数学（文）一轮教学案第十章第2讲双曲线及其性质

第2讲双曲线及其性质

考纲展示命题探究

考点展示考纲要求高考命题探究

双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.1.内容探究：双曲线的标准方程、双曲线的几何性质(特别是离

—心率、渐近线)的应用，常与圆、椭圆、抛物线交汇命题.

双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质.2.形式探究：高考中本讲内容多以选择题、解答题形式出现.

__✓

“2考点一双曲线的标准方程

矮点基础点重难点

1双曲线的定义

(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两

定点间的距离)的动点的轨迹.两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间

的距离叫做焦距.

(2)符号语言：HMF11-|MF2||=2a(2fl<|FiF2|).

2双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：

(1)当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为

x2y1

了一方=l(a>0,Z»0).

(2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为

2f

.一/=l(a>0,Z»0).

3双曲线方程的几种常见设法

(1)与双曲线今一£=1有共同渐近线的双曲线方程可设为1一.

=%(2W0).

nX2

(2)若双曲线的渐近线方程为y=土%则双曲线方程可设为泉一

或舟222y2=犯W0).

(3)与双曲线最f=l共焦点的双曲线方程可设为泊一而

=l(—b2<k<a2).

(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为如2+町2=

l(mn<0).

丫2

(5)与椭圆K。»〉。)有共同焦点的双曲线方程可设为

炉V2

再l+b2T

M注意点双曲线定义的理解

当|MB|一|M「2|=2a时，曲线仅表示焦点厂2所对应的双曲线的一

支；当一|MB|=-2〃时，曲线仅表示焦点B所对应的双曲线的

一支；当2a=旧iBI时，轨迹为分别以厂2为端点的两条射线；当

2。>尸1昌时，动点轨迹不存在.

抽一小题快做

1.思维辨析

(1)平面内到点尸1(0,4),6(0，—4)距离之差等于6的点的轨迹是

双曲线.()

(2)平面内到点吊(0,4),6(0,一4)距离之差的绝对值等于8的点

的轨迹是双曲线.()

(3)方程：=1(m〃>0)表示焦点在％轴上的双曲线.()

(4意+：=1表示双曲线的充要条件是如2<0.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

22

2.与椭圆C：言+舌=1共焦点且过点(1,小)的双曲线的标准

方程为()

丫2

A.JC2—§=1B.9―2(=1

答案C

解析椭圆盘+==1的焦点坐标为(0，-2),(0,2),设双曲线

C31

y2%2——­=1,

的标准方程为］一五=1(心0,H>0),贝1阳n解得加=72=2,

lm+n=4,

故选C.

3.双曲线正一^■=：!上的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐

10y

标是•

答案(8,士3小)

解析方(5,0)为双曲线的右焦点，设尸(居y),则(%—5>+y2=36

①，与正一方=1②，联立①②解得：％=8,尸土33.，。(8,±3^3).

法命题法解题法

/［考法综述］高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研

究双曲线的性质.双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方

程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题.

命题法双曲线的定义和方程

典例(1)已知双曲线C：，一1=1的焦距为10，点尸(2,1)在

C的渐近线上，则C的方程为()

。,而―20=1D,20-80=1

(2)已知双曲线?一V=1的左、右焦点为西，尸2,点尸为左支上

一点，且满足NPP尸2=60。，则△BPB的面积为.

［解析］(1)由2c=10,得c=5,

1ry1

,点P(2,l)在直线y=/上，/.1=-^,即。=2尻

Xa2+h2=25,a2=2Q,h2=5.

y2y2

故双曲线C的方程为加一='=1.

(2)设1PBi=m，\PF2\=n,

2+/一2如7cos60°=(2c)2,

*m

n-m=2a,

n^-\-n2—mn=20,

所以2,2c〃

m-rn—2mn=16,

所以//m=4,所以小.

［答案］(1)A(2)仍

Q【解题法】双曲线标准方程的求法

(1)一般步骤

①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴

上，还是两个坐标轴都有可能.

②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程.

③列：根据题意列关于a,h,c的方程或者方程组.

④解：求解得到方程.

(2)常见问题形式

①如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在入轴上还是y

轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a,b,c的

方程组，解出/，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能

是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解).

