高考数学二轮复习 第1部分 重点强化 1 三角函数 第1讲 三角函数问题教学案 理-人教版高三全册数学教学案

第1讲三角函数问题

考纲要求真题统计命题规律锁定题型

分析近五年全国卷发现

了解任意角的概念及瓠度制，理解任意

2017年I卷Tg；2017年fl卷T“；高考命题有以下规律：

角三角函数的定义，掌握诱导公式及同

2017年ID卷T-；2016年m卷T”；1.三角函数的图象交换1.三角函数的

角三角函数的基本关系式，理解三角函

2016年II卷T,；2015年I卷；多以选择题形式出现，境图象问题

数的图象与性质，会用三角函数解决简

三角函数的

年卷基础题.2.

学的实际问题.20141T«

2.三角函数的定义、图象性质问题

和性质常与三角恒等变3.三角恒等

恒掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公2016年II卷%；2016年皿卷T”

等换交汇命题，出现在第6变换

变式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公2015年I卷T?；2014年I卷T”

换〜9或14〜15题位置，曩

式,理解简单的三角恒等变换.年卷；年卷

2014IIT”2013DT”中档题.

题型1三角函数的图象问题

（对应学生用书第1页）

■核心知识储备…“

1.“五点法”作图

用五点法画尸4sin（3x+0）在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线,

其中所列表如下：

0JI—<p3兀<t>2兀一O

X

一732332333

JI33T

O）x+00T312n

4sin（3X+。）0A0-A0

2.图象变换

方法一（先平移后伸缩）方法二伏伸缩后平移）

■典题试解寻法

【典题1】（考查三角函数图象的平移变换）

（2017,全国I卷）已知曲线G：y=cosx,C：y=sin（2x+%一）,则下面

结论正确的是（）

马上扫一扫

看希彩做深

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

T■个单位长度，得到曲线C

B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

专个单位长度，得到曲线G

C.把G上各点的横坐标缩短到原来的4倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移?

个单位长度，得到曲线C

I）.把。上各点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移卡

个单位长度，得到曲线C

诱导公式图象的伸缩和平移变换

［思路分析］异名三角函数---------►同名三角函数----------------►得结

论.

［解析］因为尸sin（2x+*j=cos（2x+g---|"）=cos（2x+。），所以曲线G：y

=cosx上各点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，得到曲线/=。052%再把得

到的曲线y=cos2x向左平移运个单位长度，得到曲线y=cos2（x+同=

cos^2x+—j.故选D.

［答案］D

【典题2】（考查已知三角函数的图象求解析式）（2017•洛阳模拟）函数f（x）=2sin（3x

+0）（。＞0,0＜。〈万）的部分图象如图1-1所示，已知图象经过点1（0,1）,

£■，—1）,则Hx）=.

【导学号：07804000］

图1-1

2Ji

［思路分析］由图象得周期「,利用7=—3得。一由特殊点/(O,D得关于0的三角

方程~利用。的范围确定。的值

［解析］由已知得5=可，T=,又T—3=3.

zoo3

,、1一nn

/'(0)=1,Asin0=5，又'.'OV:・6=不,

.•"(X)=2sin(3x+总(经检验满足题意).

［答案］2sin［了+看|

［类题通法］

1当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，

将/=5Sax^>0的图象变换成y=sin3才+。的图象时，只需进行平移

变换，应把ox+0变换成U%+—,根据—确定平移量的大小，根据」的符号

、3)3G)

确定平移的方向.

2函数y=/sinox+。的解析式的确定

g,百口/士曲占,最大值一最小值

①/由最值确定，/!=--------------:

②3由周期确定；

3。由图象上的特殊点确定.

通常利用峰点、谷点或零点列出关于。的方程，结合。的范围解得。的值，所列

方程如下：

峰点：3x+0=5+24”；谷点：3x+6=—•.，利用零点时，要区分该零

点是升零点，还是降零点.

升零点图象上升时与x轴的交点：3x”=2k"；

降零点图象下降时与x轴的交点：ox+0=n+2An.以上4GZ

■对点即时训练.........................................................

