教辅：高考数学之2021高考仿真模拟卷1

2021高考仿真模拟卷（一）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合A={3,2"},B={a,b},若ACB={2},则AU8=（）

A.{1,2,3}B.{0,1,3）

C.{0,1,2,3}D.{1,2,3,4）

答案A

解析因为ACB={2},所以26A,所以2“=2,解得。=1,故。=2,所以

A={3,2},B={\,2},所以AUB={1,2,3}.

2.（2020.山东济宁邹城市第一中学高三五模）已知复数z=a2i-2a-i是正实

数，则实数。的值为（）

A.0B.1

C.-1D.±1

答案C

解析因为z=〃2i—2a-i=-2。+（层一1»为正实数，所以-2。＞0且次_1

=0,解得。=-1.故选C.

3.（2020.天津高考）设aWR,则“a＞l”是“层＞/，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析求解二次不等式层＞。可得。＞1或。＜0,据此可知，“a＞l”是“屋

＞a”的充分不必要条件.故选A.

4.已知S,是等差数列仅"}的前〃项和，2+3=46+43,贝lJS7=（）

A.2B.7

C.14D.28

答案C

解析’:2+675=+43=。5+<24,解得44=2,57==7fl4=14,故

选C.

Y

5.（2020.山东泰安三模）函数;（©M^cosi+sinx在［-兀，兀］上的图象大致为

（）

答案A

解析因为人-©=-段），所以兀r）是奇函数，排除B,D;由《第=住）X坐

+坐点）=图乂+率可知怎%住）,结合图象可知选A.

6.（2020.山东济南高三上学期期末）若抛物线V=2pxS>0）的焦点到准线的

距离为2,过焦点的直线与抛物线交于A,8两点，且|AB|=8,则弦48的中点到

y轴的距离为（）

A.2B.3

C.4D.6

答案B

解析因为抛物线y2=2px（p>0）的焦点到准线的距离为2,所以§+乡=2,故

P=2,抛物线的方程为产=4工过焦点的直线与抛物线交于A,8两点，设A（xi,

VI）,8（X2,V2）,由抛物线的性质，得焦点弦|A同=X1+X2+P，所以8=X1+尤2+2,

6

-

则xi+及=6,所以弦AB的中点到y轴的距离为2=2=3.故选B.

7.（2020.河南洛阳第三次统一考试）（2x+l）（x+君5的展开式中2的系数为

A.180B.90

C.20D.10

答案A

解析[+副展开式的通项公式J=C53f->,其各项次数依次为5,

2,-1,-|,所以『的系数是2x+l的一次项系数2乘以Q+束下展开式的

炉的系数.由1+才展开式的通项公式。+|=c§3~"知5-苧=2,解得r=2,

所以^的系数为2XCK2=系0.故选A.

QX_Q-X

8.(2020•山东烟台一模)已知函数,**)=/不，实数〃"〃满足不等式八2〃z

-〃)+/2-〃)>0,则下列不等关系成立的是()

A.m+77>1B.m-\-n<1

C.m-n>—1D.tn-n<-1

答案c

1

QX_e-xe-x—e

解D十C析CD.--Ax)=-A-X),故7U)为

4

R上的奇函数.对.*x)求导，得/'W=7^—r^>0,二危，)在R上单调递增.：

(e+e)•

film-ri)+fi2-n)>0,.'.film-n)>—fl2-ri)=f(n-2),2m-n>n—2,即机一

»>-1,故选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.(2020.山东枣庄二调)2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一

季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼状图(如图)，则下列说法正确的是

2019年第一季度人均消费支出及构成

A.第一季度居民人均每月消费支出约为1633元

B.第一季度居民人均收入为4900元

C.第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多

D.第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元

答案ACD

解析由饼状图可知第一季度衣着消费441元，占总体的9%,所以总支出

4414900

为函=4900元，那么居民人均每月消费支出为丁心1633元，A正确；第一季

度居民人均消费为4900元，不是收入，B错误；食品烟酒项目占31%,最多，C

正确；第一季度居民在居住项目的人均消费支出为4900X21%=1029元，D正

确.故选ACD.

