高考数学难点归纳(22套)

难点1集合思想及应用

集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识

和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的

观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用._

・难点磁场一

(★★★★★)已知集合A={(x,y)M+,”x—y+2=0},B={(x,y)k—y+1=0,且0WxW2}，如果AA

8W0,求实数，〃的取值范围._

・案例探究一

［例1］设4={(x,y)|)，2—x—l=0},B={a,y)|4f+2x—2y+5=0},C={(x,y)|y=fcv+M,是否存在k、

方6电使得0。8)门6=0,证明此结论._

命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨

出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目、

知识依托：解决此题的闪光点是将条件(AU8)nC=0转化为ACC=0且BAC=0,这

样难度就降低了

错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内

涵，因而可能感觉无从下手、

技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行

限制，可得到仄女的范围，又因仄&GN,进而可得值、

解：；(4UB)nC=0,且BCC=0

:.1,必x+(2bk—l)x+/?2—1=0_

y=kx+b

VAAC=0

:./i=(2秘一I)?一4产(/-1)<0_

.・.4后一4必+1<0,此不等式有解，其充要条件是16层—16>0,即比>1(D,

.・4x2+2x-2y+5=0

♦V

y=kx+b

：.4f+(2-2k)x+(5+2b)=0_

BC\C=0,/.d2=(1—A)?—4(5—2/>)<0_

42-2k+8〃-19<0,从而助<20,即b<2.5②.

由①②及bEN,得h=2代入由由<0和42<0组成的不等式组，得一

4%2-诙+1<0,

k2-2k-3<0

;1,故存在自然数61/=2,使得(AUB)nC=0._

［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体

的五分之三，其余的不赞成，赞成8的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B

都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和

都不赞成的学生各有多少人？_

命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考

生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目._

知识依托:解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来._

错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索、

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.一

解：赞成A的人数为50义±=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图，记50名学生组

5

成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B._

设对事件A、B都赞成的学生人数为尤，则对4、8都不赞成的学生人数为土+1,赞成A而

3

不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33—

Y

依题意(30—x)+(33—x)+x+(—+1)=50,解得x=21.

3

所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人、

•锦囊妙计一

1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用

描述法给出的集合{x|xWP},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重

视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题、

2.注意空集。的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，

如Aq氏则有A=0或AW0两种可能，此时应分类讨论._

・歼灭难点训练一

一、选择题.

1.(★★★★)集合M={x\x=—+—,k^7J],N={x\x^—+—，kGZ},贝！]()

2422

A.M=NB.M^NC.MSVD.MCN=0

2.(****)己知集合A={x|-2WxW7},8={x|，〃+l<x<2,〃-1}且BW0,若AUB=A,则

().

A,-3WWJW4B.-3<m<4

C.2</»<4D.2<mW4_

二、填空题一

3.(****)已知集合A={xGR|ax2—3x+2=0,aGR},若A中元素至多有1个，则a的取

值范围是..

4.(十★★★)》、yGR,A={(x,y)|P+y2=1}石={(x,y)|=1,。>0力>0},当AC3只有一个元

ab

素时，。力的关系式是..

三、解答题_

5.(***1^*)集合A={x|x2—av+a2—19=0},B={x|log2(x2—5x+8)=l},C={x|x2+2x—8=0},

求当a取什么实数时，4r18E。和4DC=0同时成立、

6.(*****)5,知{a“}是等差数列，d为公差且不为0,0和d均为实数，它的前〃项

C1

和记作S”,设集合4={3D|"GN*},B=g)|—?-y2=U,yeR}.,

n4

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明、

(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；一

(2)4CB至多有一个元素；

(3)当〃|工0时，一定有AC1BW0.

己知集合A={z||z—2|<2,zCC},集合B={w|w=Lzi+b,bGR},当AAB=B时，

2

求b的值.

8.(****)设_/(犬)=f+0田+勺4=3^=；/(工)},8={巾[/(x)]=x}.

