高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (四)(含解析)

第八章第4节《空间点'直线'平面之间的位置关系》解答题(4)

1.如图，在三棱柱ABC-41当6中，侧面441GC1底面ABC,/.CrCA=60°,AB1AC,AC=AB=

AAr=2.

(1)求证：C&J.8G；

(2)设点E在直线2为上，记荏=2标，是否存在实数;l,使CE与平面&BC所成的角的正弦值为野，

若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

2.如图，三棱锥4-BCD中，侧面A4BD是边长为2的正三角形，AC=2CD=2,平面2BD1平

面BCD,把平面ACD沿CD旋转至平面PCD的位置，记点A旋转后对应的点为P(不在平面BCD

内)，M,N分别是2。，的中点.

(1)求证：CD1MN,

(2)求三棱锥C-2PD的体积的最大值.

3.如图所示，在四棱锥E—ABC。中，四边形A8CZ)为平行四边形，OE_L平面A8E,点尸为AO

中点，AB1AE,AE=AB=DE=2.

(1)证明：EF1BD-,

(2)求直线EF与平面BCE所成角的正弦值.

4.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A8C。是边长为3的正方形，

PA1平面ABCD,PA=3.点E在侧棱PC上(端点除外)，平面ABE

交PD于点F.

(1)求证：四边形ABEF为直角梯形；

(2)若PF=2FD,求直线PC与平面48EF所成角的正弦值.

5.如图1,在直角△力BC中，Z.ABC=90°,AC=4>/3.AB=23D,E分别为AC,B。中点,

连接AE并延长交8C于点F,将△4BD沿2。折起，使平面4B0_L平面BCQ如图2所示.

图1图2

(1)求证：AE1CD；

(2)求平面AEF与平面AOC所成锐二面角的余弦值.

6.如图，在斜三棱柱力BC-&B1G中，底面是等腰三角形，AB=AC,侧面BBiGC，底面ABC.

(1)若。是BC的中点，求证：401CC1；

(2)过侧面B/C1C的对角线BCi的平面交侧棱441于点若=求证：截面MBG，侧

面BBiGC；

(3)如果截面MBG1侧面BBiGC,那么4M=M4i吗？请你叙述判断理由.

7.如图,己知正方体4BCD-4/164,E,F分别是JG，的名的中点，且ACnBC=P,4心D

EF=Q.

(1)求证：D,B,E,F四点共面;

(2)求四边形BDEE的面积.

8.在正方体4BCD-4B1GD1中，点P为DDi的中点，点M为四边形4BCD的中心.求证：对为民

上任一点M都有MNJ.AP.

9.如图长方体4BCD—4$iGDi的A4=1,底面ABCO的周长为4,E为3%的中点.

(I)判断两直线EQ与A。的位置关系，并给予证明:

(n)当长方体4BCD-&B1GD1体积最大时，求直线54与平面&C。所成角仇

10.如图所示，直角梯形A8CD中，AD//BC,AD1AB,AB=BC=2AD=2,四边形££>CF为矩

形，CF=百，平面EDCF1平面4BCD.

(I)求证：DF〃平面A8E；

(n)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；

(HI)在线段力F上是否存在点P,使得直线8P与平面ABE所成角的正弦值为隹，若存在，求出线段

4

8尸的长，若不存在，请说明理由.

11.在RtzsMBC中，乙4=60。，以BC为边在平面ABC内作如图所示的等边△BCD,E为BC边上

一点，且EC=28E,尸为线段AC上的点，现沿B尸将AAB尸折起，使4达位置4,且A点在平

面BCQ射影恰为E点.

(1)求证：DF1A'B；

(2)求二面角B-A'D-C的平面角的余弦值.

12.如图，在直三棱柱4BC-41B1G中,平面AiBCl侧面4BB14,

且44i=AB=2.

(1)求证：AB1BC；

(2)若BC=2,求锐二面角4一求iC-B的大小.

