2023-2024学年山西省太原五中高一（下）段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山西省太原五中高一（下）段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+2i1−i(i为虚数单位)，则复数z−A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知a，b，c是非零向量，则“a=b”是“a⋅cA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若a/​/α，b/​/a，则b/​/α

B.若a/​/α，b/​/α，a⊂β，b⊂β，则β/​/α

C.若α/​/β，b/​/α，则b/​/β

D.若α/​/β，a⊂α，则a/​/β4.在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，则(AB+ACA.10 B.12 C.−10 D.−125.在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=(

)A.π6 B.π4 C.π36.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为(

)A.23π

B.4297.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积(单位：平方丈)为(

)A.51+π24π B.58.在△ABC中，已知A=60°，BC=2，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为(

)A.1 B.2 C.3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(−4,3)，b=(7,1)，下列说法正确的是(

)A.(a+b)⊥a B.|a−b|=55

C.与向量10.下列有关复数的说法中(其中i为虚数单位)，正确的是(

)A.i22=1

B.复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2

C.若1−3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则q=−8

D.若复数z满足|z−i|=111.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1A.存在点G，使BG/​/EF

B.存在点G，使平面EFG/​/平面BDC1

C.三棱锥A1−EFG的体积为定值

D.平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设m∈R，复数z=(m2+m−2)+(m−1)i，其中i为虚数单位，若z为纯虚数，则m=13.如图，直角△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，O′对应直角坐标系中的坐标原点O，∠A′C′B′=90°，A′O′=B′C′=2，则AB=______．14.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则b+ca的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(2,x)，b=(1,2)．

(1)若x=32，求a在b上的投影向量的模；

(2)若a//b，向量c=(1,x−1)16.(本小题15分)

如图，在梯形ABCD中，AB/​/CD，BC⊥CD，CD=2AB=23，∠ADC=45°，梯形绕着直线AB旋转一周．

(1)求所形成的封闭几何体的表面积；

(2)17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=(cosC+cosB,sinA)，b=(cosC−cosB,sinC−sinA)，且a⊥b．

(Ⅰ)求角B的值；

(Ⅱ)若△ABC中，a+c=9，b=18.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为

PD、BC的中点，面PAB∩面PCD=l．

(1)证明：l/​/AB；

(2)证明：EF/​/平面PAB．

(3)在线段PD上是否存在一点G，使FG//面ABE？若存在，求出PGGD的值；若不存在，请说明理由．19.(本小题17分)

如图，半圆O的直径为2cm，A为直径延长线上的点，OA=2cm，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=α．

(1)当α=π3时，求四边形OACB的周长；

(2)克罗狄斯⋅托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求∠AOC．

(3)问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值．

参考答案1.C

2.A

3.D

4.A

5.C

6.C

7.B

8.C

9.ABD

10.BD

11.AC

12.−2

13.314.(1+15.解：(1)当x=32时，a=(2,32)，

因为b=(1,2)，

所以a在b上的投影向量的模为|acosθ|=|a⋅b||b|=|2+3|12+22=5．

(2)因为向量a16.解：依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，

(1)其表面积S=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积=12π+32π+3π=(15+32)π．

(2)其体积V=圆柱体积17.解：(Ⅰ)由a⊥b，得a⋅b=(cosC+cosB)(cosC−cosB)+sinA(sinC−sinA)=0，

化简得cos2C−cos2B+sinAsinC−sin2A=0，

∴sin2B−sin2C=sin2A−sinAsinC

由正弦定理，得b2−c2=a2−ac，

∴cosB=a2+c18.证明：(1)∵ABCD为平行四边形，

∴AB/​/CD，又AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，

∴AB/​/面PCD，∵面PAB∩面PCD=l，∴l/​/AB．

(2)取PA中点M，连接BM，EM，则EM= /​/12AD，又∵BF= /​/12AD，

∴EM= /​/BF，∴四边形BFEM为平行四边形，∴EF/​/BM，

∵EF⊄面PAB，BM⊂面PAB，∴EF/​/面PAB．

(3)取AD中点N，连接FN，NG，则FN/​/AB，FN⊄面ABE，AB⊂面ABE，

∴FN/​/面ABE，又∵FG/​/面ABE，FN⋂FG=F，FN，FG⊂面FNG，

∴面FNG/​/面ABE，且面PAD⋂面ABE=AE，面PAD⋂面FNG=NG，

∴AE/​/NG，又∵N为AD中点，19.解：(1)在△ABO中，

由余弦定理得AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cosα=1+4−2×1×2×12=3，

即AB=3，于是四边形OACB的周长为OA+OB+2AB=3+23；

(2)因为OB⋅AC+OA⋅BC≥AB⋅OC，