10.（2020.山东新高考质量测评联盟高三5月联考）将函数y=2cosx+l图象

1兀

上的各点的横坐标缩短到原来的凌，纵坐标不变，再向左平移五个单位，得到函数

人为的图象，下列说法正确的是（）

A.点仁，0）是函数段）图象的对称中心

B.函数段）在（0,匍上单调递减

C.函数危）的图象与函数g（x）=2sin（2x+专）+1的图象相同

D.若加，龙2是函数人幻的零点，则的-尤2是兀的整数倍

答案BC

解析将函数y=2cosx+l图象上的各点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不

7T

变，可得到函数）'=2cos2x+l的图象，再向左平移五个单位，可得到函数大犬）=

2cos（2x++）+l的图象.令求得於）=1,故A错误；若用，则

2x+注（5，兀），故危）=2cos（2x+和1在（0,用上单调递减，故B正确；因为

危）=2cos（2x+聿）+1=2cos（2x+与-+1=2sin（2x+引+1=g（x），所以函数於）

的图象与函数g（x）的图象相同，故C正确；令危）=2COS（2X+B+1=0,则

（兀、1兀2兀兀4兀

cos（2x+&J=-],所以2x+%=2E+于AWZ）或21+d=2而:+亍（A6Z）,所以x

=kn+^（k£Z）x=kn+€Z）,不妨设为=:，X2=；,贝Uxi—期=字不是兀的

整数倍，故D错误.故选BC.

11.（2020.山东省实验中学高三4月高考预测）在棱长为1的正方体ABC。-

43。口中，点M在棱CG上，则下列结论正确的是（）

A.直线与平面ADDiAi平行

B.平面8M口截正方体所得的截面为三角形

TT

C.异面直线AD与Al。所成的角为Q

D.+的最小值为小

答案ACD

解析如图所示，易知平面BCGB//平面AOQN,又BMU平面8CGB,

故直线BM与平面ADDiAi平行，A正确；平面BMDi截正方体所得的截面为

BMDiN,为四边形，故B错误；连接BCi,A\B,易知AD\IIBC\,故异面直线

7T

AQi与AQ所成的角为N4G3,又48=4。=8G,故故C正确;

延长。C到"使CB'=1,易知BM=B'M,故+=小，当

M为CG的中点时等号成立，故D正确.故选ACD.

12.(2020,山东济宁三模)已知直线「=一”+2分别与函数卜=行和y=lnx的

图象交于点A(xi,6),3(x2,yi),则下列结论正确的是()

A.xi+%2=2B.exi+e'2>2e

\/e

C.xilnx2+X21nxi<0D.xiX2>

答案ABC

解析函数y=e'与y=lnx互为反函数，则函数与y=lnx的图象关于

直线y=x对称，将y=-x+2与y=x联立，得x=l,y=\,由直线y=-x+2

分别与函数y=e，和y=lnx的图象交于点A(xi,yi),Bgyi),作出函数图象如

XI+X2

图，则A3,»),8(X2,刈的中点坐标为(1,1),对于A,由=-=1,解得加+

X2=2,故A正确；对于B,丛+&v2^2^ye'i-ex2=2^exi+x2=2dp=2e,因为xiWx2,

即等号不成立，所以exi+e"2>2e,故B正确；对于C,将y=-x+2与y=e'联立

可得-*+2=巴即ex+x-2=0,设兀r)=e'+x-2,则函数为单调递增函数，因

故函数«r)的零点在(0,0

为<0)=1+0-2=-1<0,

上,即0<xi<^,由xi+X2=2,<%2<2,所以xiln%2+X21nxi=xilnX2-X21n~<riln

X2-%21nX2=(xi-%2)ln%2<0,故C正确；对于D,将y=-犬+2与y=lnx联立可

得-x+2=lnx,gp2-x-Inx=0.^-g(x)=2-x-Inx,则g(x)为单调递减函数，

13

且g(l)=l〉0,g(#)=2_,_]=]<0,贝1J142<加.又X1X2=(2_%2)X2=X21n

X2,设力(x)=xlnx,x€(1,#),则/?'(x)=Inx+1>0,即力(x)=xlnx在(1,#)

上单调递增，故xiX2=X21nx2<#ln,=坐，故D错误.故选ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2020.山东德州二模)已知双曲线。过点(2仍，-1),且与双曲线三巧=

1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为.

答案W-f=1

解析由题意设所求双曲线方程为舌-卷=心因为双曲线过点(2小，-1),

所以左=3，所以双曲线方程为方-看=焉，即"_、=L

14.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学

中有着广泛的应用，其定义为：H(x)=

当x=《P，4为整数，£为既约真分数),

<〃/八〃/若凡0是定义在R上且最小正周期

,0,当x=o,1或［0,1］上的无理数.

