2024年高考数学第一轮复习讲义第一章1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件(学生版+解析)

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题，其中________________的语句叫做真命题，________________的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________________．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的__________条件，q是p的__________条件p是q的____________条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的________________条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则AB；③若p是q的必要不充分条件，则BA；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．()(2)已知集合A，B，A∩B＝A∪B的充要条件是A＝B.()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．()教材改编题1．“x2－x<0”是“x<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．题型一命题及其关系例1(1)(2022·赤峰模拟)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A．1B．2C．3D．4听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·西安模拟)函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________.听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·拉萨模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是()A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．题型二充分、必要条件的判定例2(1)(2023·淮北模拟)“a>b>0”是“eq\f(a,b)>1”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)(2022·长春模拟)“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2022·聊城模拟)使|x＋1|>2成立的一个必要不充分条件是()A．x<－3 B．x>0C．x<－3或x>1 D．x<－3或x>0题型三充分、必要条件的应用例3在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(2023·宜昌模拟)已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1<0}．(1)若m＝2，求集合A∩B；(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则AB；③若p是q的必要不充分条件，则BA；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)已知集合A，B，A∩B＝A∪B的充要条件是A＝B.(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“x2－x<0”是“x<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由x2－x<0，可得0<x<1，所以“x2－x<0”是“x<1”的充分不必要条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，由图可知m>3.题型一命题及其关系例1(1)(2022·赤峰模拟)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A．1B．2C．3D．4答案B解析①命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，例如取x＝－2；②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题为“不全等的三角形面积不相等”，是假命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题为“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”，是真命题．综上可得，真命题的个数为2.(2)(2022·西安模拟)函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)＝____________.答案(x－1)2(答案不唯一)解析函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，且“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题，可知函数f(x)满足在(0,2)上存在零点，且f(0)·f(2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f(x)＝(x－1)2.思维升华判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·拉萨模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是()A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数答案D解析命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数”．(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，1)解析依题意，命题p的逆否命题为真命题，则命题p为真命题，即“若m≤a－2，则m<－1”为真命题，则a－2<－1，解得a<1.题型二充分、必要条件的判定例2(1)(2023·淮北模拟)“a>b>0”是“eq\f(a,b)>1”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a>b>0，得eq\f(a,b)>1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，满足eq\f(a,b)>1，但是不满足a>b>0，故“a>b>0”是“eq\f(a,b)>1”的充分不必要条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)(2022·长春模拟)“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，所以cos〈a，b〉＝1，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝0，所以a与b共线，充分性成立；当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，必要性不成立，所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件．(2)(2022·聊城模拟)使|x＋1|>2成立的一个必要不充分条件是()A．x<－3 B．x>0C．x<－3或x>1 D．x<－3或x>0答案D解析由|x＋1|>2，可得x>1或x<－3，所以x<－3是|x＋1|>2的充分不必要条件，x>0是|x＋1|>2的既不充分也不必要条件，x<－3或x>1是|x＋1|>2的充要条件，x<－3或x>0是|x＋1|>2的必要不充分条件．题型三充分、必要条件的应用例3在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}，当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)若选①A∪B＝B，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(2023·宜昌模拟)已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1<0}．(1)若m＝2，求集合A∩B；(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，得x2－4x＋3<0，解得1<x<3，所以B＝{x|1<x<3}，又A＝{x|－2<x≤3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}．(2)由x2－2mx＋m2－1<0，得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，所以m－1<x<m＋1，所以B＝{x|m－1<x<m＋1}．由p是q的必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,m＋1≤3，))解得－1≤m≤2，所以m的取值范围为[－1,2]．课时精练1．(2023·西宁模拟)“x2>2022”是“x2>2023”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若x2>2023，因为2023>2022，故x2>2022，故“x2>2023”可以推出“x2>2022”，取x2＝2022.5，满足x2>2022，但x2>2023不成立，所以“x2>2022”不能推出“x2>2023”，所以“x2>2022”是“x2>2023”的必要不充分条件．2．(2022·渭南模拟)已知a<0，命题“若a2>1，则a<－1”的否命题是()A．若a2>1，则－1≤a<0B．若a2≤1，则－1≤a<0C．若－1≤a<0，则a2>1D．若a<－1，则a2>1答案B3．(2023·银川模拟)下列命题中是假命题的是()A．任意向量与它的相反向量不相等B．任意两个向量都不能比较大小C．如果|a|＝0，则a＝0D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同答案A解析对于A，0的相反向量是它本身，A是假命题；对于B，向量是有向线段，不能比较大小，B是真命题；对于C，如果|a|＝0，则a＝0，C是真命题；对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D是真命题．4．(2022·海东模拟)在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是()A．1或2或3或4 B．0或2或4C．1或3 D．0答案B解析∵原命题和逆否命题具有相同的真假性，逆命题和否命题具有相同的真假性，∴四种命题中，真命题的个数可以是0或2或4.5．在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形；若△ABC为直角三角形，不一定推出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．6．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．7．(2023·成都模拟)下列命题为假命题的是()A．命题“若a<1，则|a|<1”的逆命题B．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题C．空间中垂直于同一直线的两直线平行D．命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题答案C解析对于A，命题“若a<1，则|a|<1”的逆命题为“若|a|<1，则a<1”，因为|a|<1即－1<a<1，故原命题的逆命题为真命题；对于B，命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，则其逆否命题为真命题；对于C，空间中垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故C为假命题；对于D，命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题为“到线段两端点距离不相等的点不在线段的垂直平分线上”，故原命题的否命题为真命题．8．(2022·长沙模拟)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－a－1)<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则a的取值范围是()A．(2,3)B．[2,3]C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，2]∪[3，＋∞)答案B解析A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2<x<4}，∵a＋1>a，∴B＝{x|a<x<a＋1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则必有B是A的子集，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≤4，,a≥2，))∴2≤a≤3.9．(2022·固原模拟)命题“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”的逆否命题是______________________．答案若b2＝ac，则a，b，c成等比数列10．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，所以使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需使x的取值范围为集合{x|x<0}的子集即可．11．已知直线l和平面α，β满足l⊄α，l⊄β.在l∥β，l⊥α，α⊥β这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数为_______．答案2解析当l∥β且l⊥α时，α⊥β成立；当l∥β且α⊥β时，l⊥α不一定成立；当l⊥α且α⊥β时，结合l⊄β，得l∥β成立．故有2个真命题．12．给出下列四个命题：①在△ABC中，“sinB>sinC”是“B>C”的充要条件；②命题“若数列{an}是等比数列，则aeq\o\al(2,2)＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，命题“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④“直线l与平面α垂直”的充要条件是“直线l与平面α内的两条直线垂直”．其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sinB>sinC⇔b>c⇔B>C，故①是真命题；对于②，命题“若数列{an}是等比数列，则aeq\o\al(2,2)＝a1a3”的否命题是“若数列{an}不是等比数列，则aeq\o\al(2,2)≠a1a3”，取an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n≤3，,2，n>3，))故其否命题是假命题；对于③，已知a，b是非零向量，命题“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题为“若a与b的夹角为锐角，则a·b>0”，故其逆命题是真命题；对于④，“直线l与平面α内的两条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件，故④是假命题．13.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平