第五章一元函数积分学

第五章一元函数积分

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学

5.1原函数和不定积分的概念

一、原函数与不定积分的概念

:♦一手写板图示0501-01

(x2)*=2x

(?);=x2

X3

©'=X2飞-是d的一个原函数

Y3y3

(=+5)'=x2—+C

0u

定义：如果在区间I内，存在可导函数F(x)使Vxe/都有F(x)=f(x)或dF

(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)在区间1内原函数。

9

例：(sinx)=cosx,sinx是cosx的原函数。

,J1

(Inx)=-(x>0)

x

J.

Lnx是%在区间(0,+co)内的原函数。

.•手写板图示0501-02

F'(x)=f(x)dF(x)=F'(x)■dx

dF(x)=f(x)dx

原函数存在定理:

如果函数f(x)在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F(x)，使VxC/,

都有F(x)=f(x)»

简言之：连续函数•一定有原函数。

问题：(1)原函数是否唯一？

(2)若不唯一它们之间有什么联系？

例：(sinx)'=cosx(sinx+C)'=cosx

(C为任意常数)

关于原函数的说明：

(1)若F'(x)=f(x),则对于任意常数C,F(x)+C都是f(x)的原函数。

(2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x)-G(x)=C(C为任意常数)

证•.•[F(x)-G(x)]'=F'(x)-G'(x)

=f(x)=f(x)=0

.•.F(x)-G(x)=C(C为任意常数)

不定积分的定义：

函数f(x)的全体原函数的集合称f(x)的不定积分，记为/f(x)dx„

=+其中/为“积分号”，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表

达式，C为任意常数。

"手写板图示0501-05

ScosXdx=sinX4-C

例:求w

【答疑编号11050101：针对该题提问】

例：求'1+/。

【答疑编号11050102：针对该题提问】

(1

■:(arctanx)=-----,

解：l+x'

1

/.fI-----dx=arctanx+C.

J1+x2

积分曲线

例设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求

此曲线方程。

【答疑编号11050103：针对该题提问】

解：设曲线方程为y=f(x),

型=2x

根据题意知公

即f(x)是2x的一个原函数。

,:[2xdx=x:+C,/(x)=x2+C

由曲线通过点(1,2)=0=1

所求曲线方程为y=x2+l1,

函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分

曲线族。

不定积分的性质

幺]f(x)司=f(x)dx]=f8dx

I-上手写板图示0501-07

dd

—[f(x)dx]=­[F(x)+C]

axax

=F/(x)=f(x)

Tf(x)dx=F(x)+c

d[Jf(X)dx]=[Tf(X)dx]/■dx

=f(X)dx

IF\x)dx=尸(x)+C,|dF(x)=F(x)+C

上手写1板图示0501-08

.T(F^(x^dx=F(x)4-C

JdF(x)=jF'(x)dx=F(x)4-C

结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。

5.2基本积分公式

产1r广］

--=xu^\xudx=-—+C(〃H-1)

实例+L*〃+1

启示能否根据求导公式得出积分公式？

结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。

基本积分表

\kdx=kx+C(A^：常数)；

./-I

Ixudx=--+C

(2)J〃+1

人手写板图示0501-09

J---dx

x

Un|x|"in(-x\x<0

\AA-^AZ

(In|x|)=<

^lnxx>0

f■(-1)x<0

一X

(In|x|)「=v

、—x>0

x

x>02[—=lnx+C

说明：•x

x<0sDn(-x)y=—(-x/=l

-xX

=>|—=ln(-x)-FC:.*.|—=In|x|4-C;

JxJx

rdx_

I—=tInx+C

简写为.x

I—=arctanx+C

(4)'l+x，

■木手写板图示0501-11

f---------7dx=-azccotX+C

1+X2

[J、dx=arcsinx+C

⑸.Jl一片；

⑹[cosxd!r=sinx+C

[sinxtir=~cosx+C

\7)'；

I空=Isec:xc£r=tanx+C

(8),cos"x"

j坐=[csc2x(iv=-cotx+C

(9)'sinx」

a。)[secxtanAz/x=secx+C

Iescxcotxdx=-escx+C

(11)!；

Iexdx=ez4-C

(12)J；

faxdx=——I-C

(13)"Ina；

例：求积分卜五心

【答疑编号11050104：针对该题提问】

5

解：住屁＜=，么

x^dx=^—+C

根据积分公式(2)//+1

=-——+C=—x?+C

5.7

-+1

不定积分的性质

|[/(x)±^(x)]dx=[/(xXx±|g(xXr

(1八••;

f

证•••[j”X)去士]g(x)同

ff

=[J±[[g(x)&]=/(x)±g(x)

，等式成立。

(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)

⑵闪8gmM(k是常数,2。)

=3axctanX-2axcsinX+C

3(axctanX+C.)-2(axcsinX+C2)

3J-2c2

例：求积分’l+x'Vl-x2。

【答疑编号11050201：针对该题提问】

解：1+X'J/

=3.昌

dx

=3arctanx-2arcsinx+C

r1+X+J?.

