2025届新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质第2课时直线与双曲线的位置关系素养作业新人教A届选择性必修第一册

第三章3.23.2.2第2课时A组·基础自测一、选择题1．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝eq\f(1,2)x交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(15)，则该双曲线的方程为(B)A.x2－y2＝6 B．x2－y2＝9C.x2－y2＝16 D．x2－y2＝25[解析]设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝eq\f(1,2)x联立，得eq\f(3,4)x2＝a2，∴|AB|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)×eq\f(4\r(3),3)a＝2eq\r(15)，∴a＝3，故选B.2．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(D)A.a＝1 B．0<a<1C.a>1 D．a≥1[解析]等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.3．直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为(B)A.eq\f(\r(14),3) B．eq\f(2\r(14),3)C．eq\f(2\r(7),3) D．eq\r(7)[解析]将直线x＋y＝1代入4x2－y2＝1得3x2＋2x－2＝0.设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(2,3)，x1x2＝－eq\f(2,3)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(2\r(14),3).故选B.4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(C)[解析]方程可化为y＝ax＋b和eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a、b一致.故选C.5．(多选题)如图，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，P为双曲线C上在第一象限内的一个点，直线PF1与y轴相交于点Q，△PQF2为等边三角形，则(BCD)A.双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)xB.双曲线C的离心率为eq\r(3)C.若点M(eq\r(6)，－eq\r(6))在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1D.若点M(eq\r(6)，－eq\r(6))在双曲线C上，则点Q的坐标为(0，eq\r(3))[解析]设|PQ|＝m，由△PQF2为等边三角形，可得|PF2|＝|QF2|＝|PQ|＝m，由双曲线的定义可得|QF1|＝|PF1|－|PQ|＝|PF2|＋2a－|PQ|＝2a，因为|QF1|＝|QF2|，所以m＝2a，所以∠PF1F2＝30°，cos30°＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OF1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(QF1)))＝eq\f(c,2a)＝eq\f(\r(3),2)，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，故B正确；由b2＝c2－a2＝3a2－a2＝2a2，即b＝eq\r(2)a，则渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，故A错误；若点M(eq\r(6)，－eq\r(6))在双曲线C上，可得eq\f(6,a2)－eq\f(6,b2)＝1，结合b＝eq\r(2)a，解得a＝eq\r(3)，b＝eq\r(6)，所以双曲线方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1，故C正确；由上面的分析可得a＝eq\r(3)，b＝eq\r(6)，c＝3，F1(－3,0)，直线PF1的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋3)，可令x＝0，解得y＝eq\r(3)，即Q(0，eq\r(3))，故D正确.故选BCD.二、填空题6．直线y＝x＋1与双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B两点，则|AB|＝4eq\r(6).[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,2)－\f(y2,3)＝1，))得x2－4x－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2＝4，,x1·x2＝－8，))∴|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋k2))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))2－4x1x2)))＝eq\r(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16＋32)))＝4eq\r(6).7．已知双曲线x2－y2＝1和斜率为eq\f(1,2)的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标(x，y)满足的方程是_y＝2x__.[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－y\o\al(2,1)＝1，,x\o\al(2,2)－y\o\al(2,2)＝1，))两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2).因为xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)≠0，M的坐标为(x，y)，所以eq\f(2x,2y)＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，又直线l的斜率为eq\f(1,2)，所以eq\f(x,y)＝eq\f(1,2)，即y＝2x.8．经过点M(2,1)作直线l交双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为4x－y－7＝0.[解析]设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，M(x0，y0)，则2xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝2①2xeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,2)＝2②①－②得2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0,2×2x0＝2y0eq\f(y1－y2,x1－x2)，所以8－2k＝0，所以k＝4，所以y－1＝4(x－2)，所以直线l的方程为4x－y－7＝0.三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\r(2)，过点(3，－eq\r(3)).(1)求双曲线标准方程；(2)若直线y＝k(x－1)与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围.[解析](1)由双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\r(2)，过点(3，－eq\r(3))，设双曲线的方程为：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2)，可得a＝b，由其过点(3，－eq\r(3))，可得eq\f(9,a2)－eq\f(3,b2)＝1，可得a＝b＝eq\r(6)，故双曲线标准方程为：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)联立直线y＝k(x－1)与双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1，可得：(1－k2)x2＋2k2x－k2－6＝0，可得：1－k2≠0，且Δ＞0，可得：4k4－4(1－k2)(－k2－6)＞0，可得：k≠±1，且－eq\f(\r(30),5)＜k＜eq\f(\r(30),5)，故k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(30),5)，－1))∪(－1,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(30),5))).B组·素养提升一、选择题1．设离心率为e的双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是(C)A.k2－e2>1 B．k2－e2<1C.e2－k2>1 D．e2－k2<1[解析]直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率－eq\f(b,a)<k<eq\f(b,a)，两边平方得，k2<eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1，即e2－k2>1.2．