(1)求证：A^B;

(2)如果A={-1,3},求A

参考答案

难点磁场

一2八

左力i.x+nix-y+2=0,口2,一、.八八

解：由《得x"+(m—l)x+1=0①

x-y+1=0(0<x<2)

・.,AG5W0

・・・方程①在区间［0,2］上至少有一个实数解.

首先，由4=(〃?-I)?—420,得加23或mW—1,当机23时，由x\+x2=~Qn—1)<0及

天阳=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.

当mW—1时、由即+必二一(m—1)>。及r、2=1>。知，方程①只有正根，且必有一根在区

间(0,1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0,2］内.

故所求m的取值范围是加W—1.

歼灭难点训练

一、1.解析：对M将女分成两类：k=2n或k=2n^-1(nZ),A/={x\x=n-^+―簿£Z}U{x\x=

4

37r7T

n开+——，〃&Z},对N将％分成四类，k=4n或k=4n+l,k=4n+2,k=4n-^3(n^Z),N={x\x=n丸+—，几

42

37r57r

WZ}U［x\x=n丸+——,〃£Z}U{x|x=7?开+%,〃£Z}U{x\x=n不+——，〃仁Z}.

44

答案：C

2.解析：TAUB=A,.・・81儿又8r0,

7??+1>-2

即2VmW4.

m+\<2m-1

答案：D

9

二、3.。=0或—

8

4.解析：由4nB只有1个交点知，圆d+y2=i与直线二一2=1相切，则1=ab,

ab777F

即ab=V«2+b2.

答案：ab=yla2+b2

三、5.解：1082(/—5%+8)=1,由止匕得^2—5犬+8=2,AB={2,3}-^3x2+2x—8=0,C={2,—

4},又AGC=0,・・・2和一4都不是关于x的方程f一分+〃2-19=0的解，而AAB学0,即A

A3W0,

：・3是关于x的方程X2—ar+cz2-19=0的解，，可得。=5或a=-2.

当〃=5时,得4={2,3},/.AnC={2},这与AC1G0不符合,所以〃=5(舍去)；当。=

一2时，可以求得A={3,-5),符合4GC=0,AAB^0,：.a=~2.

6.解：(1)正确.在等差数列{斯}中，S,产“('+%)，则&=2_(0+斯),这表明点3“,盘)的

2n2n

1s11

坐标适合方程y=—(x+〃i),于是点(〃小，■)均在直线产一x+—4]上.

(2)正确.设(xj)£AAd则(x,y)中的坐标应是方程组<的解，由方程组消

去y得：i2=-4(*),当〃尸0时，方程(*)无解，此时A05=0；当©WO时，方程(*)

-4-a]

只有一个解户4G,此时,方程组也只有一解1，故上述方程组至多有一解.

.•.ACB至多有一个元素.

C

(3)不正确.取。i=l,d=l,对一切的xCN*,有斯=0+(〃-1)内">0,。>0,这时集合A中的

元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于“1=1W0.如果40B片0,那么据(2)

的结论，AAZ?中至多有一个元素(沏,为)，而松=土尤=-2<0,比=幺±&=3<0,这样

2修524

的(如丁。)WA产生矛盾，故。尸1,4=1时4P13=0，所以伯#。时，一定有是不正

确的.

12w—2b

7.解：由杵Li+b得z=R”,

2w—2b

•.•zGA,，|z—2|<2,代入得|--------2|W2,化简得|w-S+i)区1.

i

二集合A、8在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2,0)为圆心,

半径为2的圆面，集合8表示以点S,l)为圆心，半径为1的圆面.

又ADB=B,即BqA,.,.两圆内含.

因此—2)2+(1-0)2W2—1,即(〃一2/W0,：.h=2.

8.(1)证明：设xo是集合A中的任一元素，即有

*：A={x\x=fix)]y：.x()=fixo).