13.如图所示，四边形A8CD中，AB1BC,AD1DC,BC=CD=1,AB=AD=t(t>1),将其

沿对角线AC翻折(如图)，使得NBCD=60°.

(I)求证：AC1BD；

(n)设AC与平面BCD所成角为%,二面角B-4C-D的平面角为。2，若％=%，求，的值.

14.如图，已知四棱锥P-ABCD,底面4BC。为菱形，P4_L平面ABC。，AABC=60。，E,F分

别是BC,PC的中点.

(I)证明：AE1PD;

(11)若，为9？上的动点，£”与平面所成最大角的正切值为当，求二面角E-4F-C的余

弦值.

15.如图所示，平面ABEF1平面A8C,四边形ABEF是矩形，AB=2,AF=2遮,△ABC是以A

为直角的等腰直角三角形，点尸是线段8F上的一点，PF=3.

(1)证明：AC1BF-,

(2)求直线BC与平面PAC所成角的正切值.

16.如图所示，在四棱锥P-4BCD中，底面ABC£＞是边长为2的正方形，平面PBC1底面ABCD,

且PB=PC=瓜

(I)求证：AB1CP；

(n)求点B到平面PAD的距离；

(HI)设面PW与面PBC的交线为I,求二面角力B的大小.

17.如图，已知点尸在四面体A-BCD的棱(不含4,8两点)上运动,

过点尸作四面体a—BCO的一个与AC,8。都平行的截面.

(1)试画出该截面(不写作法)，判断该截面的形状，并证明你的结论;

(2)当P为A3的中点，且4C=8,BD=6,AC与8。所成角为60。时，求截面的面积.

18.已知直三棱柱ABC-A/iC]中，^BAC=90°,AB=AC,。是BC中点，E是的中点.

(1)求证：AD1BC1；

(2)求证：DE〃平面力1GB.

19.正四棱锥P—4BCD的底面正方形边长是4,0是P在底面上的射影,PO=

2五，。是AC上的一点，AQ=^AC,过。且与PA、8。都平行的截面

为五边形EFGHL.

(1)在图中作出截面EFGHL(写出作图过程)；

(2)求该截面面积.

20.如图，已知三棱台4BC-中，平面8CGB1JL平面A8C,国4BC是正三角形，侧面除6当

是等腰梯形，AB=2BB]=2B1G=4,E为AC的中点.

(1)求证：AAr1BCi

(2)求直线BiE与平面力CCi4所成角的正弦值.

【答案与解析】

1.答案：（1）证明：连接AC。

由三棱柱的性质知，四边形441cle为平行四边形，

•••4C=44i，.♦.平行四边形44C1C为菱形，

•••ACr14传，

,••侧面/M1GC_L底面ABC,侧面441GCn底面ABC=AC,AB1AC,ABu平面ABC,

AB_L平面AAiGC,

•；u平面441clC,AB1AXC,

又力QnAB=4,AC>4Bu平面力BCi，

4ci平面ABG，

vBCiu平面ABQ,

(2)解：取&G的中点M,连接AM,

•菱形4&GC,且/GCA=60°,

•••AM1AC,

,••面A41GC_1_面ABC,面AAiGCC面SBC=AC,AMu平面A4£C,

AM1平面ABC,

故以4为原点，AB、AC、AM所在的直线分别为X、)，、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则&(0,-1,a)，4(0,0，0),B(2,0,0),C(0,2,0),

•••砧=(2,1，-V3).BC=(-2,2,0),

■■■AE=A丽>,二E(0,-A,V3A)>：.CE=(0,-A-2,V3A),

设平面4BC的法向量为元=8y,z),财仔,便二°,即

令x=l,则y=l,z=V3,***n=(1J»V5),

•••CE与平面ABC所成的角的正弦值为当，

,t、iICE-n.।—A—2+3A.2\/5

・•.|cos<CE，n>|=|j=^|=|7==_-7j|=—)

解得4=-1,

故存在;l满足题意，且;1=-1.

