时，三棱锥见-4Mo的外接球的表面积是

47r

6..在直三棱柱/SC-46c中，/-ABC=90°,AB=BC=2,AAr=2,

M是3c的中点，N是&G的中点，点P在线段BiN上，点。在线段AM

2

上，且=S是4cl与4传的交点，若PS〃面Bp4M,则

A.PS"B[Q

B.P为B]N的中点

C.AC1PS

2

D.三棱锥P-BiAM的体积为§

7.如图，在边长为2的正方形4BCD中，点例是边CD的中点，将△4DM沿AM翻折到△PAM,

连结P8,PC,在A4DM翻折到APAM的过程中，下列说法正确的是()

A.四棱锥P—4BCM的体积的最大值为公

5

B.当面P4M,平面ABCM时，二面角P-AB-C的正切值为立

4

C.存在某一翻折位置，使得AM1PB

D.棱PB的中点为N,则CW的长为定值

8.如图，在正方体4BC0-41B1GD1中，点尸在线段上运动

()

A.直线BDi_L平面46。

B.三棱锥P—aGD的体积为定值

C.异面直线AP与41D所成角的取值范围是[45。,90。]

D.直线C】P与平面4G。所成角的正弦值的最大值为当

9.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,侧面与底面所成二面角的大小为60。，下列结论正确的是

()

A.直线PA与BC、PA与CD所成的角相等

B.侧棱与底面所成角的正切值为必

3

C.该四棱锥的体积为46

D.该四棱锥的外接球的表面积为等

10.如图，正方体ABCD-力道也1。1的棱长为1,线段B15上有两个动点E,F,

且EF=1,则下列说法中正确的是（）

A.存在点E,F使得4E〃BF

B.异面直线EF与GO所成的角为60°

C.三棱锥B-HEF的体积为定值立

12

D.4到平面AE尸的距离为当

11.在直三棱柱4BC-4B1G中，乙48c=90。，AB=BC=2,AA1=2,例是

BC的中点，N是41cl的中点，点P在线段/N上，点。在线段4M上，

且4Q=|4M,S是AC1与A］。的交点，若PS〃面贝ij（）

A.PS///。

B.P为的中点

C.AC工PS

D.三棱锥尸一8MM的体积为|

12.已知边长为2的菱形ABC。中，AABC=现沿着BO将菱形折起，使得4C=遮，则下列结

论正确的是（）

A.AC1BD

B.二面角4-BD-C的大小为W

C.点A到平面BCD的距离为|

D.直线AZ）与平面BCD所成角的正切值为百

13.如图，在三棱锥S-ABC中,SA，平面ABC,SA=AB=2,以AB为直径的圆O经过点C,乙40c=

60。，则下列结论正确的是

A.平面SAC1平面SBC

B.三棱锥0-SBC的体积为立

2

C.二面角S-OC—B的正切值为一延

3

D.三棱锥S-ABC外接球的表面积为8兀

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）

14.点尸在正方体ABCD-4iBiCiDi的面对角线Be】上运动，则下列四个命题：

①三棱锥4-QPC的体积不变；

②41P〃平面

③DP1BQ;

④平面PDBi1平面力

其中正确的命题序号是（写出所有正确命题的序号）.

15.如图，A8CO是边长为2的正方形，点E,尸分别为边BC,8的中点，将ZL4BE,AECF,分

别沿AE,EF,E4折起，使B,C,。三点重合于点P,则下列命题正确的是

①4P1EF

②点尸在平面AEF内的射影为ZL4EF的垂心

③二面角A-EF-P的余弦值为:

④若四面体P-AEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是247r

16.已知正四面体P-力BC的棱长为2,动平面PQR交线段BC,4C（含端点）于点Q,R,且平面PQR1

平面ABC,设平面PQR和平面PA8所成二面角的平面角为。，则cos8的最大值为.

17.如图，正方体4BC。一公当口劣的棱长为1,线段劣劣上有两个动点E,F,且£尸=?，现有

如下四个结论：

---------A

①4c1BE；

②平面EFC〃平面4BD；

③异面直线AE,8尸所成的角为定值；

④三棱锥力-BEF的体积为定值.

其中正确结论的序号是.

