高中数学课堂讲义：指数函数及其性质

高中数学课堂讲义：指数函数及其性质

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书•必修1》（人教A版）第二章

第一节的第三课时《指数函数及其性质》.

目录

1.指数函数....................................................................1

2.教学背景分析...............................................................3

3.教学目标设置...............................................................3

4.教学策略分析...............................................................4

5.教学过程的设计与实施.......................................................5

5.1.建立指数函数概念........................................................5

5.2.探究指数函数性质........................................................6

5.3.应用指数函数知识........................................................7

5.4.课堂小结与布置作业......................................................8

1.指数函数

指数函数其实就是之前学习的一个推广，当底数大于零，可以将指数的取

值范围从指数推广到了实数，这就形成了指数函数的形成，对此只有看数学界

的定义了。

在此之前有两个前提：

指数函数的底数大于零。指数函数的底数不能等于一。数学界指数函数的

定义：

一般地，函数

>=优（Q>0,且4W1）

只要形式上，符合上图的函数形式，则这种函数就是叫做指数函数。其中

X是自变量，并且函数的定义域是R。

三、指数函数的性质

由指数函数的形式可以得出，指数函数的底数要求大于零，并且不等于

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一，这就让定义域划分为了两部分:

由于底数的取值范围，造就了两个区间，因此当底数0<a<l时，函数是一

个单调递减的函数，当底数a>l时，函数是一个单调递增的函数。

以其中的a>l作为讨论，指数函数也是函数，既然是函数就按照函数的相

关性质进行讨论，在这之前要先说明指数函数的定义域：XGR

指数函数的第一个性质就是单调性，由图可知，指数函数的单调性由a的

取值范围决定的，当a>l时，指数函数是单调递增函数，当0<a<l时，指数函

数是单调递减函数。函数第二个性质就是奇偶性，但从图像上看，并没有奇偶

性，就不讨论了。函数第三个性质就是周期性，同理，从图像上看，也是没有

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周期性，也不做讨论了。函数第四个性质就是对称性，从图像上看，也没有对

称性，也就不讨论了。这就是从函数的性质上面进行讨论的，除此之外就需要

从指数函数自身的性质进行讨论了。

指数函数的所有的图像都过一个定点(0,1),即x=0时，y=l第二个专

属性质就是单调性由a的取值范围决定的。批注：

2.教学背景分析

1.教学内容分析

指数函数是高中生在学习了函数的概念及性质后学习的第一个具体的函数.

指数函数的学习，一方面可以进一步深化对函数概念的理解，另一方面也为研

究对数函数、辱函数、三角函数等基本初等函数打下基础.

本节课的教学内容是指数函数及其性质.通过实际情境的设置，学生体验从

实际问题中抽象概括出指数函数的概念；学生经历自主探究，从中感悟指数函

数的图象与性质，这是本节课的一条明线；在探索指数函数性质的过程中，学

生体验研究函数的基本方法，是本节课的一条暗线，也是今后研究函数的主线.

2.学生学情分析

在初中，学生研究过一次函数、二次函数、反比例函数等具体的函数，能

借助列表、描点的方法作图，通过观察图象，获得对函数基本性质的直观认识.

到高中，学生学习了用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系一一函

数的概念，在此基础上讨论了研究函数性质的一般方法.到了第二章的学习中，

学生完成了指数取值范围的扩充，具备了进行指数运算的能力.为本节课的学习

奠定了基础.

3.教学目标设置

基于以上分析，根据本节课的教学内容、课程标准的要求和学生的实际情

况，确定本节课的教学目标为：

(1)知识与技能

①了解指数函数的实际背景，体会建立一个函数的基本过程和方法；

②体会研究一个函数的基本方法；

③理解指数函数的概念、图象与性质.

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(2)过程与方法

①在实际问题中，抽象出指数函数的概念，认识数学与现实生活及其它学

科的联系.

②能借助计算器画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性

与特殊点，体会研究具体函数的过程和方法，如从具体到抽象的研究过程，数

形结合的方法.

(3村青感态度与价值观

在探究活动中，通过独立思考与合作交流，发展思维，养成良好的思维习

惯，提升自主学习能力.

教学重点：指数函数的概念和性质.

教学难点：建立指数函数的概念，探究指数函数的性质.