I------v-dx

例：求积分.xQ+f)o

【答疑编号11050202：针对该题提问】

fl+x+x2,fx+Q+x2).

----T-dx=----^—dx

解：」xQ+大)」xQ+大)

=arctanx+lnx+C

[\+2x\dx

例:•x*(l+x*)

（答疑编号11050203：针对该题提问］

rl+2x*,r1+x2+x"

dx

J/-Q-+x--2)-----•--x-'-(-l—+x2)

解:

=一一+arctanx+C

x

.•几手写板图示0502-03

=arctanx+ln|x|+C

1+2x?

dx=尊厘dx

x"H)/(Ik)

X2,.」

X^l+x2)x"S)

t

口云手写板图示0502-04

例：-1+x'

【答疑编号11050204：针对该题提问】

写板图示0502-05

X4

----dx

(lk)

4

x-l+lJ

(1+x2)

_(x：-l)(x:+D

------=-dx+工^dx

1十好

=J(xi-l)dx+arctanx

x3

=—x+arctanx+C

例：已知f(x)之一原函数为sin3x,求/f'(x)dxo

【答疑编号11050205：针对该题提问】

写板图示0502-06

sin3xjfa)七

由sin3x是f(x)的原函数：

得(sin3x)=f(x)

f(x)=3cos3x

f'(x)dx=f(x)+C=3cos3x+C

【答疑编号11050206：针对该题提问】

手写板图示0502-07

例:求Ox?时。

【答疑编号11050207：针对该题提问】

_JL________

例屈

【答疑编号11050208：针对该题提问】

例：设[ln，(x)]'=se「x,求f(X)。

【答疑编号11050209：针对该题提问】

:美手写板图示O5O2TO7

由[Inf(x)]"=sec2xf(x)=?

得Inf(x)是sec2x的一个原函数

Jsec2xdx=tanx+C

Inf(x)=tanx+C

f(x)=etans*C

f(x)=eC-etani

=k-etanz

x2++

dx

例:

【答疑编号11050210：针对该题提问】

二手写板图示O5O2T1、

1_213

=E1-x，+号+3•-^-x2+c

”23+1

=再之+孝+2x-+C

D，

[sin:—dx

例：,2；

【答疑编号11050211：针对该题提问】

年手写板图示0502T2

rcos2x,

|------------;——ax

例：-cosx+sinx

【答疑编号11050212：针对该题提问】

手写1板图示O5O2T3、

cos2x,

---------OX

cosx+sinx

\一

cos'x-sin'xj

-------------dx

cosx+sinx

(cosx+sinx)(cosx-sinx)

--------:-----------dx

cosx+sinx

f2

石tan^xor

例：。

【答疑编号11050213：针对该题提问】

写板图示O5O2T4

tan'城v=|(sec2x-l)dr=|sec2dx-1dx

解：」

例：设尸(/)=1+/',且f(0)=1,求f(x).

【答疑编号11050214：针对该题提问】

解：因为''(2')=1+产，若设u=e\则f'(u)=l+u

所以f(x)是1+x，的一个原函数，而

1(1+/)办=[dx+[xse&=x+^-4-C

X4

/(x)=x+----kC

故4。又f(0)=1,从而C=l。因此

X4

/(x)=-+x+l

:写板图示0502-15

f，(es)=l+e3xf(O)=l求f(x)

令e'=t贝Uf'(t)=l+t3

Jf*(t)dt=J(l+t3)dt

t4

f(t)=t+-J-+C

4

f(x)=X+C将f(0)=1代入,

1=C

4

f(x)=x+-1-+1

【答疑编号11050215：针对该题提问】

rcos2x.