1.己知函数/•(x)=sin2(ox)一3。>0)的最小正周期为自，若将其图象沿x轴向右平移

a(a>0)个单位，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为()

/、1—COS?3X11B2nn

D［依题尽得F(x)=-------------5=-5COS23X,取小正周期7=577=丁，S=

2,所以f(x)=—/cos4x,将f(x)=—"os4x的图象向右平移a个单位后得到函

数g(x)=-；cos［4(x—a)］的图象.又函数g(x)的图象关于原点对称.

,,1JTAJTJI,、

因此有g(0)=—geos4a=0,4a="+?，4eZ,即3=F-+k，4eZ,因此正实

ZZ4o

数a的最小值是小，选D.]

O

2.函数f（x）=/sin（3x+。）（4。，。为常数，4>0,。:>0,0<“）的图象如图1-2

所示，则/•仔）的值为

1[根据图象可知，4=2,¥=*一专，所以周期7="，。=*=2

又函数过点（看，2）,

所以有sin（2X?*+。）=1,而

所以。弋，则/U）=2sin

因此f高=1.]

■题型强化集训

（见专题限时集训丁3、15、Tn）

题型2三角函数的性质问题

(对应学生用书第2页)

■核心知识储备........................................................

1.三角函数的单调区间：

JIJI"

y=sinx的单调递增区间是,20十万(AeZ),单调递减区间是

~兀3兀］、

2女冗+彳，2攵n+-^—(AeZ)；y=cosx的单调递增区间是［24兀一兀，

2kxi(keT),单调递减区间是［24冗，2k^+］(AeZ)；y=tanx的单调递增区间

兀、

是1(n-JI-ku+yJ(AGZ).

2.三角函数的对称性

JI

y=/sin(3x+0),当0=4几(4WZ)时为奇函数；当。=衣冗十方(女WZ)时为偶函

n

数；对称轴方程可由ox+0=%£+5aez)求得.

n

y=/fcos(Qx+0),当十5(AWZ)时为奇函数；当0=*nawZ)时为偶函

数；对称轴方程可由ox+0=A"(ACZ)求得.

y=/tan(0x+。)，当0=XnJeZ)时为奇函数.

3.三角函数的最值

(1)y—asinx+Acosx+c型函数的最值：

通过引入辅助角。可将此类函数的最值问题转化为特sin(x+。)+

(其中tan的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解.

(2)y=asin'x+bsinxcosx+ccos1x型函数的最值：可利用降幕公式sinx=

1—cos2xsin2x1+cos2x..

---------,sinxcosx=—-—,cos9-x=---------,斗等y=asm2%+Z?sinxcosx

转化为y=Jsin2x+Bcos2x+C,这样就可将其转化为(1)的类型来求最值.

■典题试解寻法.........................................................

JI

【典题1］(考查三角函数图象的对称性)将函数f(x)=cos2x的图象向右平移了个单位

后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质()

A.最大值为1,图象关于直线•对称

B.在(0,7)上单调递增，为奇函数

C.在(一一京一，瓦I上单调递增，为偶函数

D.周期为n,图象关于点很，0)对称

［解析］由题意可得将f(x)=cos2x的图象向右平移十个单位得到g(x)=

cos12(x—」［［|=cos6'-2,=sin2x的图象，因为函数g(x)为奇函数，所以排除C,

又当时函数值为0,当入=等时，函数值为平，所以A和D中对称的说法不正

/oZ

确，选B.

［答案］B

【典题2】(考查三角函数的值域问题)(2017•全国U卷)函数f(x)=sin%+

小cosx-尖fo,的最大值是________-

八L乙J7看精彩做课

JI

VxE0,—,

Acos［0,1］,

...当cosX=平时，f(x)取得最大值，最大值为1.

［答案］1

【典题3】(考查三角函数的定义域、周期性及单调性的判断)已知函数/Xx)=4tan

【导学号：07804001］

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

⑵讨论f(x)在区间［一丁Ji，向n上的单调性.

