苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训05期中选填压轴题(第7-9章)(原卷版+解析)

特训05期中选填压轴题（第7-9章）一、单选题1．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（

）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④3．如图，DC∥AB，AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，ED平分∠AEC．若∠EAD＋∠BAD＝180°，∠EDA＝3∠CEG，则下列结论：①∠EAB＝2∠FEG；②∠AED＝45°＋∠GEF；③∠EAD＝135°－4∠GEC；④∠EAB＝15°，其中正确的是（

）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③4．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．如图，已知，于点，，，则的度数是（

）A． B． C． D．6．如图，已知直线，直线分别交直线，于点，，平分交于点．是射线上一动点（不与点，重合）．平分交于点，设，．现有下列四个式子：①，②，③，④，在这四个式子中，正确的是(

)A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④7．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是(

)A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④8．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，则S5的值为（）A． B． C． D．10．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（

）①；②；③若，则；④．A．4 B．3 C．2 D．111．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（

）A． B． C． D．12．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是()A． B． C． D．13．已知，且，则等于（

）A． B． C． D．14．观察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（

）A． B． C． D．15．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．416．已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．817．已知，，，则代数式的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题18．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）①；②；③；④．19．如图，直线分别与直线，相交于点，，且．点在直线，之间，连接，，射线是的平分线，在的延长线上取点，连接，若，，则的度数为___________．20．如图，已知直线被直线所截，且，，分别平分，，，分别平分和，，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为___________．21．如图，在同一平面内，线段AM⊥射线MN，垂足为M，线段BC⊥射线MN，垂足为C．若点P是射线MN上一点，连接PA、PB，记∠PBC＝α，∠PAM＝β，且0°＜∠APB＜180°，则∠APB＝__________（用含α、β的代数式表示∠APB）．22．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t=_____．23．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段的长度的最小值为___．24．设表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中，若=2020，则满足此条件的三角形共有____个．25．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．26．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为______．27．已知，则_________．28．设x，y满足，，则______．29．已知，则的值等于________．30．设m＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（264＋1），则m的个位数字是_____．31．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC的周长为__．32．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数降幂排列）的系数规律．例如，在三角形中第一行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数，结合杨辉三角的理解完成以下问题：（1）（a＋b）2展开式a2＋2ab＋b2中每一项的次数都是_______次；（a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b2中每一项的次数都是_______次；那么（a＋b）n展开式中每一项的次数都是______次．（2）写出（a＋b）4的展开式______________________________．（3）写出（x＋1）5的展开式_________________________．（4）拓展应用：计算（x＋1）5＋（x－1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为________________．33．实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：方式1：将B放在A的内部，得甲图；方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．34．已知，，，满足，，则__________．35．已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.①；②若，，则；③若，，则；④若，，则；36．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有_____种．特训05期中选填压轴题（第7-9章）一、单选题1．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据垂直定义得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根据角平分线定义得出∠DBE=∠FBE，求出∠CBE=∠ABE，∠ACB=∠ECB，根据平行线的性质得出∠ABC=∠ECB，根据平行线的判定得出ACBE，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案．【解析】解：∵BC⊥BD，∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，∵∠ABE+∠FBE=180°，∴∠ABE+∠FBE=90°，∵BD平分∠EBF，∴∠DBE=∠FBE，∴∠CBE=∠ABE，∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，∵CB平分∠ACE∴∠ACB=∠ECB，∵ABCD，∴∠ABC=∠ECB，∴∠ACB=∠EBC，∴ACBE，∵∠DBC=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴①②③正确；∵根据已知条件不能推出，∴④错误；故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．2．如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（

）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据与不一定相等，再利用与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．【解析】∵，∴，，∵BD平分，EF平分，∴，，∴，，∴，故①②正确；∴与不一定相等，由题意可知，∴与不一定相等，故③错误；∵，∴与是等底等高的三角形，∴，∴，故④正确，∴①②④正确．故选：D．【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．3．如图，DC∥AB，AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，ED平分∠AEC．若∠EAD＋∠BAD＝180°，∠EDA＝3∠CEG，则下列结论：①∠EAB＝2∠FEG；②∠AED＝45°＋∠GEF；③∠EAD＝135°－4∠GEC；④∠EAB＝15°，其中正确的是（