|—-----^r-dx

例：•sinxcosx

【答疑编号11050216：针对该题提问】

♦-手写板图示0502-17

cos2x,

-2------2北

sinxcos，

i

P-

-cos2x-sin2x,

-2----：—dx

sinxcos'x

v

=(-\--^2-)dx

sinzxcos，x

i

=Jcsc2xdx-Jsec2xdx

=一cotx-tanx+C

卜一、.J

例："sinxcosx。

【答疑编号11050217：针对该题提问】

【答疑编号11050218：针对该题提问】

.•2手写板图示0502T9

2x

--dx

ex+l

域为

ex+l

ZeX-l)(eX

=J(eX-l)dx=e'r+c

I-----------dx

例：求积分-l+cos2x

【答疑编号11050219：针对该题提问】

--dx

解：•l+cos2x

1r11八

=------ax=—tanx+C

2•cos'x2

说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表。

四、小结

原函数的概念：*(x)=f(X)

\f(x)dx=F(x)+C

不定积分的概念：J

基本积分表(1)

求微分与求积分的互逆关系

不定积分的性质

5.3换元积分法

一、第一类换元法

的Icos2xdx=sin2x4-C

问题J

解决方法利用复合函数，设置中间变量。

t=2x=>dx=-dt

过程令2

|cos2xdr=[cosrcfr=—sinr+C=—sin2x+C.

22

手写板图示0503-01

Je3xdX

法一:Je3xdx=f(e3)Xdx

3x

-^-+c

Ine

e3x

=T+c

法二：fexdx=eX+C

feudu=eu+C

f&口d[]=8口+C

1…凑微法

入3，喳=丁麴

u=3x1i

WJeudu=-eu+C

3J

=4e3X+C

3

4E写板图示0503-03

fcos2XdxfcosQdQ=sin[]+C

=-J-sin2x+C

2

在一般情况下：

设F，（u）=f（u）,则J/Q）d"=F（"）+C

如果〃=0（X）（可微）

阻dx)]=/Idx)W(x)dx

二|/Idx)W(x)改=F[火x)]+C

=[J/Q)A]y)由此可得换元法定理。

-，-手写板图示0503-04

sTf(u)du=F(u)+C

u=3(X)

有Jf(<P(x))d<P(x)S=F(<?(x))+C

SsinXdx=_cosx+C

JsinQdn=_cosQ+C

定理设f(u)具有原函数，〃=例＞)可导，则有换元公式

[/[底切”(》)於=("(")加5第.一类换元公式(凑微分法)

说明使用此公式的关键在于将Jg(x"化为[/[dx)W(xM

观察重点不同，所得结论不同。

sin2xdx.

例:

【答疑编号11050301：针对该题提问】

|sin2xdx=-|sin2>z/(2x)

解(一)*2♦

»-手写板图示0503-05

fsin2Xdx/sinQd[J=-cos[2]4-C

=4-Tsin2xd2xd2x=2dx

23006

==(-cos2X)+C=—-cos2x+c

22

解(二)'I'sin2xdx=2•'1sinxcosxdx

=2|sin(sinx)=(sinx)'4-C

|sin2xdx=21sinxcosxdx

解（三）

-2|cosxrf(cosx)=-(cosx)，+C

f---dx

例：求3+2X

【答疑编号11050302：针对该题提问】

111

・(3+2x)'

解：3+2x23+2x

mW13+12x

(3+2x)'去

=—|=—lnu+C=—In(34-2x)4-C

2•〃22

jf(ax+b)去=匕"Q)d4

一般地.a■

手写板图示0503-07

=-^-ln|3+2x|+c

.[xe~dx

例：求J

例：求卜OSX*Xdx

【答疑编号11050304：针对该题提问】

一„Itanxdx

例：求J

【答疑编号11050305：针对该题提问】

;友手写板图示O5O3T1

StanXdx=Jsi"'

COSxdx

—f---------sinXdx=-S-----dcosX

COSXCOSx

=_lncosX+C

例：求’9-x’

【答疑编号11050306：针对该题提问】

-S-^^9-xZ)

49—X

=—yln|9—X2\+C

求.小x

例:

【答疑编号11050307：针对该题提问】

卮交手与板图示O5O3T3

J1。dX

9—好

f--------

」（3-x）（3+x）

1,1、

+多）6

3—x

dx+J——dx

3+X

d（3—x）+J——d（3+x）

3十X

_13-X卜In曲+X0+C

6

13+义

+C

63—x

f-..-----dx

例：求.x-lx-3

【答疑编号11050308：针对该题提问】

Q-手写板图示O5O3T4

Jr—----1----------dx

x—2x—3

J-dx

x—2x—3

2x—2

—/""2'dX

2x—2x—3

]d（x2—2x—3）

9

x—2x—3

1In|x2—2x—314~C

2

:工手写板图示0503T5

JDX=S(x-3)(x+1)