解析：(1)连接AC】，易知四边形441cle为菱形，有AG1&C,由侧面44QC，底面A8C,推出AB1

平面44GC,从而有4B_L&C,再结合线面垂直的判定定理与性质定理，即可得证；

(2)取41cl的中点M,连接AM,以A为原点，A3、AC、AM所在的直线分别为x、y、z轴建立空间

直角坐标系，求出平面&BC的法向量元，由|cos(屈，元>|=等，列得关于/I的方程，解之即可.

本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定

理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和

运算能力，属于中档题.

2.答案：解：(1)证明：如图，连接AM,MC,

因为48=40,M是3。的中点，

所以AM1BD,

又平面ABDI平面BCD,平面ABDn平面BCD=BD,

所以AMJL平面BCD,

所以4M1MC,

因为△AB。为边长为2的正三角形，所以AM=通,

又4c=2,所以由勾股定理可得MC=1,

又MC=MD=MB=1,

所以ABC。为直角三角形，且BC1C。，

又M,N分别是BO,CD的中点，

所以MN〃BC,

所以MN1CD.

(2)如图，连接AN,PN,

因为三棱锥C-4PD与三棱锥P-4CD为同一个三棱锥，且AAC。的面积为定值,

所以当三棱锥P-ACC的体积最大时，必有PN，平面ACD,

此时点P到平面ACD的距离为PN=4N=叵，

2

在△ACD中，因为AC=4。=2,CD=1,

所以SAACD=[xlx4N=[xlx^=手,

所以Up-4CD的最大值为《S-cDXP/V=|X^X^=|,

所以三棱锥C-4PD的体积的最大值为W

8

解析：本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，三棱锥体积的求法，属于中档题.

⑴连接AM,MC,易证4M1MC,再根据勾股定理的逆定理可得4BC0为直角三角形，且BC1CD,

由中位线的性质可得MN〃BC,从而证得结论；

(2)连接AN,PN,由题意可得当三棱锥P—4CD的体积最大时，必有PN1平面AC。，求出P到平面

ACC的距离，进而求出SMCD，从而求出三棱锥C-4PD的体积的最大值.

3.答案：(1)证明：vDEABE,4Bu平面ABE,DEJ.4B,

又4B14E,DECyAE=E,DE、AEc^jgfADE,

：.AB1平面ADE,

•••EFu平面ADE,.-.AB1EF,

■■AE=DE,且尸为AD的中点,

EF±AD,

又ABC4。=4AB,ADc5]2®ABD,

EF，平面ABD,

•••BDu平面ABD,EF1BD.

(2)解：以A为原点，AE、A8所在直线分别为x、)，轴，件AziIDE,建立如图所示的空间直角坐标

系，

则B(0,2,0),C(2,2,2),E(2,0,0),F(l,0,1),

EF=(-1,0，1)-BC=(2,0,2),BE=(2,-2,0)，

设平面BCE的法向量为近=®y,z),则归史=。,即[瓢(U，

tn-BE=0('%Ly—\J

令％=1,则y=l,z=—1,An=(1,1,—1),

设直线EF与平面BCE所成角为仇

—

[Till.八.,二二—►..■EF'Ti*1-1+O1*y/3

则sine=|cos<EF,">|=|南通|=|中-|=三，

故直线EF与平面8CE所成角的正弦值为宜.

3

解析：(1)先由线面垂直的判定定理证得，平面ADE,从而有4B1EF,易知IEF1AD,再推出EF1

平面ABO,进而得证；

(2)以A为原点，AE、AB所在直线分别为x、y轴，作4z〃DE,建立空间直角坐标系，求出平面BC£

的法向量亢，设直线EF与平面BCE所成角为。，由sin9=|cos<前，n>|,即可得解.

本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以

及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

4.答案：(1)证明：因为AB〃CD,CDu平面PCD,4B<t平面PCD,

则AB〃平面PCD.

因为力Bu平面ABEF,平面/BEFn平面PCD=EF,则2B//EF.

又EF<CD=4B,所以四边形ABEF为梯形.