18.如图，在平行四边形ABC。中，4B4D=60°,=24。=2,E为边AB的中点，将团力DE沿

直线DE翻折成回&DE,设M为线段为C的中点.则在回4DE翻折过程中，给出如下结论：

B

①当必不在平面ABCD内时MB〃平面4DE；

②存在某个位置，使得CEL4C；

③线段BM的长是定值；

④当三棱锥C-4DE体积最大时，其外接球的表面积为等.

其中，所有正确结论的序号是.（请将所有正确结论的序号都填上）

19.在平面四边形4BC。中，AB=CD=1,BC=V2,AD=2,AABC=90°,将△4BC沿AC折

成三棱锥，三棱锥8—4CD的体积最大值为，当三棱锥B—4CD的体积最大时此三棱锥外

接球的体积为.

20.如图，在平行四边形A8CO中，NB4C=60°,AB=2AD=2,E为边A3的中点，将团4DE沿

直线OE翻折成回&DE,设M为线段&C的中点.则在团4DE翻折过程中，给出如下结论：

①当&不在平面ABCD内时，MB〃平面4DE；

②存在某个位置，使得DE14C；

③线段BM的长是定值；

④当三棱锥C-aDE体积最大时，其外接球的表面积为等.

其中，所有正确结论的序号是.（请将所有正确结论的序号都填上）

21.如图是一正方体的表面展开图.B、N、。都是所在棱的中点.则在原正方体中，①MN与C。异

面;②MN〃平面PQC;③平面MPQ1平面CQN;④EQ与平面AQB形成的线面角的正弦值是

：；⑤二面角M-BQ-E的余弦值为刍其中真命题的序号是一

22.棱长为1的正方体ABCO-4181cl5中，E,F,G分别是4B,BC,8iG的中点.

①P点在直线BG上运动时，三棱锥4一D/C体积不变；

②Q点在直线EF上运动时，直线GQ始终与平面/MiGC平行；

③平面B/D1平面AC/；

④三棱锥。-EFG的体积为|.

其中真命题的编号是.(写出所有正确命题的编号)

四、解答题(本大题共8小题，共96.0分)

23.如图，已知正方体力BCD中，E,F,G,H分别是为劣，D©,(?他和A8的中点.

(1)求证：EG〃平面AiBG；

(2)求证：E,F,G,〃四点共面.

24.如图，在三棱锥P-ABC中，PA1底面48C,NBAC=90。.点。，E,N分别为棱PA,PC,BC

的中点，M是线段A。的中点，PA=AC=4,AB=2.

(I)求证：MN〃平面8£>E；

(II)求二面角C-EM-N的正弦值；

(IH)已知点”在棱PA上，且直线N”与直线BE所成角的余弦值为求线段AH的长.

25.如图所示的多面体A8CQP中，PA=PB=BC=CA=2,4APB=60°,平面P4B1平面ABC,

CQ1平面ABC.

(1)求证：平面4BQ1平面PQC；

⑵若二面角2—PQ—8的大小为60。，求CQ的长.

26.在ABC中，乙4=60。，以BC为边在平面ABC内作如图所示的等边△BCD,E为BC边上

一点，且EC=2BE,尸为线段AC上的点，现沿8尸将AABF折起，使力达位置4',且4点在平

面BC。射影恰为E点.

(1)求证：DFJLA'B；

(2)求二面角B-A'D-C的平面角的余弦值.

27.如图，四棱锥P-4BCD中，侧面PA。为等边三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC=|AD,

(1)证明：直线CE〃平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCO所成角为15',求二面角M-AB-D的余弦值.

28.如图，在三棱柱4BC-41B1G中，四边形ABBiAi为正方形，且AC=A4=4/C4B="人4=

60

A

(I)求证：平面平面4B814；

(口)求点A到平面4/iC的距离.

29.已知△48C中，AB1BC,BC=12,AB=24,分别取边A8,AC的中点。，E,将团AOE沿

QE折起到△&DE的位置，设点M为棱4D的中点，点P为的中点，棱BC上的点N满足BN=

3NC.

(1)求证：A/N〃平面4EC；

(2)试探究AADE在折起的过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥N-PCE的体积为18,若存

在，求出二面角Ai-DE-C的大小，若不存在，请说明理由.

30.如图，等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧48所在的平面垂直，ACLAB,P是弧AB上

一点，且"2B=30°.