②当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：

一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原

点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程如2+42

®®对点题必刷题

1.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2%的是

()

A.B.「y2=i

C.^—x2=lD./—^=1

答案C

解析双曲线,一:=i和5―1=1的渐近线方程分别为‘一营

=0和，一，=0.A、B选项中双曲线的焦点在％轴上，C、D选项中

双曲线的焦点在y轴上，又令彳一x2：。，得旷=±2%,令产一手=0,

得旷=±5，故选C.

2.已知双曲线一方=1的离心率e=l，且其右焦点为尸2（5,0）,

则双曲线C的方程为（）

x2y2x2y2

A.「］=lB-9-16=1

Ct_忆1D--^=l

c169141

答案C

解析由题意得e={1+*=1，又右焦点为尸2（5,0）,a2+h2

y2

—（?9所以屋=16,加=9,故双曲线C的方程为正一歹=1.

会一方=1（。>0,8>0）的一条渐近线过点（2,S）,且双曲线的一

个焦点在抛物线V=4巾％的准线上，则双曲线的方程为（）

A^_j

A-21281氏28211

41u431

答案D

解析由题意可得（=坐，c=y/7,又/=7=〃+%解得〃=4,

/=3,故双曲线的方程为差一q=1.

C的离心率为2,焦点为丹，/2,点A在。上.若向A|=2尸刈,

则cosNABR=()

1

B二

4-3

C近D也

J4u-3

答案A

解析...双曲线的离心率为2,..5=2,

：.a":c=l：小：2.

\AFi\-\AF2\=2a,

1KAi=2旧

A\AF]\=4a,\AF2\=2a,

：.\FiF2\=2c=4a,

|AB|2+|FE|2一|AB|2

COSXAF2F1—

2IAF2IIF1F2I

4a2+16次一16a24a21

2X2aX4a—=16«5=4,选\•

5.设双曲线C经过点(2,2),且与?一9=1具有相同渐近线，则

。的方程为;渐近线方程为

Y2V2

答案75=1y=±2x

解析双曲线?一r=1的渐近线方程为尸=±".

99

设与双曲线;一好=1有共同渐近线的方程为方一片="丸力0),又

22

(2,2)在双曲线上，故％"-22=2,解得2=—3.

故所求双曲线方程为?T=-3,即与一号L

所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.

6.如图所示，已知双曲线以长方形A3CZ)的顶点A,B为左、

右焦点，且双曲线过C,。两顶点.若4B=4,BC=3,则此双曲线

的标准方程为.

答案^一£=1

解析设双曲线的标准方程为最一£=13〉0,b>0).由题意得

8(2,0),C(2,3),

4=a2-hb2,

a2=1,

•.jn解得<

力2=3,

二.双曲线的标准方程为^-^=1.

7.已知双曲线的渐近线方程为2d3y=0,且焦距是2亚，则双

曲线方程为.

答案看_;=1或»1

解析设双曲线方程为卷一看="2W0).

若2>0,则层=9九从=42,

c2=a2-\-b2=l3L

由题设知2c=245,「.2=1,

故所求双曲线方程为5一1=1；

若kO,则〃2=—4%,岳=一9九

222

C=6Z+Z?=—132.由2c=2y[139.*.2=—1,

故所求双曲线方程为1—5=1.

今y

综上，所求双曲线方程为三一%=1或5=1.

y4-4-y

噩考点二双曲线的几何性质

础点重难点

1双曲线的几何性质

标准方程^~^-=1(«>0,6>0)号一%=l(a>0">0)

aIfaI)

范围或z&—aGRzGR.y'a或y《一a

对称性对称轴：坐标轴;对称中心:原点

顶点坐标：顶点坐标：

顶点

—a

A(—a?0)?A2(。，0)A1(09)?A2(0?a)

,h।a

渐近线y一土一x一工

a

离心率e=—,(1,+00)，其中c=J优+If

a---------

线段A/2叫做双曲线的笑触，它的长|A|4|=

2a；线段BB叫做双曲线的虚翅，它的长|因与1

轴}2

=2〃；a叫做双曲线的实半轴长，〃叫做双曲线的

虚半轴长

2等轴双曲线及性质

(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相笠的双曲线叫做等轴双曲线,

其标准方程可写作：y2=/QW0).

(2)等轴双曲线=离心率两条渐近线y=±x相互垂直.