即有/[|沏)]守5))=式0,；・尤。e氏故A18

(2)证明：,.,A={—l,3}二{x|x2+px+q=x},

・・・方程f+(p—l)x+g=O有两根一1和3,应用韦达定理，得

—1+3=-(p—1),/?=-1

(-1)x3=g\q=-3

/.y(x)=x2-x-3.

于是集合B的元素是方程f[/U)]=x,也即(？一元—3)2—(f—x—3)—3=x(*)的根.

将方程(*)变形，得(f-r—3)2-?=0

解得尤=1,3,百,一百.

故8={一6，-1,百，3}.

难点2充要条件的判定

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件〃和结论

q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定

给定的两个命题的充要关系.一

・难点磁场一

(★★★★★)已知关于x的实系数二次方程x1+ax+b=Q有两个实数根。、8,证明：|

a\<2且|?|<2是2间<4+6且以<4的充要条件.一

・案例探究一

[例1]已知p：|1一二壮|W2,q，-2x+l若广?是飞的必要而不充分条件,

求实数m的取值范围._

命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了

充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.一

知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生

对充要条件的难理解变得简单明了.一

错解分析:对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题,

学生本身存在着语言理解上的困难

技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，

再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决、

解：由题意知：一

命题：若Lp是F的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要

条件._

333'

q:d—2x+l—//Won[x—(1—m)][x—(1+/M)]WO*_

是夕的充分不必要条件，一

r——1

不等式|1——1^2的解集是2x+l—%2W0(m>0)解集的子集.

3

又m>0_

.,.不等式*的解集为1—

l-m<-2m>l

l+m>10in>9

.•.实数机的取值范围是[9,+8).一

[例2]已知数列｛斯｝的前n项S产p"+q(pWO,pWl),求数列｛斯｝是等比数列的充要条件一

命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.一

知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前”项和与通项之

间的递推关系，严格利用定义去判定.一

错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视

充分性的证明

技巧与方法：由斯=['("=D关系式去寻找斯与源+1的比值，但同时要注意充

分性的证明.一

ft?：a]=S]=p+q._

n1

当“22时，an=S,t—Sn-1=p~(p—1).

a(〃-1)

p'i(p—D

若｛恁｝为等比数列，则”=也=〃

%勺

.p(p-l)

••一〃，_

p+q

1・p—]=p+q,/.q=~\_

这是｛恁｝为等比数列的必要条件._

下面证明q=T是｛斯｝为等比数列的充分条件.一

n

当q=-1时，•\Sn=p—l(pWO,〃W1),ai=Si=p—1

n

当〃》2时，a,,=Sn—Sn-｝=p—p"'-p"'(p—l).

二a„=(p—l)p"~'(p于0,p手1).

宝可为常数一

：.q=~\时，数列｛〃■｝为等比数歹I即数列｛小｝是等比数列的充要条件为£一1.一

•锦囊妙计一

本难点所涉及的问题及解决方法主要有：一

(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则形式的命题为真时，就记

作p=q,称p是q的充分条件，同时称g是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件

就归结为判断命题的真假._

(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“O”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”,

“当且仅当”，“必须并且只需”，”……，反之也真”等._

(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念

的判断依据，又是概念所具有的性质,一

(4)从集合观点看，若A=3,则A是8的充分条件，B是4的必要条件；若4=B,则A、

B互为充要条件

(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆

命题成立(即条件的必要性)

・歼灭难点训练一

一、选择题_

1(★★★★)函数7U)=x|x+a|+/?是奇函数的充要条件是().

A.ab=OB.a+b=OC.a-bD.(z2+Z72=O_

ua=\n是函数y=cos2or-sin%x的最小正周期为"凌"的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件一

C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件一

二、填空题一

3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a—1)y=a—7平行且不重合的

4(★★★★)命题At两曲线F(x,y)=O和G(x,y)=O相交于点P(x(),yo),命题B：曲线尸(x,y)+

\G(x,y)=O(X为常数)过点「(向,见),则A是B的条件、

三、解答题

5.(*****)设。，£是方程，一方+〃=0的两个实根，试分析公2且6>1是两根。、

P均大于1的什么条件？

★★沱知数列｛斯｝、回｝满足：瓦产q+2%+…+也”，求证:数列｛%｝成等差

1+2+3H-----\-n

数列的充要条件是数列伯〃｝也是等差数列.

