新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：第6章 幕函数.指数函数和对数函数

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第6章幕函数.指数函数和对数函数

6.1幕函数

课程1.通过具体实例,结合厂.3=十.产产.y=G.y—.?■的图象,理解它们的变化规律.

标准

2.了解事函数.

后基础认知•自主学习《

概念认知

1,幕函数的概念

一般地，我们把形如y=x。的函数称为幕函数,其中t是自变量，a

是常数.

2.常见幕函数的图象与性质

21J_

解析式)=1y

y

kJLk

图象

L0xX

定义域RRR{6尻羊。}[o,+00)

值域R[0,+8)R{y|y#0}[0,+8)

非奇非偶

奇偶性查函数但函数登函数登函数

函数

增区间R[0,+8)R无[0,+8)

(—8,0①

减区间无(—8,0)无无

(0,十°0)

定点(1,1)

⑴本质：幕函数的图象是函数的图形表示，幕函数的性质是根据函

数图象总结得到的.

(2)应用：①求定义域；②求值域；③比较大小；④求单调区间.

自我小测

1.已知幕函数f(x)=(m2-3)x-m在(0,+8)上为增函数，则实数m

的值为()

A.小B.±2C.2D.-2

选D•由于f(x)为幕函数,所以m2-3=1,m=±2,当m=2时，f(x)

=x-2在(o,+8)上为减函数，不符合题意，当m=-2时f(x)=x2

在(0,+8)上为增函数，符合题意.

2.幕函数f(x)=(m2-2m+l)x2m-1在(0,+oo)上为增函数，则实数m

的值为()

A.0B.1C.1或2D.2

选D.因为函数f(x)是幕函数，所以m2-2m+1=1,解得m=0或m

二2,

因为函数f(x)在(0,+8)上为增函数，所以2m-1>0,即m>1,m

=2.

3.如图所示，给出4个幕函数的图象，则图象与函数的大致对应是

()

A.①y=x-,②y=x2,③y=x",④y=x-1

B.①y=x3,②y=x2,③y=x",@y=x-1

C.①y=x2,②y=x3,③y=x",④y=x-1

D.①y=x3,②y=x"③y=x2,④y=x-1

选B.因为y=x3的定义域为R且为奇函数，古攵应为图①；y=x2为开

口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确.

4.幕函数y=f(x)的图象经过点(3，小)，则0)是()

A.偶函数，且在(0,+8)上是增函数

B.偶函数，且在(0,+⑹上是减函数

C.奇函数，且在(0,+⑹上是减函数

D.非奇非偶函数，且在(0,+勾上是增函数

选D.设幕函数f(x)=xa,因为图象经过点(3，小)，所以3a二小,a

_1

=2•

1

故f(x)=x",因为x>0,所以f(x)为非奇非偶函数，且在(0,+8)上

是增函数.

33

5.判断大小:2.342.44.(填“〉”或“<”)

3

因为y=xW为［0,+@)上的增函数，

33

且2.3<2.4,所以2.34<2.44.

答案：<

6.已知幕函数f(x)=xm2T(mWZ)的图象与x轴，y轴都无交点,

且关于原点对称，则函数f(x)的解+析式是_______.

因为函数的图象与x轴，y轴都无交点，

所以m2-1<0,解得-1<m<1；

因为图象关于原点对称，且mWZ,所以m=0,

所以f(x)=x」.

答案：f(x)=x-'

7.已知幕函数f(x)=xn?+m+l(mQN*)的图象经过点(2,8).

⑴试确定m的值；

(2)求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.

(1)由题得2m2+m+1=8'm=1或m=-2(舍).

(2)由题得f(x)=x3,f(x)在R上为增函数，

3

由f(2-a)>f(a-1)可得2-a>a-Wa<2.

除学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、选择题

1.已知幕函数f(x)的图象过点(100,10),则幕函数f(x)的解+析式为

()

A.f(x)=x3B.f(x)=x2

C.f(x)=^/x(x>0)D.f(x)=x-i(x,0)

选C.设幕函数f(x)=x。，代入点(100,10)，则100a=10,解得a=1,

1

所以f(x)=x]=\[x(x>0).

2.已知点27]在幕函数f(x)=(t-2)xa的图象上，贝h+a=()

A.-1B.0C.1D.2

选B.由幕函数的定义可知t-2=1,所以t=3,

又点1g,27)在f(x)=(t-的图象上,

所以&=27,

所以a=-3,所以t+a=0.