为1的函数，当x€［0,l］时，/U)=R(x),贝"人用+火怆20)=

答案I

解析由函数/U)的最小正周期为1可得，

痣%"g20)=，5+1>川g2+1)=.{1)+Alg2)=1+0=|.

15.(2020•山东滨州三模)已知P,A,B,C是球。的球面上的四个点，PA

1平面ABC,B4=2BC=6,ABLAC,则球。的表面积为.

答案45兀

解析由于以1平面ABC,所以%1AB,PA1AC,而ABL4C,故可将三

棱锥P-ABC补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥ABC

的外接球，也即球。.由于必=28C=6,所以8C=3,设=AC=h,贝lj/

22

+b=BC=9,所以长方体的对角线长为WBP+A32+AC2=436+9=回.设球

。的半径为R,则2R=屈，所以球。的表面积为4兀/?2=45兀

16.如图，正方形A3。的边长为2,顶点A,8分别在y轴的非负半轴、x

轴的非负半轴上移动，E为8的中点，则无•赤的最大值是________

答案5+V17

解析根据题意，设NOBA=a,则A(0,2sina),B(2cosa,0)(0Wa<?,根据

正方形的特点,可以确定出C(2cosa+2sina,2cosa),D(2sina,2sina+2cosa),

根据中点坐标公式，可以求得反cosa+2sina,since+2cosa),所以有。£。。二

2sina(cosa+2sina)+(2sina+2cosa)(sina+2cosa)=4+8sinacosa+2sin2a=5+

4sin2a-cos2a=5+^/T^sin(2a-9),其中sinp=cos夕=,当2a-夕二5时，

存在符合题意的角%使sin(2a-9)取得最大值1.所以其最大值为5+，万.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.(2020・江苏高考)(本小题满分10分)在△ABC中，角A,B,。的对边分别

为b,c,已知。=3,c=yf2,B=45°.

aDc

⑴求sinC的值;

4

（2）在边3C上取一点。，使得cos/AOC=-彳求tan/D4c的值.

解（1）由余弦定理得〃=a2+c2_2accosB=9+2-2X3X也义4-=5,所以

b=y[5.3分

由正弦定理得流=品，所以如。=誓=兴5分

（2）由于cos/AOC=NAOC€（S，无），

._____________3

所以sinZADC=^/1-cos2ZADC=

由于NADCW&兀）,所以C€（0,3，

所以cosC=q1-sin2ct=^^.7分

所以sin/OAC=sin（兀一/DA。=sin（NAOC+/C）

=sinZADCcosC+cosZADCsinC

亭明（一如⑦嗓8分

由于NOAC€（0,野，

所以cos/DAC=yj1-sin2Z^AC='^^.9分

sinZ.DAC2

所以tanZDAC=一/皿=打」0分

18.（2020.山东烟台一模X本小题满分12分）已知等差数列｛为｝的前〃项和为

S”，｛为｝是各项均为正数的等比数列，m=A，历=8,从-3加=4,是

否存在正整数3使得数列6]的前％项和若存在，求出左的最小值；若

不存在，说明理由.

从①$4=20,②S3=2Q3,③343-。4=。2这三个条件中任选一个，补充到上面

问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解设等比数列｛加｝的公比为40>0),

QQ

则4=>加=叼，于是片3X8q=4,2分

即6班+”2=0,解得4=3或好一|(舍去).4分

,4X3

若选①：则“1=84=2,54=4〃i+—2—d=20,

解得d=2,6分

n(n-1)c

所以S“=2〃+—^X2=n2+n,8分

'」一」_,9分

Snn(n+1)nn+I1

于是人七+9.一+卜(14)+(1一(1+-+上占)=1一占」0分

令1-土城，解得Q15,所以存在正整数々使得7m4的最小值为

16.12分

3X2

若选②：则m=E=2,3ai+一厂d=2(0+2d),解得d=2.6分

下同①.12分

4

若选③：贝lja]=b4=2,3(ai+2d)-(tzi+3d)-8,解得d-§.6分

n(n-1)42c4

于是S?=2〃+2乂1=铲~+铲，8分

L3x—邛T9分

S"一2人"(〃+2)一及〃〃+2>

ri_±_i、93，ii)