）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】根据角平分线的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可．【解析】解：∵EG平分∠FEC，∴∠FEG＝∠CEG，设∠FEG＝∠CEG＝α，∴∠FEC＝2α，∵∠EDA＝3∠CEG，∴∠EDA＝3α，∵EC⊥DC，，∴EB⊥AB，∠C＝90°，∴∠B＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEC＝∠AEF＋∠FEC＝90°＋2α，∵∠AEC＝∠B＋∠EAB＝90°＋∠EAB，∴90°＋2α＝90°＋∠EAB，∴∠EAB＝2α＝2∠FEG，故①正确；∵ED平分∠AEC，∴∠AED＝∠AEC＝（90°＋2α）＝45°＋α＝45°＋∠GEF，故②正确；∵∠AED＝45°＋α，∠EDA＝3α，∴∠EAD＝180°−∠AED−∠EDA＝180°−（45°＋α）−3α＝135°−4α＝135°−4∠GEC，故③正确；∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠EAB＋∠DAE＋∠EAD＝180°，∴2α＋2（135°−4α）＝180°，∴α＝15°，∴∠EAB＝2α＝30°，故④错误，故选：D．【点睛】此题考查了三角形角平分线的性质、三角形外角性质、三角形内角和，熟记三角形角平分线的性质、三角形外角性质、三角形内角和是解题的关键．4．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．【解析】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴，故①正确；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；∵，∴，∵∠CKG＝∠CGK，∴，∴，又∵，∴，∴，要使，就要使且，∴就要GD=GC，但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，∴故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④错误，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．5．如图，已知，于点，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．【解析】解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．6．如图，已知直线，直线分别交直线，于点，，平分交于点．是射线上一动点（不与点，重合）．平分交于点，设，．现有下列四个式子：①，②，③，④，在这四个式子中，正确的是(

)A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】分两种情况讨论：当点G在F的右侧时，根据两直线平行同旁内角互补得到，结合角平分线性质解得；或当点G在F的左侧时，两直线平行内错角相等得到，结合三角形外角性质得到，解得．【解析】解：当点G在F的右侧时，平分平分设，，当点G在F的左侧时，平分平分设，综上所述，或故①④正确,②③错误故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．7．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是(

)A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④【答案】C【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．【解析】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；∵∠A=90°，CG⊥EG，，∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故③正确；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴，∴，∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，∴，故④正确；∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正确；根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误；故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．8．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．【解析】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD∥BC，故①正确；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，∵∠FGA=∠DGH，∴90°-2∠FGA=16°，∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④错误，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．9．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，则S5的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图1，连接OC，∵、分别将边BC、AC2等份，∴，∴，即，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得，∴，∴，∴；如图2，连接OC，OD1，OE2，由图（1）的方法可得，∴，∴，同样的方法可求得，以此类推可得．故选D．【点睛】本题是规律探究题，主要考查等底同高的两个三角形的面积相等，与三角形中线有关的面积问题；能从图中观察，并能适当添加辅助线是解题的关键．10．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（