(1)证明：平面BCP1平面ACP；

(2)若。是弧AP上异于A,P的一个动点，且4B=4,当三棱锥C-4PQ体积最大时，求点4

到平面PCQ的距离.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题主要考查的知识点有直线与直线，平面与平面的位置关系，线面垂直的性质与判定，深入考查

了逻辑推理能力，属于难题.

通过分析几何体中的线面关系找到过久与CP垂直的平面DiFNBi，则当M在线段B]N上时符合条件,

即可得到点例的轨迹为线段.

解：如图，取AO和AB靠近A的三等分点尸和M连接名尸，FN,DR,DP,AC,&G，

设OP交于H,

则tan/POA=|=tanz尸Oi。，所以NP£M=4F/\D,所以/PDA+NDIFD=90°,即Z\F1DP,

又D1FJ.CD,DPCCD=D,所以D#1平面PCD所以QF1CP;

因为Bi。1_L4iCi，所以Bi。1_L平面AiACCi，1CP,

因为。/DBiA=Di，

而FN〃BD//B\D\,所以F,N,B1,刑四点共面,

所以CP_L平面D/NBi，

所以〃的轨迹是平面么FNBi与平面4遇8当的交线/N,

即点M的轨迹为线段.

故选：A.

2.答案：D

解析：

本题考查棱锥的体积、空间中的距离及直线与平面所成角，属于较难题.

根据正方体的特征及棱锥的体积计算、空间中的距离及直线与平面所成角逐项计算验证即可.

解：对于①，平面EGFH与平面ABCD所成的最大角为NDiBD,不为45。，故①错误；

对于②，由迎WGHW百，可得菱形EGFH的面积的最小值为1,故②正确；

对于③，四棱锥6-后6尸”的体积为1/=2%1_注尸=2%―6尸(；1=2乂9乂：乂：=3，故③正确;

对于④，设BG=x,XG[0,1]>VB^EFG=^E-BrFG=|X|X1X(1-X)X1(0<X<1),

设Bl到平面EGFH的距离为d,可得/LEFG=idxixV2x/—倒,

/_IT_t_1

所以而彳=再不=成百z其中"一办

当x=0即t=l时，〃取得最大值号,故④正确.

3.答案：D

解析：

本题主要考查空间几何体及其体积公式、线线、线面、面面的位置关系，考查了逻辑思维能力与空

间想象能力，属于较难题.

根据线面平行的性质判定A,利用棱锥的体积计算判定8,由线面垂直的判定与性质判定C,由面面

垂直的判定定理判定。即可.

解：在A中，连接CE,交A。于点O,则。为AABC重心，

连接OF,由己知得。尸〃5口，OFu平面AO凡EC】C平面AOF,

EQ〃平面ADF,EQu平面BEG，平面ADFn平面BEG=I，

则EG〃2,故A错；

在8中，若存在点N在41Q上，则以ZTDF=PDTFN，

当N与Cl重合时，AAFN面积最小，

力fFN取最小值为工x2xlx2x3=立，故8错；

3226

在C中，过G作C1G〃FA交Aa于点G,

若在42上存在点P,使得GPJL4F，则GPLGG,

又GP_LGA],C]GnGA1—G,C】G、GA^u平面AiGG1，

QP_L平面&QGi，

•••4GU平面4GG1，二GPi&G，矛盾，故c错.

在力中，当BM=1时，由题意得△CBM三△?£■£),则4BCM+NCDF=90°,

•••CMLDF,

又「力。1平面CGBiB,CMu平面CQBiB,二401CM,

又DFHAD=D,DF,ADu平面ADF,CM_L平面ADF,

•••CMu平面CAM,.♦.平面CAM1平面ADF,故D正确.

故选。.

4.答案：BCD

解析:

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查四面体体积，平面与多面体截面积等有关知

识，属于较难题，解题时取AB中点W,必当中点S,可先根据4PJ.D1Q,确定。位置就在。iS上,

然后根据体积，面积等公式逐项检验即可.