3点P(%o,yo)和双曲线也一方=1(。>0,8>0)的关系

⑴尸在双曲线内(含焦点部分)j—孰；

(2)尸在双曲线上o3一*=1；

(3)P在双曲线外(不含焦点部分)4T<1.

储)注意点双曲线的离心率与曲线开口大小的关系

离心率e的取值范围：e>l,当e越接近于1时，双曲线开口越

小；e越接近于+8时，双曲线开口越大.

JJI0小题快做；

1.思维辨析

(1)双曲线方程亲一三=“心0,〃〉0,2N0)的渐近线方程是轰一3

illILIII'iv

=0,即*±、=0.()

(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于表.()

(3)若双曲线点一g=l(a〉0,匕＞0)与:一%=1(。＞0,〃〉0)的离心率

分别是为，02,则t+*=1(此结论中两条双曲线称为共甄双曲

线).()

(4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是仁川田+1.()

答案⑴J(2)V(3)V(4)X

2.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y

轴上，一条渐近线方程为％—2y=0,则它的离心率为()

A.小B坐

C.小D.2

答案A

解析依题意设双曲线的方程是5―3=1(其中。＞。，8＞0)，则

其渐近线方程是尸土右，由题知方=今即匕=2a,因此其离心率e=

N屋+炉—小a_r-

a-a"~"Y・

92

3.以椭圆]+]=l的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近

线方程为.

答案

?9

解析椭圆了+]=1的焦点坐标为(1,0),(—1,0),顶点坐标为

(2,0),(—2,0).

则双曲线的顶点为(1,0),(-1,0),焦点为(2,0),(-2,0).

则双曲线的标准方程为：^-^-=1.

其渐近线为y=±\［3x.

话命题法解题法

>［考法综述］高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运

用为主，双曲线独有的渐近线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考

查，难度较大.

命题法双曲线的几何性质

典例⑴已知K、F2分别是双曲线了一方=1(。>0,8>0)的左、

右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条

渐近线于点“，若点M在以线段为直径的圆外，则双曲线离心

率的取值范围是()

A.(1,也)B.(也，小)

C.(小，2)D.(2,+8)

(2)过双曲线，一方=l(a>0,h>0)的左焦点尸作圆O：j^+y^—a2

的两条切线，切点为A,B,双曲线左顶点为C,若NAC8=120。，

则双曲线的渐近线方程为()

A.y=±\f?>xB.y=土半工

C.y=±\［2xD.y=土乎工

［解析］(1)如图所示，过点F2(c,0)且与渐近线y=^x平行的直

(b/、

bby=L)，

线为c),与另一条渐近线y=一不联立得<

ClClp

y=­r,

ca

..•点”在以线段尸产2为直径的圆外,

?.\OM\>c,

即与行野>0，得行价>2.

/.双曲线离心率e=，、J1+g>>2.

故双曲线离心率的取值范围是(2,+-).故选D.

(2)如图所示，设双曲线/一台=l(q〉O,Z?〉0)的焦距为2c(c>0),

则C(~a,0),F(-c,0).

由双曲线和圆的对称性知，点A与点3关于％轴对称，则NACO

=/BCO=IACB=gx120°=60°.

'：\OA\=\OC\=a,「.△ACO为等边三角形，AZAOC=60°.

:胡切圆。于点A,：.OA±FA,

在RtAAOF中，ZAFO=900-ZAOF=90°-60°=30°,

'.\OF\=2\OA\,即c=2a,.,.b=ylc2—a2=yj(2a)2—a2=-\j3a,故

双曲线技=1(。>。，b>0)的渐近线方程为产等，即

［答案］(1)D(2)A

Q【解题法】求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法

(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关

于双曲线基本量q,b,c的方程或不等式，利用。2=/一次和e=\转

化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或

取值范围.

(2)求渐近线时，利用/=层+块转化为关于凡人的方程或不等

式.双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.

即对点题必刷题

1.已知4,3为双曲线上的左，右顶点，点M在E上，/XABM

为等腰三角形，且顶角为120。，则E的离心率为()

A.小B.2

C.小D.^2

答案D

解析设双曲线方程为，一技=1（。>0,0>0）,不妨设点M在双

曲线的右支上，如图，AB=BM=2a,ZMBA=nO°,作轴于

H,则NM3H=60°,BH=a,MH=@a,所以M（2"，小a）.将点M

的坐标代入双曲线方程:一方=1,得a=b,所以e=隹故选D.