7.(★★★★★)已知抛物线C：产一小+"a—1和点A(3,0),8(0,3),求抛物线C与线

段AB有两个不同交点的充要条件.

8.(★★★★★)〃：一2<用<0,0<〃<1;夕:关于x的方程f+g+〃=0有2个小于1的正根,试分

析p是4的什么条件.(充要条件)

参考答案

难点磁场

证明：(1)充分性:由韦达定理，得依=|。•J3\=\a\•|jS|<2X2=4.

设犬x)=f+or+b,则>U)的图象是开口向上的抛物线.

又|。|<2,|£|<2,<.贝士2)>0.

4+2a+b>0

即有=>4+b>2〃>—(4+份

4—2a+h>0

又用V4n4+6>0=2\a\<4+b

(2)必要性:

由2|a|V4+6n犬±2)>0且火x)的图象是开口向上的抛物线.

二方程次x)=0的两根a,8同在(一2,2)内或无实根.

£是方程式x)=0的实根，

£同在(一2,2)内，即|。|<2且|£|<2.

歼灭难点训练

一、1.解析：若/+/=(),即“=/?=(),此时火一x)=(—x)|x+O|+O=-x•园=-51+0|+6)

=­(x|x+a|+6)=—fix).

...”2+/)2=0是於)为奇函数的充分条件，又若<x)=x|x+a|+6是奇函数，即八-x)=

(一x)|(—x)+a|+6=—/(x),贝I」必有a=i>=0,即a2+b2-O.

.­.a2+h2=O是/(x)为奇函数的必要条件.

答案：D

2.解析：若〃=1,则yucosZx-sidxFosZx,此时y的最小正周期为".故a=\是充分条件，

反过来，由产cos2ar—sin2kcos2〃x.故函数y的最小正周期为〃，则a=±l,故a=l不是必要

条件.

答案：A

二、3.解析：当〃=3时，直线/|：3x+2)+9=0;直线/2：3x+2y+4=0.；/|与6的A：：&=1:

1,而G：G=9：4W1,即G#C2,，a=3o/i〃/2.

答案：充要条件

4.解析：若P(xo,yo)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则尸(沏,加+4G(沏,加=0,即F(x,y)+

4G(x,y)=0,过尸(xojo)；反之不成立.

答案：充分不必要

a>\、H

三、5.解：根据韦达定理得。=。+£力=。£.判定的条件是p:,结论是如”J注

意p中a、b满足的前提是4=/-4620)

a>1

⑴由，,得a=a+8>2,b=a8>l,：.q=p

［尸>1

⑵为证明内切,可以举出反例：取，它满足a=a+£=4+；>2力=a£=4X

；=2>1,但q不成立.

综上讨论可知a>2,b>\是的必要但不充分条件.

6.证明：①必要性：

设｛斯｝成等差数列,公差为4•・•｛斯｝成等差数列.

a+2%H----1■加〃_a](l+2+—+〃)+d[l・2+2・3d------F(M—l)n]

•,也=y

1+2+3+・・・+〃1+/7T-----卜〃

222

从而/?〃+]—/?产。1+〃•—d—a\—（n—\）—公一d为常数.

333

2

故｛乩｝是等差数列，公差为4d.

3

②充分性：

设｛6〃｝是等差数列，公差为d',则b〃=(〃一l)d

e,①

*/bfi(l+2+,,•+n)=ai+2。2+,

b〃-i(l+2+…l)=a]+2〃2+…+(〃-1)。〃②

①一②得：“年心田2

2

〃+1,n-\n+\n—13

be=〒回+(〃一1)"]一〒曲+(〃一2)d]=4+(n-l)--d',

从而得am—a“=』d'为常数，故｛斯｝是等差数列.