解：如图，

取A8中点W,&Bi中点S,连接WS,DV/,CiS,

在正方形ABC。中，易得4PJLDW,又APlDDi，

DWCiDD]=D,DW,DD\C平面DWSDi>

所以AP_L平面。IrS01，

因为点。是底面&BlGDl上的动点，且APIDiQ,

故点。在。1S上运动，D、S〃DW,

所以OP与。iQ所成角就是OP与。W所成的角，即乙ODP,

易得。。=V,02=警，

直角三角形DOP不是等腰直角三角形，故A错误；

由于三角形ABP面积固定，。在上底面，Q到面ABP距离为2不变，故四面体ABPQ体积不变，B

正确；

因为。点在QS上，过4向5S作垂线，垂足为H,即是符合条件的。点，

△44Q的面积有最小值就是△441〃的面积，

和上底面垂直，N4&H是直角，

所以面积为T/UIX4H=，X2X^=^,C正确；

平面D/Q就是过点P与。1S确定的平面，不因。变化而变化，故平面截正方体的截面面积不会改变，

。正确，

故选BCD.

5.答案：BD

解析：

本题主要考查了立体几何中的翻折问题，考查了学生的空间想象能力以及立体几何中的垂直性质定

理，余弦定理，综合性比较强，属于难题.

对于A取的中点为E,连接CE交MQ于点F,则NE〃/,NF//MBr,^CNLABr,则EN1CN,

从而判断A,对于8,由判断A的图以及余弦定理可判断以对于C由线面垂直的性质定理即可判

断；对于。根据题意知，只有当平面BiAM1平面4WD时，三棱锥当―AMD的体积最大，取4。的

中点为E,连接。民再由线面垂直的性质定理即可判断.

解：对于A,取AO的中点为E,连接CE交于点凡如图1,

51

图1

则NE//4B1，NF//MB1,

如果CN14B「则ENJ.CN,

由于AB1JLM%,则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点,

故这是不可能的，故不正确：

对于8,如图1,由NNEC=NMABI，

且NE=EC,

即"EC,NE,EC都为定值，

.•.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

对于C,如图2,

图2

取AM中点为O,TAB=BM,即=则

若AM1B^D,由于8]0nB、D-

且u平面00B「

AM_L平面0081,ODu平面ODB1,

ODLAM,则AD=MD,

由于40HMD,故4MlBi。不成立，故不正确；

对于D,根据题意知，只有当平面/AML平面AMZ）时，

三棱锥当-力MD的体积最大，取AO的中点为E,

连接0E,BiE,ME,如图2,

•■•AB=BM=1,贝ijABi=BiM=1,

且4811B1M,平面8送"CI平面AMO=

又;BiO±AM,B]0u平面&AM,

Bi。1平面AMD,­:OEu平面AMD,

Bi。1OE,

则AM=V2,ByO=^AM=

0E=\DM=\AM=^,

从而吟廊否=】'

易知E4=ED=EM=1,

.••力。的中点E就是三棱锥&-AMD的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4兀，故£＞正确.

故选BD.

6.答案：ACD

解析：

此题以直三棱柱为载体，考查线面平行的性质，线面垂直的判断及性质，三棱锥体积的计算，属于

中档题；解题时首先熟知直三棱柱中的线面关系，4通过辅助线为PS找一个平面，利用线面平行的

性质，得到线线平行；B.通过证明RtElPNS。Rt国Q8B],得到对应边的关系，即可求解；C.通过证

明AC1面BBiNG,由线面垂直得到线线垂直；。.利用等积法求解即可.

解析：

解：对于选项A：连接NS交AC于G点，连接8G,

则由4B=BC,AQ=^AM,可得BG必过点Q,

且8Q=.BG,因为PSu面BB]NG,

PS〃面AMB1，面力MB1n面8&NG=B1Q,所以PS〃&Q,A正确;

对于选项B：•:PS//B[Q,：.乙NPS=乙NBiQ=乙B1QB,

PNNS1

•••Rt0PNS-Rt@QBBi，•,•—=—=T,

15QDD-^L

即PN=：BQ=，|BG=：BiN,P为靠近N的三等分点，8错误;

对于选项C：-AC1NG,AC1BG,

且NGu面BB、NG,BGu而BB、NG,

NGnBG=G,

■­AC上面BB/G,又PSu面BB、NG

ACIPS,C正确；

对于选项£＞：•.•且=BQ,ABB/Q是矩形，

"181M=%-ABiM==]'2，葭2，1=],D正确.

故选ACD.

7.答案：ABD

解析：

本题考查棱锥的体积计算，线面垂直的判定，二面角，几何体的结构特征，考查逻辑推理能力和空

间想象能力，属于较难题.

根据几何体的结构特征，利用线线，线面，面面的位置关系及棱锥的体积公式判断选项可得结论.