?2

E：方一言=1的左、右焦点分别为K,点P在双曲线E上,

且|尸丹|=3,贝1JIPF2I等于（）

A.11B.9

C.5D.3

答案B

解析解法一：依题意知，点尸在双曲线的左支上，根据双曲线

的定义，得|PB|TPR|=2X3=6,所以|P尸21=6+3=9,故选B.

解法二:根据双曲线的定义，得||尸尸21Tp尸111=2X3=6,所以||PB|

一3|=6,所以出尸2|=9或任尸2|=-3（舍去）故选B.

3.将离心率为臼的双曲线Ci的实半轴长a和虚半轴长b（a^b）

同时增加双心0）个单位长度，得到离心率为C2的双曲线。2，则（）

A.对任意的a,b,e\>ei

B.当时，ei>e2；当时，e\<ei

C.对任意的a,b,e\<e2

D.当a>b时，e\<ei；当a<b时,e\>ei

答案D

八附*+-I~~7y\』(。+咽2+3+咽2

解析依题意，ei=、一='/1+-2,02=止----『-----

a\l\a)a+m

/,(一,bb+mah-\~hm—ah-amm(h—a)

-A/1_L------2因为匕_----=---------------=-1------L

\a-Vm)'Jaa-\~ma(a-\-m)a(a-\-m)'由于

bh~\~tTibb~\~m

心。〉且i所以当泌时，

0,0">0,a0<-<1,0<^a'a+m,

3＜仁司，所以田但当小时，?1,而尸，而/不/所

以匕忖。石涓所以臼＞62•所以当。知时，臼々2；当时，e\＞ez,

故选D.

4.过双曲线％2—]=1的右焦点且与％轴垂直的直线，交该双曲

线的两条渐近线于A,3两点，则|AB|=（）

B.25

C.6D.4-73

答案D

解析由双曲线的标准方程/一苧=1得，右焦点尸（2,0）,两条

渐近线方程为y=±V5x,直线A&x=2,所以不妨取4（2,2小），BQ,

—24），则|A3|=4小，选D.

/为双曲线C：f一/22：?m（机＞0）的一个焦点，则点/到C的一

条渐近线的距离为（）

A.小B.3

C.小mD.3m

答案A

fy2

解析由题意，可得双曲线c为就一5=1,则双曲线的半焦距

c=、3/n+3.不妨取右焦点（、3加+3,0）,其渐近线方程为y=+七％,

*=祗故选A.

即x±\[myd=

7l+m

/v2V?

6.若实数“满足04<9,则曲线行一力=1与曲线目苫

1的（）

A.焦距相等B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等D.离心率相等

答案A

9222

解析因为0<%<9,所以方程会一占=1与—葛=1均表

2D9—/C25—k9

示焦点在％轴上的双曲线.双曲线短一为=1中，其实轴长为10,

2D9—K

_22

虚轴长为2帜耳，焦距为2425+9——=2寸34一依双曲线盛二一庆

NDK

=1中，其实轴长为2、25-鼠虚轴长为6,焦距为2425T+9=

2d34—左.因此两曲线的焦距相等,故选A.

29

7.已知a>h>0,椭圆G的方程为a十%=1,双曲线C2的方程

为摄一£=1，G与。2的离心率之积为坐则G的渐近线方程为（）

A.x±\/2y=0B.正%土y=0

C.%±2y=0D.2x±y=0

答案A

解析由题意，知椭圆G的离心率4=咛^,

双曲线。2的离心率为62=+?].

国力近\l（a2-b2）（a2+b2）近

因为61七2=2，所以〃2=2'

（足一炉）（9+匕2）3

即U一不

整理可得。=啦尻

又双曲线C2的渐近线方程为bx±ay=O,

所以hx±\f2hy—0,即x±\/2y=0.

Fi,B分别为双曲线/一5=1（。＞。，〃＞。）的左、右焦点，双曲线

9

上存在一点P使得|尸碎+|尸尸2|=3。，\PFi\-\PF2\=^ab,则该双曲线的

离心率为（）

A-3Bl

9

C.4D.3

答案B

解析根据双曲线的定义||PK|-|PF2||=2Q,可得1PBi2一

22

2\PFS\\PF2\+|尸尸2F=4a2.而由已知可得|PFi|+2|PFI||PF2|+|PF2|=

9

9b2,两式作差可得一4|尸凡|伊眄|=4〃一9".又小川|尸产2|=不也所以有

44+9M—9/=0,即（4。-3加（a+3份=0,得4a=3b,平方得16屋

=9b2,即16a2=9（廿一=）,即25a2=婚,%=掌所以e=本故选

B.