2

综上所述，数列｛”.｝成等差数列的充要条件是数列｛儿｝也是等差数列.

7.解：①必要性：

由已知得，线段AB的方程为）=-x+3（0Wx<3）

由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，

；二:募XU*有两个不同的实数解

所以方程组

消元得：（〃?+I）X+4=0（0WXW3）

设於）=，一（加+1）犬+4,则有

A=(m+1)2-4x4>0

/(0)=4>0

/(3)=9-3(n?+l)+42On3<m<^

八6+1c

0<-------<3

2

②充分性：

当3<xwW时,

3

m+\业+1)2]6>m+]"”+1)2>0

所----

22

_____________102

H7+1—J(〃Z+1)2—16<3+1+.(―+1)-16

工2—U---

22=3

，方程%2—（7?Z+1）X+4=0有两个不等的实根孙必,且0<修V》2W3,方程组*有两组不同的

实数解.

因此，抛物线产一f+,nx—l和线段AB有两个不同交点的充要条件

3

8.解：若关于X的方程f+//2X+〃=0有2个小于1的正根，设为力]42.

则0<曲Vl,OVx2Vl，有0VXI+X2<2且0<曲必<1,

『仁—efxi+x=一机/口f0<-/w<2

根据韦达定理：\129得

凶工2=〃[0<H<1

有一2VmV0;0</7Vl即有qnp.

反之，取m=~—,z?=-!-,x2——x+—=0,A=——4x—<0

323292

方程x2+fwc+n=0无实根，所以p=^q

综上所述，〃是q的必要不充分条件.

难点3运用向量法解题

平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大

了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问

题.一

・难点磁场一

(★★★★★)三角形ABC中，A(5,—1)、B(—1,7)、C(l,2),求：(1)BC边上的中线

AM的长；(2)/CAB的平分线4。的长；(3)cosABC的值、

・案例探究一

［例1］如图，己知平行六面体488—.........-yA

⑴求证：C\CA-BD._////

(2)当黑■的值为多少时，能使AC，平面GBD?请给出证…以卜

命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体儿何图

形的解读能力、

知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题

代数化，使繁琐的论证变得简单、

错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就

是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.一

技巧与方法：利用a_L&oa・b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数

量积为零即可、

(1)证明：设丽=a,W="西=c，依题意，同=步|,CD,CB西中两两所成夹

角为9,于是BD=CD-DB=a—b,CC{-BD=c(a—b)=c,a~c'b=\c\,|a|cos9—\c\•|Z>|cos

(2)解：若使AC,平面G8D,只须证AC_LBD,AXCLDCV.

由育杀=(N+羽)•(五>-兀)

=(a+b+c),(a—c)=|a|2+a•b~b•c—|c|2=|a|2—|c|2+|ft|,|a|cos。一网•|c|•cos。=0，得.

当|a|=|c|时，AC_L£>G，同理可证当⑷=|c|时，AyCVBD,.

CD

**•------=1时，AjC_L平面GBD._

CCj

［例2］如图，直三棱柱ABC-4&G，底面△A8C中，

CA=CB=\fZBCA=90°,44尸2,M、N分别是4历、Ap4的中

点-_J］

⑴求丽的长；_"卜、L

(2)求cos<%,C4>的值；_

(3)求证：A\BYC\M._

命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属一

★★★★级题目、

知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系。一盯z,进而找到点的坐标

和求出向量的坐标、

错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标

技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy内的A、B、C点坐标，然后利用向量的模及

方向来找出其他的点的坐标

(1)解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系。一xyz._

依题意得：8(0,1,0),N(l，0,1).

二IBN\=7(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=73..

⑵解:依题意得:A|(l,0,2),C(0,0,0),Bi(0,1,2)..

...两=(1,一1,2),函=(0,1,2).