解：

对于A,当面P,LU，平面ABCM时，点尸到平面A8CM的距离最大，

而梯形ABCM的面积不变，故此时四棱锥P-ABCM的体积的最大，

在RtZxAPM中，AP=2,PM=1,易知四棱锥P-4BCM的高h=辿，S=

5ABCMN=3>

；•四棱锥P-ABCM的体积的最大值为乙x3x^=壁，故A正确；

355

对于B,•.♦面P.AA/_L平面ABCM,过点尸作P。1AM,POu平面PAM,

平面P4Mn平面ABCM=AM,

••・P。J•平面A8CM,再过点。作。E14B,连接PE,则易知PEJ.4B,

•••NPE。为二面角P-AB-C的平面角，

在RtAPOE中，P0=—，又40=越，0E=l，

tanNPE。=—=4^=—,故8正确；

0E-4

5

对于C,•.•在A4DM翻折到△P4M的过程中，P01AM,

若4MJ.PB,POCPB=P,PO、PBc5FffiPOB,

则平面尸。8,。8u平面PO2,二AM1.。8,

而事实上，AM与08不垂直（可证得OB=AB,则AB不可能为直角三角形斜边），故矛盾，

不存在某一翻折位置，使得AMJLPB,故C错误；

对于Q,取PA的中点F,连接MF,FN,•:F,N分别是PA,PB的中点，

:.FN裳AB，又MC野AB，：.FN“MC,故四边形FNCM是平行四边形，

...CN=MF'而在Rta.APM中，MF=Vl2+I2=V2，故CN的长为定值或，故。正确.

故选ABD.

8.答案：ABD

解析:

【试题解析】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，异面直线成角，线面角等

基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

在A中，首先证明B£)i14G，同理可得&D由判定定理得结论；在3中，〃平面儿。”，

三棱锥P-AiG。的体积为定值；在C中，当P与&重合时，直线A尸与&D成角为争当P为BiC的

中点时，直线AP与&£＞成角为全直线4P与&。所成角的取值范围是［60。,90。］,故C不正确；在。

中，由点p到平面4G。的距离求线面角.

解：在A中，连接B/1，由正方体可得AG18m1，且BB1_L平面&B1C1D1，

又&Gu平面AiBiGDi，贝IJ8B1J.&G，

且BB】nBi%=%,BB］、Bi。1u平面BD1B］,

所以4G1平面BD$i，又BO】u平面BDiBi，

故AiG^BDi；同理，连接易证得&O1BD1，

又公。CAiG=&,月也1u平面&G。，则BO1，平面4口。，故A正确；

在5中,•:B［C“A［D,BiCC平面&CDu平面4。。，•••&C〃平面4为。,

••.P到平面4G。的距离是定值，.•.三棱锥P—4GD的体积为定值，故B正确；

在C中，rBiC〃&D,.•.直线AP与所成角，即为直线AP与BiC所成角，

当P与名重合时，△4PC为等边三角形，AAPC=60°,则直线AP与乙。成角为半

当尸为BiC的中点时，由AABiC为等边三角形，则4P1B1C,则直线AP与成角为:，

・•・直线AP与&D所成角的取值范围是［；,自，故C错误；

在。中，设点P到平面&GD的距离为力，设正方体棱长为1,由力「ACM=%)-AQBi，

得工xixlxlxl=-=-x—x(V2)2X/l,h=—,

32634v73

••・直线qp与平面所成角的正弦值为白，

当点P为8传的中点时，GP最短，

直线C1P与平面所成角的正弦值最大，为彳，故。正确.

故选：ABD.

9.答案：AD

解析：

本题考查正四棱锥的结构特征及异面直线所成夹角及线面所成夹角与四棱锥的体积公式以及四棱锥

外接球的表面积，属于较难题.

对于A,直线PA与所成角为4P4。，PA与8所成的角为NPAB,从而直线PA与BC、PA与

C。所成的角相等；

对于8,由PO_L平面ABC。，“力。是侧棱与底面所成角，推导出侧棱与底面所成角的正切值为它；

对于C,直接由四棱锥的体积公式求解；

对于。，设该四棱锥的外接球半径为七则R2=(a—R)2+(或)2,解得R=嘉，由此能求出该四

棱锥的外接球的表面积.

