高中数学附加题综合

23.必做题(本小题满分10分)

某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数4是一个随机变量，它的

分布列为：尸(x=i)=*(i=1,2,L,12)；设每售出一台电冰箱，电器商获利300元.

如销售不出，则每台每月需花保管费100元.问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使

月平均收益最大？

23

已知数列｛4｝中，对于任意〃eN*,4=4a“3-3an.

(1)求证:若同>1,则kM>1；

(2)若存在正整数机，使得=1,求证:

(i)|a„,|<l：

7T

(ii)4=cos券(其中k£Z)(参考公式:cos3a=4cos3a-3cosa).

23.已知等比数列｛%｝的首项q=2,公比4=3,S”是它的前〃项和.求证：尚•《/一

S"n

23.(本小题满分10分)

用a,"c,"四个不同字母组成一个含〃+1(neN*)个字母的字符串，要求由a开始，相邻

两个字母不同.例如〃=1时，排出的字符串是ab,ac,ad；〃=2时排出的字符串是

aba,abc,abd,aca,acb,acd,ada,aclb,adc,....,如图所示.记这含n+1个字母的所有

字符串中，排在最后一个的字母仍是。的字符串的种数为

(1)试用数学归纳法证明：“J+3(-1)(“eN",“N])；

4

(2)现从a,仇c,d四个字母组成的含〃+1(〃eN*,n>2)个字母的所有字符串中随机抽取

一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是。的概率为P,求证：-<P<~.

93

n=2

x

24.设函数/(x,y)=(1+—)(m>09y>0)o

y

(1)当m=3时，求/(6,y)的展开式中二项式系数最大的项；

(2)若/(4,y)=即H—-++咦H—y，且的=32,求，4•；

yyyyxo

(3)设〃是正整数，为，正实数，实数1满足/(n,l)=mnf(n,t)，求证：

/(2O1O,1OOOV7)>7/(-2010,0。

23.(必做题)先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a,b(a<b),高为h,

求梯形的面积.

22.【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

用数学归纳法证明：

.c---//〃5+1)5+2)(〃+3)/7、

Ix2x3+2x3x4+…+〃x(〃+l)x(〃+2)=-----------------(neN).

24.（本小题满分10分）

设/（〃）=〃〃"，=+N*.

⑴"=1,2,3,4时，比较/.⑺与g（〃）的大小.

2.据⑴的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.

4.已知数列{a,J满足：囚=3,%=3""T（〃N2）.

（I）求证：VnGN\3mnGN,使。〃=4〃z,7+3；

（II）求〃2oio的末位数字.

23.已知数集序列{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19},…,其中第〃个集合有〃个元素，每

一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续

奇数.

⑴求第n个集合中各数之和Sn的表达式；

⑵设〃是不小于2的正整数，/（〃）=£「，求证：”+£/（，•）=川'（/）.

4.若5"+2x3"T+l(〃eN*)能被正整数机整除，请写出机的最大值，并给予证明.

22.若(l—2x)2°”=%+qx+…(xeR),求多+袋+.-+符的值.

23、假设位于正四面体ABCD顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行,

记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、

C、D中的任意--点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，如

此一直爬下去，记第n(〃eN*)次爬行小虫位于顶点A处的概率为p“.

(1)求P1,，2，P3的值，并写出P“的表达式(不要求证明)；

(2)设5“=pC+p2c+pC+.…+P“C：(neN"),试求S“(用含n的式子表示)。

23.(本小题满分10分)

已知数列｛%｝满足%+1=一d+pa„(PeR),且qe(0,2)，试猜想p的最小值，使得

%e(0,2)对〃eN*恒成立，并给出证明。

4.已知正项数列｛风｝中，对于一切的”eN*均有a；Wa“一。“+］成立。

(1)证明：数列｛4｝中的任意一项都小于1；

(2)探究与上的大小，并证明你的结论.

n

22.(本小题满分10分)

已知正项数列｛%｝中，S,是其前几项的和，且2S“=a“+」-,〃eN+.

(I)计算出4，4，。3,然后猜想数列｛为｝的通项公式；

(II)用数学归纳法证明你的猜想.

23(本小题满分10分)

甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个

实数记为方，乙从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为c(b,c可以相等)，若关

于x的方程+而+。=0有实根,则甲获胜,否则乙获胜.