可•函=1X0+(-l)X1+2X2=3.

I丽1=41-0)2+(0_11+(2-0)2=V6

I西1=J(0-0)2+(l-0)2+(2-0)2=V5

两.两3同

cos<BA,,CB1

\BCt\-\CB,|V6-V510

(3)证明：依题意得：G(0,0,2),M(-,-,2)

22_

QW=4，1,0),^B=(-l,l,-2)

,-----*11----------*

・•・A1B-CIM=(-1)X-+1X--F(-2)X0=0,/MIB±C1M,

・・・A/_LGM_

•锦囊妙计一

1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地

进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转

化和密切结合的思想.一

2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直

角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直

线的夹角和两点间距离的问题

3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：一

(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？一

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？_

(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未

知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？.

(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？一

・歼灭难点训练一

一、选择题_

1.(★★★★)设A、B、C、D四点坐标依次是(一1,0),(0,2),(4,3),(3,1),则四

边形ABCD为().

A.正方形B.矩形

C.菱形D.平行四边形

2.(****)已知△ABCAB=a,AC=b,a,b<0,SAABC=—,|a|=3,|6|=5,则。与6

4

的夹角是()

A.30°B.-1500C.150°D.30°或150°

二、填空题

3.(*****)将二次函数的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数产比一5

的图象只有一个公共点(3,1),则向量好________.

4.(★★★★)等腰AABC和等腰RtAABD有公共的底边AB,它们所在的平面成60°角，

若A8=16cm,AC=17cm厕CD=.

三、解答题A

如图，在△ABC中，设A8=a,AC=b,AP=c,/1\

__

AD=^a,(0<A<1),AE=〃A(0<〃<1),试用向量a,6表示c.

正三棱柱ABC-的底面边长为a,侧棱长为BFC

y[2a.

(1)建立适当的坐标系，并写出4、B、4、G的坐标;

⑵求AG与侧面A8B|A|所成的角.

7.(*****)已知两点M(—1,0),Ml，0),且点P使而•丽，丽・丽，而•而成

公差小于零的等差数列.

(1)点P的轨迹是什么曲线？

⑵若点P坐标为(沏,光),。为丽与丽的夹角，求tan氏

8.d***乃己知E、F、G、”分别是空间四边形ABCC的边AB、BC、CD、D4的

⑴用向量法证明E、F、G、”四点共面；

(2)用向量法证明：平面EFG”；

⑶设“是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O,^OM=-(OA+OB+OC+OD).

参考答案

难点磁场

一1+17+29Q

解：(1)点M的坐标为无加=-----=0;y=-------=—A/(0,—)

2M222

——,■I，9.「221

.[AM|=J(5-0)~+(-1--)-=---.

(2)|函=#5+1)2+(-1-7f=10,|ACh7(5-1)2+(-1-2)2=5

。点分旅的比为2.

.-1+2x117+2x211

••切二--------=—,yq=-----------=—

1+23*1+23

IAD|=^(5-l)2+(-l-y)2=yV2.

(3)/ABC是总与前的夹角，而就=(6,8),前=(2,-5).

BABC6x2+(—8)x(-5)_52=2629

cosABC=

府+(-8产.犷+㈠下-10场一而

\BAV\BC\

歼灭难点训练

一、1.解析：而=(1,2),DC=(1,2),：.~AB=~DC,：.~AB//~DC,又线段AB与

线段CC无公共点，；.AB〃力C月「AB|=|£>C，.•.ABC。是平行四边形，又|通|=右，AC=(5,

3),|AC|=V34>：.\AB\^\'AC},ABC。不是菱形，更不是正方形；又前^(4,1),

・4+2•1=6/0,...而不垂直于前，...ABC。也不是矩形，故选D.

答案：D

2.解析：,；L=J.•3•5sin。得sin。=—，则。=30°或。=150°.

422

又，：a•b<0,：.a=150°.