已知直线l：x－y＋2＝0与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，点P(1,4)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为(D)A.eq\f(4,3) B．2C．eq\f(\r(5),2) D．eq\r(5)[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P(1,4)是弦AB的中点，根据中点坐标公式，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝8，))又由直线l：x－y＋2＝0的斜率为1，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1.因为A，B两点在双曲线上，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)－\f(y\o\al(2,2),b2)＝1))两式相减并化简得eq\f(b2,a2)＝eq\f(y1＋y2y1－y2,x1＋x2x1－x2)＝eq\f(8,2)×1＝4，所以eq\f(b,a)＝2，所以e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(5).3．(多选题)若双曲线C1：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)与椭圆C2：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的左右焦点F1，F2，且C1，C2在第一象限相交于点P，则(BD)A.|PF1|＝eq\r(2)B.C1的渐近线方程为y＝±xC.直线y＝x＋2与C1有两个公共点D.△PF1F2的面积为2eq\r(2)[解析]因为双曲线C1：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)与椭圆C2：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的左右焦点F1，F2，所以2＋b2＝8－4，解得b2＝2，即C1：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，所以其渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，即B正确；因为y＝x＋2与双曲线C1的一条渐近线平行，且y＝x＋2过左焦点F1(－2,0)，所以直线y＝x＋2与C1只有一个交点，即C错误；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－\f(y2,2)＝1，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4，,y2＝2，))又C1，C2在第一象限相交于点P，所以P(2，eq\r(2))，因此|PF1|＝eq\r(2＋22＋2)＝3eq\r(2)，即A错误；△PF1F2的面积为S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·yP＝2eq\r(2)，即D正确.二、填空题4．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－3,0)的直线与双曲线交M，N两点，且线段MN的中点坐标为(3,6)，则双曲线方程是eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.[解析]设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，两式相减可得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)，所以eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，因为点(3,6)是线段MN的中点，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12，所以kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,y1＋y2)×eq\f(b2,a2)＝eq\f(6,12)×eq\f(b2,a2)＝eq\f(b2,2a2)，因为kMN＝eq\f(6－0,3－－3)＝1，所以eq\f(b2,2a2)＝1，即b2＝2a2，因为c2＝a2＋b2＝3a2＝9，所以a2＝3，b2＝6，所以双曲线方程是eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.5．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，则∠F1BF2＝_90°__，C的离心率为_2__.[解析]方法一：由eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得A为F1B的中点.又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2.又eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°.∴|OF2|＝|OB|，∴∠OBF2＝∠OF2B.又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形.如图1所示，不妨设B为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，－\f(\r(3),2)c)).∵点B在直线y＝－eq\f(b,a)x上，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝2.方法二：∵eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图2，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得eq\f(|BH|,|OH|)＝eq\f(b,a)，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c，0).又∵eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴A为F1B的中点.∴OA∥F2B，∴eq\f(b,a)＝eq\f(b,c－a)，∴c＝2a，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝2.三、解答题6．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0)，直线3x－2y＝0与双曲线C的一个交点的横坐标为2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为135°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积.[解析](1)设双曲线C的标准方程是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).由题意可知：点(2,3)在双曲线C上，从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝4，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝3.))所以双曲线C的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)由已知得直线l的方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0，所以原点O到直线l的距离为d＝eq\f(|0＋0－1|,\r(12＋12))＝eq\f(1,\r(2)).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,3)＝1，,y＝－x＋1，))消去y可得x2＋x－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋12)·eq\r(－12－4×－2)＝3eq\r(2)，所以△OAB的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×eq\f(1,\r(2))＝eq\f(3,2).C组·能力拓展已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，点P(4，eq\r(3))在C上.(1)求双曲线C的方程；(2)设过点(1,0)的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得eq\o(QM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.[解析](1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)－\f(3,b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(5),2)，,a2＋b2＝c2，))解得a2＝4，b2＝1.∴双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)假设存在定点Q.设定点Q(