9.点。在双曲线了一台=1（。＞0,入0）上，Fi,6分别是双曲线

的左、右焦点，ZFIPF2=90°,且△BPB的三条边长之比为3：4：

5.则双曲线的渐近线方程是（)

A.y=±2-\[3xB.y—+4x

C.y=±2y/5xD.y=±2#x

答案D

解析设△丹尸眄的三条边长为|PFi|=3m,|P眄|=4机，|FIF2|=

5m,m>0,则2a=\PF2\—\PF\\=m,2c=\F]F2\=5m,所以b=y[6m,

所以5=辔=2#，所以双曲线的渐近线方程是尸土2显

2m

10.设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为B,F2,以为直

径的圆交双曲线于A、B、C、D四点,则|BA|+|B3|+尸1CI+IBQI

=（）

A.4小B.2小

C.小D坐

答案A

解析依题意，设题中的双曲线方程是■?一尸=1,不妨设点A、

B、C、。依次位于第一、二、三、四象限，则有

|AFI|-|AF|=2

2,由此解得依尸1|=小+1,依尸2|=小一

222

|AFI|+|AF2|=|FIF2|=8

1,同理|0尸1|=依尸||=小+1,|。6|=|56|=/同=小一1,|AFi|+|BFi|

+|CFi|+|DFi|=4V3,选A.

11.已知点尸是双曲线了一台=1（。>0,〃>0）右支上一点，F\,Fl

分别是双曲线的左、右焦点，I为△PFB的内心，若

S丛JPF=IPP4犷?

।2成立，则双曲线的离心率为（）

A.4B.|

D.|

C.2

答案C

解析

设+/，△尸BB的内切圆的半径为广，则

IPBITPBI=2。，尸出|=2。，S&PF=^-\PF}\•厂，

乙

=歹1P尸21,厂，S~FJ,=歹1尸]尸2I

IPF.乙I/乙

由SA/PF：=SAIPF+]-SA/F|F,，

得1;（I尸F/一|PF2l"=；X；|F]F2l•厂，，c=2a.

乙2乙乙

，双曲线的离心率为e=—=2.

a

12.设厂是双曲线C会一后=1的一个焦点.若C上存在点尸,

使线段。尸的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.

答案书

解析由已知不妨设F（—c,O）,虚轴的一个端点为5（0,b）,B

，（2/7）2

恰为线段尸尸的中点，故尸（c,2力，代入双曲线方程，由兴一野=1

得，=5,即e2=5,又e>l,故e=小.

丫2

13.已知双曲线浜一y2=i（q>o）的一条渐近线为小%+）=（）,则Q

答案当

解析因为双曲线，一y=1（。>0）的一条渐近线为y=一仍%,即

y=[x,所以}=小，故。=坐.

14.设直线％—3>+"2=0（机力0）与双曲线了一方=l（a〉0,。>0）的

两条渐近线分别交于点48.若点P（八0）满足|%|=|PB|,则该双曲线

的离心率是•

答案坐

x—3y+m=0,/,、

{.,=《{38a一m。'3bm-J\

11—3y+m=0,,、

I/日Jz_ambm

v=——r侍33b+a'3b+a/

则线段AB的中点为“g/_4，9._〃2/

由题意得PMJ-AB,・,•如w=—3,得〃=4/?2=4,一4〃，故/=

5.=正

4*''e~2'

15.设为,凡是双曲线C/一方=l(a〉0,配>0)的两个焦点,P

是C上一点.若|PFi|+|PB|=6a,且APR尸2的最小内角为30。,则C

的离心率为.

答案V3

解析不妨设点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义知|PB|

-\PF2\=2a,

又因为IPRI+IP尸2|=6”,所以|P尸i|=4a,\PF2\=2a,

因为|PE|>|PF2],所以NPBB为最小内角，因此NPFi£=30。，

222

在△PFyFi中，由余弦定理可知，\PF2\=|PF)|+|F]F2|-

21PBi•|QB|-cos30。，即4次=16屋+41?—8小ac,所以/一2小"+3层

=0,两边同除以。2,得e?—2仍6+3=0,解得e=小.