［解］(Df(x)的定义域为卜,工5+〃其，kez

=sin2x+/（1-cos2x）-4=sin2x-/cos2x=2sin（2x――j.

2JI

所以f(x)的最小正周期7=装-=n•

(2)令z=2x—亍则函数y=2sinz的单调递增区间是［一5+2内,万+24”，

kRZ.

JinnJI5n

由一丁+24兀W2x—k+24兀，得一行+4兀WxW-jk+A71，keZ.

乙力41Lt1,乙

JiJi_1Iji5人

设4=一~^"，—,B=\x—记+4口WxWm+%“，ZrGZ，，易知408=

JIJI~

__12,T,

JIJTJIJIJIJI

所以当xe――,n时/3在区间一行，■上单调递增，在区间--T)一行上

k1.乙A+1,乙

单调递减.

［类题通法］

函数尸力sin(“x+。)的性质及应用的求解思路

第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=4sin(3x+。)

+8的形式；

第二步：把“0x+视为一个整体，借助复合函数性质求y=4sin(0x+0)+6的

单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

■对点即时训练.........................................................

1.已知函数f(x)=sin(。8+2。)-2sin0cos(。)(Q>0,OCR)在(n,^~)上

单调递减，则。的取值范围是()

A.(0,2］B.(0,1

---

115

-D--

C.24

--2?-

C"（x）=sin（GX+。+0）—2sin0cos（3才+0）=cosOsin（3x+。）—sin

0cos(3x+0)=sinax,—+2An,k^Z=>~—+---WxW7;-

2223323

2AJI「n2〃冗3n24五一

+—,Aez,所以函数F(x)的单调递减区间为57；+—丁，^-+~—，

CO乙33乙33

ji2k双3n3冗24兀n2k61

kcz,所以厂+——<H<—<―+——，XGZ,由厂+——W”,可得5+

乙33乙乙33乙33乙

2AW3，kGZ,由-+--~,kGZ,可得公式1+洋，keZ,所以

乙乙33OZ

+若，kez,又3等一n=9，所以几，因为3>0,所以0VQW2,所以

oZZZ3

当A=0时，；或3・1.故选(\]

2.已知函数f(x)=/cos2(3*+0)+1(力>0,G>0,OV0V5)的最大值为3,f(x)的图

象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则F(l)+〃2)+…+F(2

016)=()

【导学号：07804002]

A.2468B.3501

C.4032D.5739

力力T

C[F(x)=gcos(23x+2。)+万+1.由相邻两条对称轴间的距离为2,知万=2,得T

=4=卷三，3=5,由f(x)的最大值为3,得1=2.又f(x)的图象过点(0,2),Acos

乙34

Ji,、AnITnJI

20=0,；.20=4五+方(〃仁Z),即0=-^-+7(Z4£2),又0V。〈丁，；・。=7，

.,"(X)=cos(5x+5)+2=—sin—^~+2./(1)+A2)H------FA2016)=(—1+2)

+(0+2)+(1+2)+(0+2)+(-1+2)+•••+(0+2)=2X2016=4032.]

■题型强化集训.........................................................

(见专题限时集训「、T,、窘、17、%、「2、T,a、T,4)

题型3三角恒等变换

(对应学生用书第4页)

■核心知识储备.........................................................

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(。±8)=sinacos/±cos<?sinB；

⑵cos(。±£)=cosGcosj^+sinasin£；

tanQ土tan8

⑶tan(Q±£)=

1+tanatan£

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2a=2sin4cosa；

(/2)\cos2a=co2s。一si2n-。=2co2s~。-1=1-2si9n”。；

2tana

(3)tan

1—tan2a

3.辅助角公式

asinx+Z>cosx=q才+〃sin(x+0)其中tan

■典题试解寻法

【典题1】（考查给式求角问题）（2014•全国I卷）设5），££（0,5）且tan。

1+sin£

,则（)

cos3

nJT

A.3a—^=—B.2。一£=万

JI

C.3。£=—D.2a+fi=—

1+sin£/口sina1+sinB

［解析］法一：（切化弦）由tana=得

cosBcosa

即sincosP=cosa+cossin£,

...sin(Q—£)=cos。=si

0-i}

由sin(a—B)=,得a-B=--一a,

JI

；・2a—£.

l+sin£l+cos(j-£)

法二:（弦化切）tana=

C0S£"sin(>£

JI

：・2a—B=2kn+—,kGZ.