4.教学策略分析

为了更好的突出教学重点，一方面，我引导学生讨论底数的取值范围，关

键在于帮助学生认识底数取值范围的合理性.这样指数函数概念的形成经历了由

特殊到一般，由具体到抽象的渐进过程，更加符合学生的认知规律.另一方面，

引导学生先明确研究函数的内容与方法，从整体上把握研究函数的方向，在此

基础上，给予学生充分的时间，让学生经历独立思考、同学讨论的探究过程，

归纳出指数函数的性质.

为了突破难点，我采取了以下措施：首先，我让学生在一个自己认为可以

的范围内任取底数。的值，然后作出图象，用形的直观引导学生主动的分析。

的范围，再结合上节课指数的运算来帮助学生分析a的范围，这不仅为概念的

形成做好准备，其分析过程中形数互助的方法也为接下来探究指数函数的性质

做好了铺垫.而对于指数函数性质的探究，借助图形计算器的作图和游标，及其

对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引

起变化的关键因素等等，可以使学生方便地观察函数的整体变化情况，为归

纳、概况指数函数的性质及不同函数之间的联系做好准备，进而突破难点.

另外，整个教学过程中，教师都可以通过“截取班级”及时看到学生在图

形计算器上的操作，有利于及时了解学生的想法和困难.

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5.教学过程的设计与实施

5.1.建立指数函数概念

问题1请你想一想，这两个函数的结构有什么共同特征？

①设X年后我国的GDP为2000年的y倍，那么：

：，

y=1.073*(XGN,x<20)

②生物体内碳14含量P与死亡年数，之间的关系：

P=(2)5730

<2)(^>0)

追问如果用字母来代替数，那么这样的函数可以更一般地表示为什么？

【设计意图】考虑到知识间的联系，以本章开篇的两个例子为出发点，找

出两个函数表达形式上的共同特征一一底数是常数而指数是自变量，进而提炼

出指数函数模型y=“".

对于这类函数来说，自变量是x且自变量出现在指数位置上，底数是为

了使优更具有代表性，应用更广泛，自变量x可以取全体实数.这时，以上

两个例子的不同之处就在于底数不同，那么你认为底数。可以取哪些值呢？画

几个图象看看！

活动1通过画几个具体函数图象，看”的取值情况.

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弧度奥・

退出而开机

IS文档・

【设计意图］结合上…中课指数与指数牝的运算,引导学生分析》=优的

底数。的范围.底数不能为负数对于学生自己发现是困难的，因此借助图形计算

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器，让学生画出几个图象，通过形的直观来引领学生思考，再用数的运算来帮

助分析原因.

引入课题：这就是我们今天要研究的2.1.2指数函数及其性质.

引出课题并板书指数函数的概念：

一般地，函数）且叫做指数函数（exponentialfunction）,

其中x是自变量，函数的定义域为R

5.2.探究指数函数性质

建立了一个函数，接下来就要来探究这个函数的性质.

问题2你打算怎样研究指数函数的性质呢？

问题3我们一般要研究哪些性质呢？

下面大家开始探究指数函数的性质.

活动2探究指数函数的性质.

1.引导学生讨论研究指数函数性质的方法，思考需要研究函数的哪些性

质，强调形数互助.进而突出函数图象在研究性质中所起到的直观的作用.

2.指数函数的图象是讨论它的性质的重要载体.借助图形计算器的画图功

能，可以非常直观的观察、归纳指数函数的性质.

问题4几个具体函数所具有的特征能代表这类函数的共同特征吗？

（视学生情况，教师提示：为了探究这类函数的共同特征，借助计算器的

游标功能让。取遍大于0且不等于1的所有实数.）

活动3借助计算器的游标功能，画出以。为底指数函数图象，进一步探

【设计意图】

1.经历从具体到一般地研究函数性质的方法，通过独立思考和交流讨论，

概括出指数函数的性质，培养学生的表达能力.

2.借助图形计算器的作图和游标，及其对函数图象能进行直接操作的优越

性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学

生方便地观察函数的整体变化情况.这对于学生归纳、概括函数的性质及不同函

数之间的联系与区别非常有利.

利用图形计算器便于探究指数函数的性质，如果不用图形计算器等多媒体

工具怎么办？

活动4动笔画出两个指数函数的图象，在画图中进一步体会指数函数的

性质.

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