X2_2X_3

=5〃七一圭)dx

=十口三^(乂一3)一，集抖乂+1

=—[ln|X-3|-In|x+l|]4-C

[—^rdx

例：求

【答疑编号11050309：针对该题提问】

工手写板图示0503T6

X,1X一2、

"rdFr-蚪/)

十(9+/)+c

手写板图示0503T7

arctan--+C

u

例：求-J+f。

【答疑编号11050310：针对该题提问】

[21出=士[—

-%+/a1},x

1+—

解：b

例：x:-8x+25。

【答疑编号11050401：针对该题提问】

I———----dx=(------——dx

解：J/-8x+25」(1)2+9

三写板图示0504-01

—X--------------dx

?-8x+25

'14q

3」1+管3

1x-4

=-arctan-----\-c

33

例：求.sin。*。

【答疑编号11050402：针对该题提问】

图示0504-02

jjsin-dx

=Jsinde^=-cos®'+c

dxs\

例：求・1+c

【答疑编号11050403：针对该题提问】

手写1板图示0504-03

⑴

=ln(l+e*)+c

例:

【答疑编号11050404：针对该题提问】

,一手写板图示0504-04

义1+/)

二j4

Jl+«)2

f1,VX

=-----de=arctang+c

J1+3”)2

例:

【答疑编号11050405：针对该题提问】

口灰手写板图示0504-05

\-^dx

J1+J

=j(l+ef

J1+e*

=Jdx-

*忌的+第)

=x-ln(l+d)+c

例：卜一处

【答疑编号11050406：针对该题提问】

手写板图示0504-06

sin*2xdx

rl-cos2x,

=—————ax

J2

=-j(1-cos2x)dx

1

dx--\cos242x

22J——

1

x--sin2x+c

22

:板图示0504-07

|cos3xdx%=□+0

=Jcos2x-cosxdx

=J(1-sin2x)dsinx

=Jdsinx-Jsin2xdsinx

sin3x

=sinx--------+c

3

【答疑编号11050407：针对该题提问】

【答疑编号11050408：针对该题提问】

【答疑编号11050409：针对该题提问】

口又手写板图示0504-09

…Iescxdx

例：求J

【答疑编号11050410：针对该题提问】

=Intan-4-C=ln(cscx-cotx)+C

（使用了三角函数恒等变形）

J手写板图示0504T0

escxdx=f---dx=[dx

Jsinx」

2sin-cos-

22

dx

=JX

sin—

XX

2」-cos—•cos—

x22

cos—

2

dx

=\

2tan—•cos2X

22

12X.1,x

sec—ax—atan—

=3Xx

tan—2tan—2

2-2

;入手写板图示0504T1

Jescxdx=In|cscx-cotx|+c

jsecxdx=In|secx+tanx\+c

例：求』cos3xcos2时。

【答疑编号11050411：针对该题提问】

cosAcosB=—[cos(J-B)+cos(J+5)1

解：2

cos3xcos2x=—(cosx+cos5x)

|cos3xcos2xdx=^|(cosx+cos5x)d!r

=~sinx+—sin5x4-C

10

-手骂板图示0504-12

cos3xcos2xdx

=；J(cosx+cos5x)dx

1

cosxdx+—[cos5xd5彳

25J

=1S1nx+l1S1n5x+c

25

例.J切心

【答疑编号11050412：针对该题提问】

解:设u=x?,则

xf,^dx=^f\x2)dx2=^f'(u)du=\df(u)

所以J犷(7)尸(x2)去=」/(«)#(«)=l[/(u)]2+C

4

写板图示O5O4T3

=1j/(x2)/,(x2)d?x2^udu

==今+。

=O)+c十(玲+c

I-----------ax

例：•xo

【答疑编号11050413：针对该题提问】

解：设u=lnx,则

f'Qnx)工7,八、/,广一

-------dx=/(Inx)dInx=/(u)du

...丫)女=r尸("W"=/(u)+c

所以Jx•'

=/(lnx)+C

'/"(Inx)dx

=J/Qnx)dlnx=/@)+c

=f(lnx)+c

例：/'(si/x)=co/x,求f(x)。

【答疑编号11050414：针对该题提问】

9

■“手写板图示0504T5

/(sin'x)=cos'x求f(x)

/f(sin2x)=1-sin2x

令t-sin2x有尸(Z)=l-£

成=J(1T)成

、t2

芯2

f(x)=x--+c

二、第二类换元法

门即^^y/l-x2dx=?