R丫2

16.已知双曲线了一方=l(q>0,h>0)的左、右焦点分别为Fi,

/2，点P在双曲线的右支上，且|尸产1|=4|尸6|，则双曲线的离心率e

的最大值为.

答案1

解析设NFiPF2=e,

8

为|=乎,

\PFi\~\PF\=2a,IP

由'2得q

JPFI|=4|PF|

2\PF2\=^a,

1人小、m/日17〃-9c2179

由余弦定理传cos8=^2=至-o

179।5

V^G(O,TI],/.cos0e[-l,l),-1^e2<l，又e>l,

88'J

学霸错题警示题目条件考虑不到位致错

区已知圆G：(x+3)2+y2=i和圆。2：(%—3)2+》2=9,动圆M

同时与圆G及圆。2外切，求动圆圆心M的轨迹方程.

［错解］

新图的尔,设动圆M与圆。皮圆

—一两圆夕卜切的条件，.

IMC/TA&I二IMAI,

/MQH3CJ二MM

因若IMAI=IMP1,前队IMC/TA&I二

IMCJ一伙」,评IMCJTM&I二IMJTACJ

二3一/二2・

衿认息M例两定息。，Q的隐寓的是是尊教.

又楸杨双曲戏的定义，将动以M的执进方

双曲戏，可设执迹方41为

/y2

卞一忑二/（co,"。），属中4二/,

。=3,照2=工

y2

故以M的执迹为#为7』y二/.

［错因分析］在解答本题时，容易因错误运用双曲线的定义而出

错.本题中，|MQ|—|MG|=2,与双曲线的定义相比，等式左边少了

外层绝对值，因此只能表示双曲线的一支，如果不注意这一点，就会

得出点M的轨迹方程为^-t=1这一错误结果.

O

［正解］如图所示，设动圆M与圆G及圆Q分别外切于A和8

两点.连接MG,MCi.

根据两圆外切的条件，得

\MC\\~\ACi\=\MA\,\MC2\-\BC2\=\MB\.

因^J\MA\=\MB\,所以|MCi|—|AC|=|MQ|一|BQ|,即|MC2|-|MCI|

=|BC2|-|ACI|=3-1=2.

所以点M到两定点G,C2的距离的差是常数.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与

Q的距离比与G的距离大)，可设轨迹方程为，一养=1(。>0,b>0,

x<0),其中a=l,c—3,则。2=8.

故点M的轨迹方程为r―?=l(x<0).

O

［心得体会］

在双曲戏的定义中，有两支是缺。不可的：

其一，-往//二2a;/2z?<2xs.^r^界

第二个条件，JL动点与两定息的跟离之差若靠

数，©不是吴的他对面有多数，肝么魂执进R

能是双曲我的。支.

[9课时撬分练

时间：60分钟

基础组

“2016・武邑中学模拟]已知双曲线a一方=1的一个焦点与抛物

线V=4%的焦点重合，且双曲线的离心率等于小，则该双曲线的方

程为（）

A.5/一去=1B.y—^=1

C.-^—^-=1D.5好一与=1

答案D

解析•..抛物线的焦点为尸（1,0）,..==：1.

又（=小，.•々=古，.•.〃=/_*=1一]='

故所求方程为5/—苧=1,故选D.

22

2.[2016•枣强中学一轮检测「m<8”是“方程r一—=1表

m—10m—0

示双曲线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

/丫2_

解析方程右一Q=1表示双曲线，贝1(机一8)(加-10)>0,

解得m<8或相>10,故％<8”是“方程’4；；一二4=1表示双曲线”

m—10m—8

的充分不必要条件，故选A.

3.[2016彳氮水中学周测]已知点M(—3,0)、N(3,0)、3(1,0),动圆C

与直线MN相切于点B,分别过点M、N且与圆C相切的两条直线相

交于点P,则点P的轨迹方程为()

y2y2

A.x1—=l(x>l)B.x2—=l(x>0)

oQi1nU

y2y2

C.x2—Q=l(^>0)D.A2—777=l(x>l)

oiU

答案A

解析如图所示，设两切线分别与圆相切于点S、T,则|PM|一|PN|

=(|PS|+|SM)一(|P71+I力7])=好加一|孙=|8加|一|82=2=24,所以所

求曲线为双曲线的右支且不能与％轴相交，a=l,c=3,所以炉=8,

故点P的轨迹方程为/—^•=l(x>l).