3.在下列四个图形中，y=x)的图象大致是()

选D.函数y=x-；的定义域为(0,+00),是减函数.

4.(2021.北京高一检测)如果幕函数f(x)=X。的图象经过点(2,4),则

f(x)在定义域内()

A.为增函数B.为减函数

C.有最小值D.有最大值

选C.因为幕函数f(x)=X。的图象经过点(2,4),

所以f(2)=2a=4,解得a=2,所以f(x)=x2,

所以f(x)在定义域内先递减再递增，有最小值.

5.(2021.湘潭高一检测)如图，曲线是幕函数y=xn在第一象限的图

象，已知n取±2,|三个值，则相应于曲线©,C2,C3的n值依次

为（）

22

选B.函数y=x-,y=x,y=x-中令x=4得到的函数值依次为五,

1

16,2,函数值由大到小对应的解+析式为y=x2,y=x-,y=x-2,

因此相应于曲线Ci,C2,C3的n值依次为2,1,-2.

11111

6.如图所示，曲线Ci与C2分别是函数y=x和y=x在第一象限内

的图象，则下列结论正确的是（）

A.n<m<0B.m<n<0

C.n>m>0D.m>n>0

选A.由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0,n<0.

取x=2,则有2m>2n，得m>n,故n<m<0.

7.(多选)已知幕函数f(x)过点12,J,则关于f(x)的说法正确的是

()

A.为偶函数

B.在(0,+8)上是增函数

C.在(0,+8)上是减函数

D.为奇函数

选AC.设幕函数为f(x)=x。,

代入点(2,3，即2al,

所以a=-2,f(x)=X-2,定义域为(-8,o)U(0,+oo),为偶函数

且在(0,+其上是减函数.

8.(多选)(2021.启东高一检测)已知幕函数y二xa(a£R)的图象过点(2,

8),下列说法正确的是()

A.函数y=X。的图象过原点

B.函数y=X。是偶函数

C.函数y=x。是单调减函数

D.函数y=X。的值域为R

选AD.因为幕函数y=X。的图象过点(2,8),

所以2a=8,解得a=3,

所以幕函数为y=x3;

所以幕函数y=x3的图象过原点，A正确；

且幕函数y=x3是定义域R上的奇函数，B错误；

幕函数y=x3是定义域R上的增函数，C错误；

幕函数y=x3的值域是R,所以D正确.

二、填空题

9.已知2.4a>2.5a,则a的取值范围是_______.

因为0<2.4<2.5,而2.452.5。,

所以y=xa在(0,+8)上为减函数，故a<0.

答案：(-8,0)

10.函数f(x)=(m2-m-l)xm2+m-3是幕函数，且当x£(0,+oo)

时，f(x)是增函数，则f(x)的解+析式为.

根据幕函数定义，得m2-m-1=1,

解得m=2或m=-1.

当m=2时，f(x)=x3在(0,+8)上是增函数,符合题意；

当m=-1时，f(x)=x-3在(0,+oo)上是减函数，不合题意.

综上f(x)的解+析式为f(x)=x3.

答案：f(x)=x3

三、解答题

11.已知幕函数f(x)=x-m2-2m+3(-2<m<2,mwZ)满足：

①在区间(0,+8)上单调递增；

②对任意的x£R,都有f(-x)-f(x)=0.

求幕函数f(x)的解+析式，并求当xe［0,4］时，f(x)的值域.

因为函数在(0,+旬上单调递增，

所以-m2-2m+3>0,解得：-3<m<l.

因为-2<m<2,m£Z,所以m=T或m=0.

又因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数，

所以-n?-2m+3为偶数.

当m=-1时，-m2-2m+3=4满足题意，

当m=0时，-n?-2m+3=3不满足题意，

所以f(x)=x4,所以f(x)在［0,4］上递增，

所以f(X)min=f(0)=0,f(X)max=f(4)=256,

所以值域是［o,256］.

12.定义函数f(x)=min{x2,x-1},x£(-oo,0)U(0,+oo),

⑴试作出函数f(x)的图象，并求函数f(x)的解+析式；

(2)写出f(x)的值域.

(1)在同一坐标系中作出函数y=x2(xR0)与y=x-i(x#O)的图象(如图).