问题J

解决方法改变中间变量的设置方法。

过程令工=$由2=公=costdt

[/《"x，dx=f（sint），也-sin，costdt

=|sin'teas1tdt=........

（应用“凑微分”即可求出结果）

定理2设x=W（D是单调的、可导的函数，并且“（。二°,又设f[〃«）]〃'&）具有

原函数，则有换元公式W心心防加“同皿其中派）是…⑺的反函

数。

f〃力d=[[/Mr）W（r汕Lf

第二类积分换元公式

rdx

例：.Jl+jO

【答疑编号11050415：针对该题提问】

解：令「=J1+/ne'=/-1

x=ln卜2-11去=

=In+C=21n(71+/-l|-x+C

手写板图示0504T6

令J1+/=21+。'=d&x=z2-1

工=ln(d-Ddx=dln(d-D

=-z-----2tdf

.工手写板图示0504T7

=2出

[2J7-1t+YJ

=J吉+

=ln|^-l|-ln[+l]+c

,z-1,J-

=ln---+c=lnj——+c

£+1Jl+e'+1

说明（5）当被积函数含有两种或两种以上的根式近，…，五时，可采用令x=r"（其

中n为各根指数的最小公倍数）

例：）石Q+荻产。

【答疑编号11050416：针对该题提问】

解：令x=t'=dx=6t,dt

F]r6/£6/

1L「烝=；、出=IJdt

J4（1+私）J/Q+U）J1+P

+1-1.

=6----—dt

1+?

=6色+产卜

=6[r-arctanr]4-C

=6[y[x-arctan也]+C

手写板图示0504T8

rdx

J五(1+表)

iii

X，=E/.x=t6/=金产

dx—dt6—6廿dt

F-----=3dt

户(1+p)1+z

.1+d―1,

=6l------5~~dt

J1+J

=6

J1+211+d

=6[/-arctanq+c

=6^yfx-arctan

三角代换。

三角代换的目的是化掉根式。

一般规律如下：当被积函数中含有

(1)V。-x可令x=asint；

£手写板图示0504-19

y/a2-x2令x=asm/sinZ=-

yja2-x2=二以4in，

=Ja?(l-sin，£)

=^ja2cos2/=|acos/|=

=acosi

(2)Ja+x可令x=atant；

-手写板图示0504-20

[a2+«2tan乙=^2(l+tan2Z)

=sec2Z=(2sec/

(3)—Q可令x二asect。

r1

I/、声(a>°)

例：求.JL+do

【答疑编号11050417：针对该题提问】

x

=In一十+c

、手写板图示0504-22

-=J_dx

令x=atan£dx=datont

=a-sec2/dt

：.l=f)].=asec2tdt-asedtdt

V^2sec2Zasect

=Jsec=In|sec/4-tanZ14-c

=In[sec£+tan卜|+c

tanZ=^sec"叵运

a

Z=ln+c

【答疑编号11050418：针对该题提问】

总结:

写板图示0504-24

5.4分部积分法

1手写板图示0505-01

(u(x)•v(x))f

=U'(X)v(x)+u(X)■V1(x)

J[u(x)■v(x)]dx

=Xu*(x)V(X)dx+/U(x)V,(x)dx

u(x)•v(x)

=fv(x)du(x)+Ju(x)dv(x)

fudv=u■v-Jvdu

一、基本内容

问题”办=?

解决思路利用两个函数乘积的求导法则。

设函数u=u(X)和V二V(X)具有连续导数,

t

(uv)=u'v+uv',uv'

=(«v)-u'vAuv'dx=uv-\u'vdx,Judv=uv-Jvdu.

【答疑编号11050501：针对该题提问】

分部积分公式

例1：求积分Jxcosxdx.

【答疑编号11050502：针对该题提问】

令〃=cosx,xdx=—dx2=dv

解(一)2

f>[X2,

xcosxax=——cosx+——sinxax

J2」2

显然，U,V选择不当，积分更难进行。

解（二）令u=x,cosxdx=dsinx=dv

xcosxdx=Jx^sinx=xsinx-Jsinxdx

=xsinx+cosx+C*.

三写■板图示0505-03

Jxcosxdx

=SxdsinxSudvV

=x■sinX-SsinXdx

=XsinX+cosX+C

Jx・cosxdx

=产

-JcosXd——Judv

2

X22