[1+]-177-171相/不+旧，io分

整理得3-5%-10>0,

因为上为正整数，解得上27,

所以女的最小值为7.12分

19.（2020.新高考卷I）（本小题满分12分）为加强环境保护，治理空气污染，

环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和

SO2浓度（单位：gg/m3）,得下表：

SO2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

⑴估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过

150”的概率;

⑵根据所给数据，完成下面的2X2列联表:

-----SO2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

（3）根据⑵中的列联表，判断是否有99%的把握认为该可于一天空气中PM2.5

浓度与SO2浓度有关？

n{ad-he)2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(烂2，)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

解（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO2

浓度不超过150的有32+6+18+8=64天，

所以该市一天空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率

64

为755=0-644分

（2）由所给数据，可得2X2列联表为：

-___SO2

_[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]1010

8分

(3)根据2X2列联表中的数据可得

n(ad-b门

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

_1OOX(64X1O-16X1O)2_36OO

80X20X74X26-481

所以有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关12分

20.(2020.山东潍坊一模)(本小题满分12分)如图，在等腰直角三角形AOP

中，NA=90。，AD=3,B,C分别是AP,0P上的点，且BC"AD,E,尸分别

是AB,PC的中点.现将△PBC沿BC折起，得到四棱锥P-ABC。，连接EF.

(1)证明：EF//平面依D；

(2)是否存在点B,当将△P8C沿8C折起到必1AB时，二面角P-CO-E

的余弦值等于雪？若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由.

解⑴证法一：作CM//AB交AO于点M,连接PM,取PM的中点N,连

接AN,FN,由三角形中位线定理，得FNIICM,且FW=gcM.3分

因为E是的中点，所以AEIICM,且AE=gcM,故FNIIAE,且FN=

AE,所以四边形AEFN是平行四边形，所以EFIIAN.

因为ANU平面以。，平面出。，所以EE//平面用D5分

证法二：取CO的中点G,连接EG,FG,

因为E,尸分别是A"PC的中点，

所以FG“PD,EGIIAD.3分

因为FGCEG=G,

所以平面EFGII平面PAD.

因为EPU平面EFG,

所以EF//平面氏D5分

(2)存在.理由如下：

因为BC1PB,S.ABr}PB=B,所以BC1平面限区

又因为BC//A。，所以AO1平面RW,所以%1AD6分

又因为ABIA。，PA1AB,

以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、＞轴、z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，连接CE,设A8=a,

贝“P8=8C=3—a,由得Ovav,PA=^-6a,

所以A(0,0,0),C(a,3—a,0),P(0,0,^9-6a),0(0,3,0),8分

所以。C=(a,-<2,0),DP=(0,-3,^9-6a).

设平面PC。的法向量为〃=(x,y,z),贝

-►

DC-n=ax-ay=0,

DP-n=-3y+z\j9-6a=0,

令y=1,则〃=|1，1，,10分

又平面CDE的一个法向量m=（0,0,1）,

依题意，有华=|cos〈〃，m>|=j^|,

故存在点8,此时A8的长为1.12分

92

21.（2020.山东滨州二模）体小题满分12分）已知椭圆C:，+5=13泌〉0）

经过点（也，1）,离心率为学.

（1）求椭圆。的方程；

（2）设直线/：y=依+®#0）与椭圆C相交于A,8两点，若以。A,OB为邻

边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为

定值.

解（1）因为椭圆C经过点（啦，1）,代入椭圆方程，

21

可得了+7=1,①2分

又因为椭圆。的离心率为坐，所以?=乎，从而〃=2及，②4分

联立①②，解得〃=4,庐=2,

所以椭圆C的方程为%》=1.5分

（2）证明：把丫=履+"弋入椭圆方程，+得

(2幺+l)f+4d尤+2(户—2)=0,6分

当力=(48)2-8Q/+1)(产—2)=8[2(2F+1)-闩＞0,

即产＜2(2炉+1)时,设A(xi,yi),8(x2,yi),

4kt2(?-2)

贝1JX\+X2=-2M+1'幻"2=+]，

所以yi+”=k(xi+X2)+2f=E^u，7分

因为四边形0AP3是平行四边形,

4kt

所以OP=OA+OB=(Xi+X2,yi+*)=―2公+1'

（4kt

所以P点坐标为一肃J，.8分

又因为点尸在椭圆上,

4F户2尸2H+1

所以（2庐+1）2+（2庐+1）2=I即广=.2，满足，＞0・9分

因为IABI=qi+的ix-X2\