令X2=X-1,解得X=1,所以函数f(X)的图象如图所示:

x-1,x<0,

所以f(x)={x2,0<x<l,

、x-1,x>l.

(2)由图可知f(x)的值域为(-8,o)U(0,1].

综合突破练

一、选择题

1

1.已知幕函数f(x)=X2，若f(a+l)<f(3-2a),则实数a的取值范围

是()

A.[-1,3]

C.[-1,0)

1

选B.因为幕函数f(x)=x2,所以函数在定义域[0,+⑹上单调递增，

a+1>0,

2

因为f(a+l)<f(3-2a),所以J3-2a>0,解之得-l<a<^.

+1<3-2a

2.下列命题中，不正确的是()

A.幕函数y=x」是奇函数

B.幕函数y=x2是偶函数

C.幕函数y=x既是奇函数又是偶函数

D.y=x；既不是奇函数，又不是偶函数

选C.因为,」一=-|,

所以A正确；

(-x)2=x2,所以B正确；-x=x不恒成立，所以C不正确；y=x；定

义域为［0,+⑹，不关于原点对称，所以D正确.

3.给出幕函数：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；@f(x)=爽；

⑤f(x)=1.其中满足条件

A.

lxI+X〕f(X1)+f(X2)

f'色>------弓一一(Xl〉X2>0)的函数的个数是()

I2J

A.1个B.2个C.3个D.4个

选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当Xi>x2>0时，

‘XI+X2)f(Xl)+f(X2)

f十二------2----------；

2

②函数f(x)=x的图象是凹形曲线，故当X1>X2>O时，f空上<

f(X1)+f(X2)

2；

③在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当X)>X2>0时，

‘XI+X2If(Xl)+f(X2)

f____<-----------,

122,

\J

④函数f(X)=胃的图象是凸形曲线，故当Xi>X2>0时，

Xl+X2)f(Xl)+f(X2)

f____>-----------,

r22,

⑤在第一象限，函数f(x)=1的图象是一条凹形曲线，故当Xi>X2>0

X

时，

‘Xl+X2)f(Xl)+f(X2)

f-~~-<---------------------.

I2J2

故仅有函数f(x)=\[x满足当X1>X2〉O时，

Xl+X2)f(Xl)+f(X2)

f-__->---------------------.

I2)2

4.侈选)下列函数中，其定义域和值域相同的函数是()

A.y=x|B.y=x1

C.y=xjD.y=x|

选ABC.A中y=x：=/，定义域、值域都为R；B中y=x1

二七定义域与值域都为(0,+00)；

C中y=x：的定义域、值域也为R;

D中y=x；=A/P定义域为R,而值域为［0,+00).

二、填空题

5.已知幕函数y=f(x)的图象过点2,坐',贝Uf(9)=.若

f(a)=4,贝Ua=.

设幕函数f(x)=X。,a£R，其图象过点、，亨，所以2a等=21,

1111

解得a=-,,所以f(x)=x-",所以f(9)=9'~=3，由f(a)=4,得

a-2=4,解彳导a=^.

受口室木.-3--16

6.已知函数f(x)=x|-x;(x>0),则满足f(3-n)>0的n的取值范围

是_________•

函数g(x)=x-jii(0,+8)上单调递减，函数t(x)=-X：在(0,+00)

上单调递减，所以函数f(x)=g(x)+t(x)=x-；-X；在(0,+8)上单调

递减.

又f(l)=0所以满足f(3-n)〉0的n的取值范围是0<3-n<l,即2<n<3.

2m2

7.(2021.齐齐哈尔高一检测)已知幕函数f(x)=(m-3m+3)x-

(0,+⑹上单调递增，则m的值为.

因为幕函数f(x)在(0,+勾上单调递增，

所以m2-3m+3=1,Sm2-m-1>0,解得m=2.

答案：2

1

8.(2021.锦州高一检测)幕函数f(x)=x"」2m-3在(0,+8)上单调递减

且为偶函数，则整数m的值是_______.

幕函数f(X)=xmJm-3在(0,+8)上单调递减，所以-2m-3<0,

所以-1<m<3,m的整数值为。或1或2.

当m=。时，f(x)=x-3不是偶函数;

当m=1时，f(x)=x-4是偶函数;

当m=2时，f(x)=x-3不是偶函数;

所以整数m