）①；②；③若，则；④．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据对数的定义和乘方意义解题即可．【解析】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意；②设，，则，，∴，即，∴，∴，即，故②正确，符合题意；③设，则，，∴，∴，∴，解得，故③说法正确，符合题意；④设，，则，，∴,∴故说法④正确，符合题意；∴正确的说法有个，故选：A．【点睛】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确．11．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可．【解析】因为，，，，因为，所以，所以，故即；同理可证所以，故选A．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．12．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．【解析】解：由题意得：这组数据的和为：∵，∴原式=,故选：A．【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．13．已知，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，，两等式左右两边分别相减，可得到，将，利用完全平方公式，变为，再将上面的式子的值代入，问题得解．【解析】解：∵，，∴，即：，故答案为：C．【点睛】本题主要考查完全平方公式，将变为是难点．14．观察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知可得=①，设=k②，则由①+②得：③，由①-②得：④，由④-③得：=，即可求解．【解析】解：由题意，得=(2-1)()=即=①，设=k②，由①+②得：，，即③，由①-②得：，即④，由④-③得：=，∴=k，解得：k=．故选：D．【点睛】本题考查数字规律探究，平方差公式的运用，等式的性质，解方程，求得=是解题的关键．15．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先分别求出前三项以及，，，从而得出规律为第项为，，据此求解即可．【解析】解：第1项为，，∴第2项为，，∴第3项为，，∴可以推出第项为，，∴第5项为，，故结论①、②正确；∵第2023项为，，∴，∴，∴，∴或1当时，当时，，∴若第2023项的值为0，则或0，故结论③错误；同理可得：第m项为，∴当时，第m项的值为，故结论④正确，综上可得：结论正确的个数为3个．故选：C【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的规律，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．16．已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】将原式变形为，因式中含有3，所以得到，而不能被3整除，所以得到，解得b=1，a+2c=6，进而得到，根据三个数均为自然数，解得，此时分类讨论a和c的值即可求解．【解析】原式=∵式中有乘数3的倍数∴∵不能被3整除∴原式中只能有1个3∴原式化为∴∴∵是自然数∴解得当时，，得；当时，，得；当时，，得；当时，，得；故选D．【点睛】本题考查了乘方的应用，同底数幂乘法的应用，因式分解，重点是掌握相关运算法则．17．已知，，，则代数式的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】通过已知条件可求得a-b,b-c,a-c的值，将代数式适当变形，将a-b,b-c,a-c的值代入即可求解.【解析】∵，，，∴，，，∴故选D.【点睛】本题考查利用完全平方公式因式分解，解决本题时①将原代数式分三部分，每一部分利用完全平方公式因式分解，②再根据已知条件计算出a-b,b-c,a-c的值，整体代入.二、填空题18．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）①；②；③；④．【答案】①②④【分析】由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．【解析】解：，的平分线交于点，，，，，，，，故①正确，平分，，，，，故②正确；，，，，平分，平分，，，，，，故③错误；，，，．故④正确，综上正确的有：①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．如图，直线分别与直线，相交于点，，且．点在直线，之间，连接，，射线是的平分线，在的延长线上取点，连接，若，，则的度数为___________．【答案】##度【分析】过分别作的平行线，，则，设，则，，设，分别表示出，，利用等式的性质得到，进而即可求解．【解析】解：如图，过分别作的平行线，，则，设，则，∵射线是的平分线，∴，∵，，，设∴，∴①，∵∵②∴由①②可得∵，故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．20．如图，已知直线被直线所截，且，，分别平分，，，分别平分和，，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为___________．【答案】【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理分别求得，，的度数，再总结出变化规律，根据规律得出结论即可．【解析】解：，，，分别平分，，，，，，，分别平分和，，，，，，分别平分，，，，，，由上面规律得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，关键是熟练应用这些知识解题．21．如图，在同一平面内，线段AM⊥射线MN，垂足为M，线段BC⊥射线MN，垂足为C．若点P是射线MN上一点，连接PA、PB，记∠PBC＝α，∠PAM＝β，且0°＜∠APB＜180°，则∠APB＝__________（用含α、β的代数式表示∠APB）．【答案】或或【分析】连接AB交MC于点D，根据P在射线不同的位置分三种情况讨论．【解析】连接AB交MC于D点，本题要分三种情况讨论：如图：当P在MD上时，,,,==;如图：当P在CD上时，;如图：当P在射线CN上时，故答案为：或或【点睛】本题考查了角的求法和直角三角形两个锐角的关系，关键是注意要讨论P点的位置和利用三角形外角的性质．22．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t=_____．【答案】5秒或95秒【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．【解析】∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD＝120°−(3t)°，∠BAC＝110°−t°，要使，则∠ACD＝∠BAC，即120°−(3t)°＝110°−t°，解得t＝5；如图②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∠DCF＝360°−(3t)°−60°＝300°−(3t)°，∠BAC＝110°−t°，要使，则∠DCF＝∠BAC，即300°−(3t)°＝110°−t°，解得t＝95；如图③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∠DCF＝(3t)°−(180°−60°＋180°)＝(3t)°−300°，∠BAC＝t°−110°，要使，则∠DCF＝∠BAC，即(3t)°−300°＝t°−110°，解得t＝95，此时∠BAC＝t°−110°＜0°，∴此情况不存在．综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．故答案为：5秒或95秒．【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．23．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段的长度的最小值为___．【答案】6【分析】如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，根据三角形中线的性质只需要求出从而求出CH=6，即可利用点到直线的距离垂线段最短求解．【解析】解：如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，又∵点到直线的距离垂线段最短，∴，∴AC的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．24．设表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中，若=2020，则满足此条件的三角形共有____个．【答案】2041210【分析】已知，根据三角形的三边关系求解，首先确定出、三边长取值范围，进而得出各种情况有几个三角形．【解析】解：，，表示一个三角形三边的长，且它们都是自然数，其中，如果，则，，当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2020个三角形；当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2019个三角形；当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2018个三角形；当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有1个三角形；三角形数量是：，故答案为：2041210．