解：连结AC,BD,交于点。，连结P0,取AO中点E,连结OE、PE,

对于A,因为BC〃4D,AB//CD

所以直线尸4与BC所成角为NP4D,PA与CD所成的角为“48,

•・•PA=PB=PD,AB=AD,

・•・/.PAD=乙PAB,

，直线PA与3C、PA与。。所成的角相等，故A正确：

对于B,・.・PO_L平面A8CD,

ZP4。是侧棱与底面所成角，

•••正四棱锥P-ABC。中，底面边长为2,侧面与底面所成二面角的大小为60。,

•••OA=^AC=1V22+22=V2,/PE。=60",OE=1,PE=2,PO=V22-l2=V3)

••・侧棱与底面所成角的正切值为tan/PAO=黑=当，故B错误:

对于C,该四棱锥的体积为U=|xs正方形ABCDXPO

=Lx2x2xV5=延，故C错误：

33

对于Q,设该四棱锥的外接球半径为R,

则R2=（遮—R）2+（女）2,解得R=品，

.・.该四棱锥的外接球的表面积为S=4TTR2=等，故。正确.

故选：AD.

10.答案：BCD

解析：

本题以正方体为载体，考查了空间中的平行关系、空间角、距离和体积问题，考查转化与化归的思

想，是中档偏难题.

由异面直线的判定判断A；异面直线EF与所成的角即为当名与的。所成的角，据此可判断8；

由V：吨惟8-AEFVJ捌M-8EF可计算体积,判断C;将4到平面AEF的距离转化为必到平面4为以

的距离，利用等体积法可求距离，判断D

解：如图所示，AB与Bi。1为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；

异面直线所与6。所成的角即为名名与所成的角，即当外与力为所成的角，连接A/,ABr,易

得三角形力为。1是正三角形，乙4当劣=60。，即异面直线EF与GD所成的角为60。，故8正确；

连结BO交AC于O,则AO为三棱锥A-BEF的高，AO=—，

2

易知：BBi1EF,贝USABEF=gEF.BBI=3X1x1=%

所以卜I椅=忆拗t-A-BEF=：*1X曰=照>为定值，故C正确；

久到平面4E尸的距离即4到平面4BQ的距离，SA.BM=枭/=争

设义到平面AEF的距离为h,由「崂博人ABAI'm.4用以得，xShABiDix/i=ixSAX1B1D1x

AZ],

即工x画xh=LxLxlxlxl，解得九=更，故。正确.

32323

故选BCD.

11.答案：ACD

解析：

此题以直三棱柱为载体，考查线面平行的性质，线面垂直的判断及性质，三棱锥体积的计算，属于

中档题；解题时首先熟知直三棱柱中的线面关系，4通过辅助线为PS找一个平面，利用线面平行的

性质，得到线线平行；B.通过证明RtElPNSsRt团QB%,得到对应边的关系，即可求解；C.通过证

明4。_1面8/％6,由线面垂直得到线线垂直；。.利用等积法求解即可.

解析：

解：对于选项A：连接NS交AC于G点，连接8G,

则由4B=BC,4Q=|AM,可得BG必过点Q,

S.BQ=-BG,&^JPS

PS〃面4MBi，面4MBic面BB[NG=BiQ,所以PS〃勺Q,A正确;

对于选项B：•:PS"B\Q,：.Z.NPS=KNBiQ=乙B1QB,

PNNS1

•••Rt团PNSsRt国QBB],：•示=£=;,

BQDDiZ

即PN=1BQ=，|BG=：BiN,P为靠近N的三等分点，B错误;

对于选项C：■：AC1NG,AC1BG,

且NGu面BB]NG,BGu面BB[NG,

NGCBG=G,

•••AC1面B&NG,又PSu而BB[NG

ACVPS,C正确；

对于选项。：TBIP'BQ,且BJ=BQ,•••BBIPQ是矩形,

1i2_

^P-ABiM~~=3''2=3,。正确•

故选ACD.

12.答案：ABC

解析：解析：

本题考查了线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角、二面角和空间中的距离，属于较难题.

根据直线与平面所成的角，及点到平面的距离，二面角的定义逐项分析，即可得出正确结论.