因为P41平面ABCD,则481PA,乂AB1AD,

因为PACtAD=A,PAu平面PAD,ADu平面PAD,所以4B1平面PAD.

又AFu平面PAD,贝1AF.

所以四边形ABEF为直角梯形.

(2)解法一：因为AB_L平面PAD,则平面ABEF_L平面PAD

作PM1AF,垂足为M,则PM1平面ABEF.

连接EM,则NPEM为直线PC与平面ABEF所成的角.

在RtAPAO中，因为24=40=3.则PD=3显.因为PF=2F0,则PF=2企.

在中，因为N4PF=45°,

所以由余弦定理，得4F2=32+(2鱼)2-2x3x2ecos450=5,则力尸=4.

由AFxPM=PAxPFsin45°,得有PM=3xx争则PM=意

因为EF//C。，CD1PD,则PE=2EC=|PC=|VP£>2+CD2=2g.

在Rt△PME中，sin/PEM=—=,

PE遮X285

所以直线PC与平面ABEF所成角的正弦值为手.

解法二：以A为原点，向量荏，AD，存的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐

标系.

则点8(3,0,0),C(3,3,0),£)(0,3,0),P(0,0,3).

AB=(3,0,0)-AP=(0,0,3)>PD=(0,3,-3)，PC=(3,3,-3).

因为PF=2ED,则。=AP+PF=AP+^PD=(0,0,3)+(0,2,-2)=(0,2,1).

设布=(x,y,z)为平面ABEF的法向量，

则像噎二;‘即修；;'=。取，i则z=—2,所以记=(。,1,—2).

因为8s你同=豁=品V15

5

所以直线PC与平面A8E尸所成角的正弦值为叵.

5

解析：⑴证明4B〃平面PCD.推出AB〃EF.说明四边形4BE尸为梯形.然后证明481P4,结合AB1

AD,推出4B_L平面PAD.得到AB14凡推出四边形ABEF为直角梯形.

(2)法一：说明4PEM为直线PC与平面ABEF所成的角，通过求解三角形推出直线PC与平面A8EF

所成角的正弦值.

法二：以A为原点，向量四，AD，都的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标

系.求出平面ABEF的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线PC与平面ABEF所成角的正弦

值即可.

本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查

空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

5.答案：解：(1)证明：由条件可知力B=4C,E为8。的中点，,方

所以4EJ.BD,/\\\

又面4BD1面BCC,/

面A8D介面BCD=BC,且4Eu面AB。，/

B忆-----------

所以4£_1_面3。),网x

又因为COu平面BCD,

所以AE1CD.

(2)以E为坐标原点O,EF,ED,E4所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

在直角三角形ABF中，可得BF=2gtcm30。=2,

可得EF=2cos60。=1,

可得E(0,0,0),4(0,0,3),D(0,V3,0)，C(3,2V3,0).B(0,—g,0),

由8E_L平面AER可得平面AEF的法向量为丽=(0,—g,0),蔡宗

AD=(0,V3,-3)，AC=(3,273,-3).

设平面AOC的法向量为元=(x,y,z),

,(n-AD—V3y-3z=0人(一一rfr一r-

由仁一yL，令y=®可取1l元=(-1,次,1),

[n-AC=3x+275y-3z=0

可得cos〈优前＞=票；=甯绻=一叵，

|n||EB|V3xV55

则平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值为手.

解析：【试题解析】

(1)根据面面垂直转换为线面垂直，进一步求出线线垂直；

⑵以E为坐标原点0,EF,ED,£4所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，分别求得E,A,

C,D,B的坐标，运用法向量法，结合向量数量积的夹角公式，计算可得所求值.

本题考查线面垂直和面面垂直之间的转换，二倍角的余弦值，注意运用转化思想和法向量法，考查

运算能力和推理能力，属于中档题.

6.答案：证明(1)：­：AB=AC,。是BC的中点，

•••AD1BC.