当A=0时，满足2Q—£=方，故选B.

［答案］B

【典题2］（考查给值求值问题）（2016•江西八校联考）如图1-3,圆。与x轴的正半轴的

交点为儿点G8在圆。上，且点。位于第一象限，点8的坐标为借，一总，ZAOC

=a,若18cl=1,则(cosg—sin£"cosg一半的值为.

【导学号：07804003］

图1-3

［解析］由题意可知|仍|=1员1=1,；.2\咏为正三角形.

5

由三角函数的定义可知，sinZAOB=si

13,

a#m1+cosQsinQA/3A/31

A^cos'f-sinfcos-

2222=2MSQ—^sin

in仔一“4

a=sin

5

［答案］大

1o

［类题通法］

解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别

与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等,

从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向.

■对点即时训练

JT=|,则cos(2a

1.对于锐角a，若sin|a~12

243

A.B，

258

亚24

C.D----

825

4n

D［由a为锐角，且sin=~,可得cos|那么‘05(4+司=

5

nJIJI.n亚a

a-=coscos——sinasm彳=右，于是

司+了44

24

cos2a=2cos1oj—i=2X1=一赤.故选DJ

11JIJI，」.

2.已知tana=-,tan£=—亍，且0V。<—，~T<£Vn，则2。一£的值为

0I乙乙

3n.2tana3

~"Ltan2a=~."2=：,

41—tana4

n

又OV所以2a£，又万v£v五，

所以2°-£C(—%°),又tan"——右则tan(2a—£)=；；：二。27tM彳

3.1

4+7

1一诋

故2a-P=-，］

■题型强化集训

（见专题限时集训7、Tg、Tio）

三年真题I验收复习效果

（对应学生用书第4页）

1.(2015•全国I卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()

J3J311

A.—B.C.~"D.~

D[sin20°cos10°—cos1600sin100=sin20°cos10°+cos20°sin10°

=sin(20°+10°)=sin30°=1,故选D.]

3

2.(2016•全国HI卷)若tana则cos'〃+2sin2a=()

644816

A，25B，25C.1D，25

看精彩微课

「《_,、，3rl2—八cosa+4sinacosal+4tana

咽为tana=7则cos-a+2sin2a=一/不不旷

tan2a+\

3

1+4X7

=25-故选A。］

i+1

n

3.（2016♦全国n卷）若将函数y=2sin2x的图象向左平移逐个单位长度，则平

u

归

移后图象的对称轴为（）课

【导学号：07804004］

k式冗

A.

20

AJiJI

B.

AJIJI

C.x=———（k^Z）＞

乙1Ci

k炙n

D.x=—+—{k^Z）

B［将函数y=2sin2x的图象向左平移三个单位长度，得到函数y=2sin2。+总

=2sin（2x+^1的图象.由2x+至=Ax+万（A《Z）,得才=-^-+至（4£2）,即平移

An,n

后图象的对称轴为X：UeZ).]

26

（x+高，则下列结论错误的是（

4.(2017•全国HI卷)设函数f(x)=cos|

A./'（x）的一个周期为一2口

码上右一右

着精彩徼课

y=F（x）的图象关于直线》・对称

JT

Hx+2的一个零点为、=至

单调递减

D[A项，因为/1（*）=cos（x+旬的周期为2An（4WZ）,所以/1（*）的一个周期为一

2n,A项正确.

B项，因为f（x）=cos（x+V图象的对称轴为直线户而一方〃eZ）,所以尸/V）

的图象关于直线X=等对称，B项正确.

一