解：取80的中点0,连接A。，0C,

•.•菱形ABCD的边长为2,/.BAD=60°,

.•・△4B0,ABCD为正三角形,

则40J.B0,0C1BD,且40nC0=0,AO,C。u平面AOC,

则BC_L平面AOC,又4Cu平面AOC,所以BD1AC,故A正确；

易知乙40C是二面角A-BD-C的平面角，

•.•菱形ABC。是边长为2,

•••AO=OC=V3,

vAC=V3，

・•・△40C为正三角形，则乙40c=全故B正确；

在三角形AOC,过A作4EJ.0C,交OC于E,

由BD_L平面AOC,AEu平面AOC,

则BD1.AE,

又BDC0C=0,BD、OCc¥ffiBCD,

则4E_L平面BCD,

易知三角形AOC为等边三角形，A0=痘,

则4E=V^x3=三，即点A到平面BCD的距离为j故C正确；

由AE1平面BCD,可得乙4DE为直线AD与平面BCD所成角，

3

则•/Anr2：兀则cosN.4DE=、/l-(3)2=3,所以1a»，故D

sniZ.4DE=-j^=|=-V4V71

T

错误，

故选ABC.

13.答案：ACD

解析：

本题考查面面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角，锥体的体积公式，球的表面积公式，属于较

难题.

得出8cl平面SAC即可分析4选项，运用三棱锥的等积法即可分析8选项，计算二面角S-0C-4

的正切值即可分析C选项，得出三棱锥S-4BC外接球球心为S8的中点即可分析。选项.

解：由题意，•••SAJ_平面ABC,BCu平面ABC,：.SA1BC,

••♦点C在以4B为直径的圆。上，•••BC14C,

又=4SA,4Cu平面SAC,.1BC1■平面SAC,

又BCu平面ABC,.♦.平面SAC1平面SBC,故A正确；

在△ABC中，48=2且A8为圆。的直径，二。8=OC=1,

v乙40C=60°,4BOC=120°,

•••SKOBC=|xlxlxsinl20°=*

yO-SBC=^S-OBC=,X2Xf故B错认；

取0c的中点为M,连接SM,AM,

在A/IOC中，^AOC=60°,OA=OC,；.△40C为等边三角形，

OCLAM,OC=AC=OA=1,

SO=SC=V5.OCISM,

••・二面角S-OC-A为乙SWA,可知AM=立，tan/SMa=《=竽，

2T

•••二面角S-OC-A和二面角S-OC-B互为补角，•••二面角S-OC-B的正切值为一延,故C正确；

3

取SB的中点为E,连接。E,

•••△SAB为直角三角形，:ES=EA=EB,

又。为AB的中点，二。E//S4•.•S4_L平面ABC,.•.。£>_1平面48(7,

可知0为AABC的外心，；.EA=EB=EC,：.EA=EB=EC=ES,即E为三棱锥S-ABC外接球

球心，

故三棱锥S-ABC外接球半径为[S8=[X、22+22=鱼,表面积为SITTX(V^)'=«TT,故。

正确；

故选ACD.

14.答案：①②④

解析：

【试题解析】

本题考查三棱锥体积求法中的等体积法及线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想.

根据相关定理逐项判断即可.

解：如图所示：

对于①，容易证明4DJ/BG，乂AD】u平面AZ\C,BC1《平面力D】C,

从而Bq〃平面4D]C,

故2cl上任意一点到平面ZAC的距离均相等，

所以以P为顶点，平面4。传为底面的三棱锥体积不变，即三棱锥P-4DiC的体积不变，

乂%-5PC=%-皿c，

则三棱锥4-DiPC的体积不变；正确；

对于②，连接&B,41c式图略），容易证明41c"/AC且相等，由于①知：AD\〃BC\,

所以由面面平行的判定定理得：面B&Ci〃面4C5,从而由面面平行的性质可得②正确；

对于③由于DCJ•平面BCC1&,

所以DC1BC],

若。P1BG，又DCCDP=D,则BCi_L平面。CP,

BCr1PC,则尸为中点，与P为动点矛盾；错误；

对于④，连接QB[（图略），由OB】J.4C且1AD】，ACnADr=A,可得Da1面ACD「从而由

面面垂直的判定知：④正确.

故答案为①②④.

15.答案：①②③

解析：

本题考查空间中线面垂直的判定和性质，二面角的求解，球的表面积公式，考查空间想象能力与思

维能力，属于中档题.

由直线与平面垂直的判定与性质判断①与②；求解二面角的余弦值判断③；通过补形法求出四面体

P-4E尸的外接球的表面积判断④.

