新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题四立体几何第二讲空间位置关系空间角与空间距离-小题备考微专题3空间距离

微专题3空间距离常考常用结论1．点到直线的距离：已知A，B是直线l上随意两点，P是l外一点，PQ⊥l，则点P到直线l的距离为PQ＝＝.2．求点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的任一点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离为|PQ|＝.1．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)则点G到平面D1EF的距离为()A.B．C．D．2．[2024·浙江温州三模]四面体OABC满意∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为()A．B．C．D．3.(1)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马PABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为()A．B．C．D．(2)[2024·湖北武汉模拟]如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则点C到平面AEC1F的距离为()A．B．C．D．技法领悟1．用几何法求空间距离时，一般接受等体积法．2．用向量法求空间距离时，要熟记公式，还要正确建立空间直角坐标系．[巩固训练3](1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，若二面角CABC1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为()A．1B．C．D．(2)[2024·北京石景山模拟]如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为()A．1B．C．D．微专题3空间距离保分题1．解析：因为A1B1∥EF，所以A1B1∥平面D1EF，所以点G到平面D1EF的距离就是直线A1B1到平面D1EF的距离，即点A1到平面D1EF的距离，点A1引直线D1E的垂线，垂足为点M，A1M就是所求距离，在直角三角形A1ED1中，A1D1＝1，A1E＝，D1E＝，所以1×＝×A1M⇒A1M＝.故选B.答案：B2．解析：四面体OABC满意∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，即OA，OB，OC两两垂直，以点O为原点，以射线OA，OB，OC的正方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，因为OA＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，则A(1，0，0)，D(0，0，1)，G(，1)，于是＝(－，1)，＝(－1，0，1)，||＝＝·＝－×(－1)＋1＝，所以点G到直线AD的距离d＝＝＝.故选A.答案：A提分题[例3](1)解析：设A到平面PBD的距离为h，则三棱锥PABD的体积为：×S△ABD×PA＝×S△PBD×h，即有×2×2×1＝×2×h，∴h＝.故选B.(2)解析：以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，＝(－2，4，3)，＝(0，4，1)．设平面AEC1F的法向量n＝(x，y，z)，由，得，令z＝1，∴，所以n＝(1，－，1)．又＝(0，0，3)，∴点C到平面AEC1F的距离d＝＝.故选C.答案：B答案：C[巩固训练3](1)解析：取AB的中点O，连接OC和OC1，依据二面角的定义，∠COC1＝60°，OC＝，所以CC1＝，OC1＝，依据等体积转化＝VC1ABC，即×1×＝×1××h，解得：h＝，就是点C到平面C1AB的距离．故选D.(2)解析：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，设P(2－t，2，t)，(0≤t≤2)，＝(－t，0，t)，＝(－2，2，0)，＝