•.•底面ABC1平面BBiGC,

底面ABC。平面BBiGC=BC,

•.AD1平面

又CCi3平面BBiGC,

・••AD1CG；

(2)如图，延长当41与3M交于点N,连接GM

vAM=MAX，：.A]N=A1B1.

■:A[C]=4]N—,

:.£NJ_

・・・GN，侧面BBiCiC,

•••截面“BC】_L侧面BBiGC；

cDB

N

(3)若截面MBG1侧面BBiGC,则AM=成立.

理由如下：如图，过M作ME1BG于点E,连接DE.

•••截面MBCi_L侧面BBiQC,

•••ME_1_侧面BBiGC.

乂AD1侧面BBiGC,

ME//AD,

■■M,E,0,4四点共面.

•••MA〃侧面BBiGC,

•••AM//DE.

二四边形AMED是平行四边形，

又4M=0E,AM//CCr,

DE//CCr.

•••BD=CD,

DE=|CCX,

AM=-CCi=-AA-<,

2121

AM=MAX.

解析：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，恰当的添加辅

助线是解题的关键.

(1)先证明底面48C1平面B&GC,可知4D1平面B81GC,从而可证4D1CG；

(2)延长与8M交于点N，连接GN,证明GN1侧面BBiGC.即可证明截面MBG_L侧面BBiGC；

(3)在图中，过M作ME1BC］于点、E,由截面MB。11侧面BBiGC,可证四边形AME。是平行四

边形，有AM=DE,可证DE〃CCi，即可证明=

7.答案：解：(1)证明：如图，连接当历，交&G于点M.

vBB、//DDI,且BBi=DD],

・・・四边形B&DiO是平行四边形，

・•・BD//B1D1.

又E,尸分别是BiG，GJ的中点，

・•・EF//B1D”

・•・EF//BD,

:,D,B,F,E四点共面；

(2)连接PQ,由分析知四边形BOFE是等腰梯形，PQ为高.

设正方体的棱长为。，则8。=8也=缶，后F=匏也=枭，BE=DF若a，

；.PQ=Jga)2_《a)2=^a，

.,•四边形BD/E的面积

S=^(BD+EF)-PQ(V2a+/a).乎a=疗.

解析：本题考查正方体的结构特征，平面的基本性质和平行公理，属基础题.

(1)连接当内，交&G于点M.利用平行四边形的判定与性质证得80〃当。1，利用三角形的中位线定

理证得EF//B1。],利用平行公理得到EF〃BD,利用平面的基本性质得到最后的的结论；

(2)连接P。，由分析知四边形BDFE是等腰梯形，PQ为高,进而计算面积即可.

8.答案：证明：取4。的中点E,连接&E,ME,贝IJ&EMN是平行四边形，AP1

ArE,AP1NE,

ArEnNE=E,

AP1平面&EMN,

•••MNu平面&EMN,

.••对上任一点N,都有MN1AP.

解析：取AD的中点E,连接为E,ME,则4EA1N是平行四边形，AP14E,APLNE,证明力P_L平

面为EMN,即可得出结论.

本题考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

9.答案：解：(I)EG与是相交直线，

证明如下：连接力殳，C.D,则ABiGD是平行四边形，

・••E也是AB】的中点，:4E〃GD,4E=

.••4EG。为梯形，4,E,G，。四点共面，EQ与A。为梯形两腰，

故EC1与A。相交.

2

(口)设48=b,AD=2-b,VABCD_AiB1CiDi=6(2-b)xAAt=b(2-b)<(^|^)=1,

当且仅当b=2-b,b=l时取等号，

分别以边AB,AD,44i所在直线为x,y,z轴，建立如图所示直角坐标系，

则8(1,0,0),4式0,0,1),很(1,1,0),0(0,1.0),

西=(-1,0,1),CO=(-1,0,0)访=(-l)-l.l)，

设平面的法向量为元=(x,y,z),

则｛;二;+z=0'取z=L则五=(0,1,1)，

・・

•sind=|cos<~BA[tn>\=局七=

・・.9=-.

6

解析：本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能

力.