O

4.[2016•冀州中学月考]以正三角形ABC的顶点A,8为焦点的

双曲线恰好平分边AC,BC,则双曲线的离心率为()

A.A/3-1B.2

0^3+1D.2小

答案C

解析如图，设|AB|=2c,显然|AQ|=c,|3D|=Sc,即(仍一l)c

=2〃,

=小+1,

^3—1

选C.

22

5.[2016•武邑中学周测]已知双曲线%一东=1（。>0,6〉0）的离心

率为小，则双曲线的渐近线方程为（）

B.y=±\l2x

C.y=±2xD.y=±^x

答案A

解析由题意得，双曲线的离心率e=：=S，故方=乎，故双曲

线的渐近线方程为y=±票;，选A.

/2

小丫2

6.[2016箱水中学月考]已知双曲线C：混一力=1（“>0,b>0）的焦

距为2小，抛物线）=奈+1与双曲线。的渐近线相切，则双曲线C

的方程为（）

答案D

解析由对称性，取一条渐近线y=,x即可，把y=/代入尸卷

1h1

2

f+l,得lo—不a+1=0,由题a意得Jl=o-2—4XT7X1=0,即a=

4扶,又c=小，.'.c2=a2-\-b2=5b2=5,h2=1,a2=4,选D.

jp-y?-

7.[2016•枣强中学猜题]已知双曲线%=l(a>0,/»0)的左焦

点、为Fi,左、右顶点分别为4、A2,P为双曲线上任意一点，则分别

以线段PE,4自2为直径的两个圆的位置关系为()

A.相交B.相切

C.相离D.以上情况都有可能

答案B

解析设以线段尸B,AN2为直径的两圆的半径分别为小〃2,

若P在双曲线左支，如图所示，则IO2O11=30F2I=/1尸Fl|+2a)=^PFxI

+a=n+r2,即圆心距为半径之和，两圆外切，若尸在双曲线右支，

同理求得|。2。||=为一-2,故此时，两圆相内切，综上，两圆相切，故

选B.

8.[2016彳断水中学期中]已知回，/2为双曲线C：f—y=2的左、

右焦点，点P在C上，|PFI|=2|PF2|,则COSN~PF2=()

13

A--

45

34

c--

45

答案c

解析由题意可知c=2.

■：\PF]\=2\PF2\,又I尸碎一|PB|=2啦，

：.附=4P,|P尸2|=2吸，尸产21=4.

222

।人心、目|PFI|+|PF2|-|FIF|

由余弦定理管cosNFiPFi=IIP?"I2

Z|rri|-|rr2|

（4立）2+（2啦）2—423

-2X272X4-72.4,故选C

9.[2016•武邑中学期中]设B,尸2是双曲线好一段=1的两个焦

点，P是双曲线上的一点，且31PBi=4|P£|,则△尸西眄的面积等于

（）

A.4啦B.8^3

C.24D.48

答案C

解析双曲线的实轴长为2,焦距为尸产2|=2义5=10.据题意和

双曲线的定义知，2=|尸B|-\PF2\=||PF2|-\PF2\=||PF2|,

：.\PF2\=6,I尸尸I[=8.

222

.,.|PFI|+|PF2|=|FIF2|,

：.PF\YPFI,

/.5APF|F2=1|PFIMPF2|=1X6X8=24,故选C.

10.[2016箱水中学期末]已知Fl,凡是双曲线了一右=l（Q>0,

匕>0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点B关于直线y

b、

=/对称，则该双曲线的离心率为（）

A.坐B乖

C.A/2D.2

答案B

解析由题意可知渐近线为的中垂线，设M为的中点,

MF，b

所以。W，PF2.tanNMQF2=j）=Z，因为0F2=c,所以MF2="

OM=a.因此PF2=2b,PFi=2a,又因为PF2一尸/i=2a,所以b=2a,

则c^=a2+b2=5a2,即c=yf5a,故户巨福

11.[2016•冀州中学期末]若双曲线下一台=1（〃>0,於0）的一个焦

点到一条渐近线的距离等于焦距的;，则该双曲线的离心率为

答案苧