解：对于①，APA.PF,AP1PE,•：PEnPF=P,PE,PFu平面PEF,二AP1平面尸EF,

「£7;'<=平面「£凡.・.4。，9尸，故①正确；

对于②，设尸在底面AEF上的射影为。，则P01底面AEF,七尸日由面人我扛二/^,七尸，

由①知，PA1EF,连接A0并延长，交EF于G,

■■■POQPA=P,PO,PAu平面PAO,EF_L平面PA。，4Gu平面PAO,则4G1EF,

同理可证E0L4F,FOLAE,即点P在平面AE尸内的射影为△AEF的垂心，故②正确；

对于③，由B知，AG1EF,■■-AE=AF,「.G为£户的中点，

连接PG,又PE=PF,PG1EF,

则4PG4为二面角4-EF-P的平面角.

在等腰直角三角形PE尸中，由PE=PF=L得PG=^，则4G=这，

22

^.Rt^APG'V,有COSNPGA=某=（故③正确；

对于④，二三棱锥P-AEF的三条侧棱PA、PE、PF两两互相垂直，且24=2,PE=PF=1.

把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为J22+12+仅=后，

则其外接球的表面积S=4TTX（彳）2=6兀，故④错误.

故答案为①②③.

16.答案：迎

3

解析：

本题主要考查了二面角，面面垂直的性质，线面垂直的判定，直线与平面所成的角，属于中档题.

设尸点在平面ABC中的射影为O,在平面ABC内作。H1QR,交AB于H,根据题意可得，0H与

面PAB所成的角a与角。互余，再由最大角定理可得“与面PAB所成的角a恰好与二面角P-AB-C

的平面角相等时最大，求出Sina的最大值，即可得cos8的最大值.

解：设尸点在平面A8C中的射影为0,

则PO1平面ABC,

因为平面PQR1平面ABC,平面PQRD平面力BC=QR,

所以P。1QR,

在平面ABC内作OH1QR,交AB于H,

因为平面PQR1平面ABC,平面PQRD平面ABC=QR,

所以OH_L面PQR,

所以。”与面248所成的角a与角。互余，

即cos。=sina,

由最大角定理知，当0月与面PAB所成的角a恰好与二面角P-AB-C的平面角相等时最大，

此时OH_L4B,

连接尸"，则a=NPH。，

因为正四面体P-4BC的棱长为2,

所以PH=V3，P0=—，

3

2n「

所以.P0T2^2

切以sina=—=十=—,

PHV33

即cos。=sina=—.

3

故答案为出.

3

17.答案：①②④

解析：

本小题主要考查线线、面面的位置关系，考查锥体体积计算，属于中档题.

通过证明AC1平面BDD1/即可证得①成立，通过证明平面4BD〃平面&CD1可证得②成立，作

异面直线AE,BF所成的角N4EG,由此判断异面直线AE,8尸所成的角是否为定值，可判断③，利

用锥体体积公式计算出三棱锥4-BEF的体积，即可证得④成立.

解：①设AC与BO相交与G.

根据正方体的性质可知AC1BD,AC1BBr,

、

而BOnBB1=B,BDBB]u平面

所以4c，平面BODiB],

BEu平面BDDiBi，

所以AC1BE.故①正确.

②根据正方体的性质可知为B〃5C,ArBU平面&CD1，

。传＜=平面当。。1，所以〃平面BiCD「

同理可证BD〃平面B1CD1，而4BCBD=B,4$、BDu平面

所以平面4/D〃平面BiCDi，也即平面EFC〃平面&BD.故②正确.

③由于正方体的边长为1,所以8。=8也=伍BG=当,而七昨争

根据正方体的性质可知EF〃BG,所以四边形8GEF是平行四边形，

所以BF〃GE,所以4AEG是异面直线4E,B尸所成的角，

因为AC1平面BDQBi，EGu平面8皿%所以4C_LEG,

所以tan乙4EG=*,其中AG为定值，GE长度不固定，

GE

所以乙4EG不是定值，所以③错误.

④由①可知力C_L平面8。。近1，

所以以-BEF=[XSABEFx/lG=|x(|x^xl)x^=★为定值,所以④正确.

故答案为①②④.

18.答案：①③④

解析:

本题考查了球的表面积、线面平行的判定、线面垂直的判定和面面垂直的性质，属于较难题.

取乙。的中点