答案：C

二、3.(2,0)4.13cm

三、5.解：•.•丽与赤共线，.•.而=切而=机(耗一而尸一a),

/.AP=AB+BP=a+m(—ni)a+mPb①

又而与而乡专线,■・.CP=nCD=n(AD-AC)=n(Aa-b\

AP=AC+CP=b+n(^a~b)=n②

由①②，得(1—6)0+〃〃力=一〃)》.

If=及即为i+m—1=0

・.・。与力不共线，.・.③

/Am=\-nn+jum-1=0

i-;i一〃1

解方程组③得：m=-----,n=------代入①式得c=(l—in)a+mub=[4(1—〃)。+

1—A/J,1—入R\一”

—A)6].

6.解：(1)以点A为坐标原点O,以AB所在直线为Oy轴，以所在直线为Oz轴，以

经过原点且与平面A8B|A|垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.

由已知，得4(0,0,0),8(0,a,0)A(O,O,0a),G(一岑吟Via).

(2)取AS的中点M,于是有M(0,|,V2a),连AM,MC\,有何=(一*a,0,0),

且A3=(0,a,0),AA}=(0,041a)

由于函•AB-0,MC1•苞=0,所以MCJ面A8BA，，AG与AM所成的角就

是ACy与侧面ABB}A}所成的角.

•・,AC1|,V2a),AW=(0,y,V2a),

-----a29

:.AC.-AM=0+—+2a2=-a

44

3

-a2+-a2+2a2=43a,\AM\=—a

442

cos<AC^AM>=旦

2

所以西与丽？所成的角，即AG与侧面AB814所成的角为30°.

7.解：⑴设尸(x,y),由M(-l,0),Ml，0)得，PM=一MP=(-1—x,—y),PN=—NP

=(l-x,~y),MN=一丽=(2,0),；.MP•砒=2(l+x),PM•PN=上+/—1,NM.而1=2(1

一x).于是，丽•丽，丽・丽，丽・柿是公差小于零的等差数列，等价于

/+y27T2(心)+2(一)]即上》=3

2(l-x)-2(l+x)<0

所以，点P的轨迹是以原点为圆心，道为半径的右半圆.

(2)点P的坐标为(沏,州)

M丽=+为2-1=2,|而||丽|=J(l+x)2+为2.1(1-而)2+%2

2

=>/(4+2x0)(4-2x0)=2-^4-x0

C丽.丽1

COS0=-*_:=/

\PM\-PN也-婿

0<x0<V3,/.-^<COS^<l,0<^<y,

22

sin，=V1-cos0=1-------tan0=s'n"=J3—x0=||

270

14-x0cos，、°

....I.......

8.证明：(1)连结BG,则EG=EB+BG=EB+—(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH

2

由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，(其中,丽二丽)

2

...I.I.I..I.

(2)因为=—AE=5A。-5AB=](AO-AB)=-8。.

所以£77〃BQ,又EHu面EFGH,BDg面EFGH

所以80〃平面EFGH.

(3)连OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG

由(2)知EH=-BD,同理FG=-8O,所以EH=FG,EH卫FG,所以EG、FH交

22

于一点M且被M平分，所以

.1—**1*1*11—**11—**

OM=—(OE+OG)=—OE+—OG=—[—(QA+O8)]+—[—(OC+O。)]

2222222

=^(OA+OB+OC+OD).

难点4三个“二次”及关系

三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,

具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试

题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及

联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.一

・难点磁场.

已知对于x的所有实数值，二次函数段)=f—4QX+2〃+12(〃£R)的值都是非负的，求关

于X的方程上=1“-11+2的根的取值范围一

4+2

・案例探究一

［例1］已知二次函数j(x')=ax2+bx+c和一次函数g(x)=~bx,其中a、b、c满足

a>b>c,a+b+c=0,(o^,cGR).

(1)求证：两函数的图象交于不同的两点4、B:

(2)求线段4B在无轴上的射影A8的长的取值范围、

命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题

目.一

知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识