【点睛】本题主要考查一元一次不等式、三角形的三边关系，解题的关键是利用了在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的三边关系．25．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．【答案】【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．【解析】解：；；；，，，，原式，故答案为：．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．26．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为______．【答案】19【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积．【解析】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，，，，是得中点，，，，．故答案为：19．【点睛】本题考查完全平方和公式的运用，正确对完全平方和公式进行变形时解题的关键．27．已知，则_________．【答案】【分析】根据，代值求解即可得到答案．【解析】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值，涉及到因式分解，根据整式乘法公式，将所给代数式按照已知条件因式分解后求值是解决问题的关键．28．设x，y满足，，则______．【答案】【分析】将，两式相加，再利用立方和公式，求解即可．【解析】解：将，两式相加，可得，即，即，∵恒成立，∴，即，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了立方和公式的应用．解答该题时需要熟记立方和公式．29．已知，则的值等于________．【答案】【分析】利用完全平方公式求出（a−b），（b−c），（a−c）的平方和，然后代入数据计算即可求解．【解析】解：∵，∴∴，∵，∴，∴，故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是分别把，，相加凑出，三个式子两边平方后相加，化简求解．30．设m＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（264＋1），则m的个位数字是_____．【答案】5【分析】连续利用平方差公式可求得以幂表示的m，再根据2为底且指数分别从1开始的正整数指数幂的个位数字规律，即可求得m的个位数字．【解析】…∵，，，，，，…∴以2为底且指数分别从1开始的正整数指数幂的个位数字按2、4、8、6的顺序循环∵128÷4=32∴的个位数字为6∴的个位数字为6-1=5故答案为：5【点睛】本题考查了平方差公式的应用，幂的个位数字规律的探索，连续用平方差公式求得m的结果，探索以2为底的幂的个位数字的规律是本题的难点与关键．31．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC的周长为__．【答案】12【分析】将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．【解析】解：∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120（a+1）（b+1）（c+1）＝120∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1．故可分为以下6种情况：（1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c＝12．（5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．综上可知，△ABC的周长为12．故答案为12．【点睛】本题主要考查因式分解的应用及三角形三边关系，掌握三角形三边关系并分情况讨论是解题的关键．32．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数降幂排列）的系数规律．例如，在三角形中第一行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数，结合杨辉三角的理解完成以下问题：（1）（a＋b）2展开式a2＋2ab＋b2中每一项的次数都是_______次；（a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b2中每一项的次数都是_______次；那么（a＋b）n展开式中每一项的次数都是______次．（2）写出（a＋b）4的展开式______________________________．（3）写出（x＋1）5的展开式_________________________．（4）拓展应用：计算（x＋1）5＋（x－1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为________________．【答案】（1）2，3，n；（2）；（3）；（4）16【分析】（1）观察（a＋b）2展开式和（a＋b）3展开式中各项，即可得答案；（2）根据展开式的系数规律，可知（a＋1）4的展开式的各项系数，按照a降幂b升幂排列，即可得解；（3）与（2）同理可得；（4）根据（3）的结果，再按杨辉三角，分别求得（x−1）6和（x＋1）7展开式中x5项的系数，几个系数相加即可得答案．【解析】解：（1）（a＋b）2展开式a2＋2ab＋b2中的项分别为：a2、2ab、b2，它们的次数都是2．（a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b3中的项分别为：a3、3a2b、3ab2、b3，它们的次数都是3，故答案为：2；3；n；（2）根据展开式系数规律可知（a＋1）4的展开式的各项系数分别为：1，4，6，4，1，按照a降幂、b升幂，可得：（a＋1）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4故答案为：a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；（3）与（2）同理，（x＋1）5的展开式为：，故填：；（4）（x＋1）5的展开式x5项的系数为1；按照杨辉三角可知（x−1）6＝x6＋6x5•（−1）＋…＋1（x＋1）7＝x7＋7x6×1＋21x5×12＋…＋1∴（x＋1）5＋（x−1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为：1＋6×（−1）＋21＝16故答案为：16．【点睛】本题考查了杨辉三角在多项式展开式系数中的应用，明确杨辉三角的展开式的原理，是解题的关键．33．实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：方式1：将B放在A的内部，得甲图；方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．【答案】13【分析】设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为，可解得，图乙中阴影部分的面积为，可得,可得a+b＝5，进而求得a与b的值即可求解.【解析】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为解得或（舍去），图乙中阴影部分的面积为，可得，解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），联立得，解得，∴，∴正方形A，B的面积之和为13.故答案为：13．【点睛】此题考查了灵活利用乘法公式求图形面积问题的能力，关键是能根据图形列出对应的算式．34．已知，，，满足，，则__________．【答案】60【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【解析】∵m+n=p+q=4∴（m+n）（p+q）=4×4=16∵（m+n）（p+q）=mp+mq+np+nq∴mp+mq+np+nq=16∵mp+nq=6∴mq+np=10∴（m2+n2）pq+mn（p2+q2）=m2pq+n2pq+mnp2+mnq2=mp•mq+np•nq+mp•np+nq•mq=mp•mq+mp•np+np•nq+nq•mq=mp（mq+np）+np（nq+mq）=（mp+nq）（np+mq）

=6×10=60故答案为60【点睛】本题需要综合运用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则，将式子通过变形后整体代入求解，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解，有一定难度．35．已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.①；②若，，则；③若，，则；④若，，则；【答案】④【分析】根据新定义进行推理论证便可判断正误．【解析】解：①，，故①正确；②，，，、为整数），由两式相加可得：，为整数），，故②正确；③，，，、为整数），，，由两式相乘可得：，，为整数，，故③正确；④，，，，，，两式相除得，，，不一定是整数，