(I)EG与40是相交直线.连接4位，g说明A,E,G，。四点共面，EC1与A。为梯形两腰,

即可得到结果.

(H)利用等体积法求出4B,以边AB,AD,44]所在直线为x,y,z轴，建立如图所示直角坐标系,

求出平面&CD的法向量，利用向量的数量积求解直线与平面所成角的大小.

10.答案：解：(I)证明：取。为原点，D4所在直线为x轴，OE所在直线为z轴建立空间直角坐标

系，

则4(1,0,0),0),

E(0,0,V3)«F(-l,2,b)，

而=(-1,-2,回AB=(0,2,0),

设平面A3E的法向量为元=(x,y,z),

.(—X-2y+V3z—0

"12y=0'

•••y=0,令z=l,则x=遮，

••・平面ABE的法向量为亢=(V3,0,1),

又加=(-1,2,V3),

•••DF-n=—\/3+0+V3=0>

DF1n，

又DFC平面ABE,

DF〃平面ABE；

(H)•.­BE=(-1,-2,V3).前=(-2,0,V3).

设平面BEF的法向量为记={a,b,c),

.(—a-2b+V3c=0

I—2a+V3c=0'

令c=4,则a=2V3.b=痘,

则平面BEF的法向量为记=(2V3,V3,4),

设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为仇

八,mn।105V31

•••血”|麻却=年=寸

・•・平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是皿更；

31

(HI)设前=49="一1,2,V3)

=(-A,2A,V3A)-AG[0,1],

•••P(-2,2A,V3A),BP=(-A-1,2A-2,V3A)>

又平面ABE的法向量为记=(V3,0,1),

设直线BP与平面ABE所成角为a,

sina=|cos<前，=

_|'^'(-2-1)+>\/^川_V3

J(-A-1)2+(2A-2)2+(V3A)2X24'

化简得8"—64+1=0,

解得a=I或;I=3

当时，BP~(-|,-l,y),

|衲=2；

当4时，乔弟,

|衲=2;

综上，|市|=2.

解析：本题主要考查利用向量方法解决立体几何的应用问题，考查利用空间向量判定线面平行关系

和利用空间向量求线面和面面的夹角，确定平面的法向量是解题的关键，属于难题.

(I)取D为原点,所在直线为x轴，OE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE的

法向量元与向量方，根据而•元=0证明标1元，从而证明DF〃平面ABE；

(II)求平面的法向量记，再计算平面A8E与平面EF8所成锐二面角的余弦值；

(III)设丽=4而，Ae[0,1],求向量前与平面A8E的法向量元所成角的余弦值，列出方程解方程得；I

的值，从而求出|而|的值.

11.答案：解：(1)因为且力'点在平面BCO射影恰为E点，所以A'E_L平面ECD,又因为

DFC平面ECO所以A'E1DF；

所以aABE三△4FE,因为4B=AF,所以尸为线段4c上的中点，又因为ABC。为等边三角形，所

以DF1BC,因为8Cn4E=E,BC,A'Eu平面ABC,所以OF_L平面HBC,所以DFJ.AB;

(2)如图建立空间直角坐标系，3^不妨设BC=3,所以BE=1,48=

V3.设4F=x,则8（0,-1,0）,4（00匈川呼3,0）,莉=（0,-1,-匈初=（学,|,0）;

—V—V2z=0

设再为平面4BD的法向量；则3仃3,不妨设x=百,蒯y=—3,z=苧，则近=

2y—V2z=0

C(0,2,0),Tc=(0,2,-&)，割=设石为平面4DC的法向量,

^x+；y-V2z=0,

不妨设y=l,即z=&,x=?,所以荻夜)，设二面角B-4D-C为0,

则c°s9=意嵩=蠢邈=等；故二面角8-A'D-C的平面角的余弦值为-答・

解析：本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系和线面垂直的判定已经线面垂直的性质和二面

角以及空间向量的数量积以及运算律和空间向量的模，夹角与距离的求解，属于较难题.

(1)根据题意，得出A'E,平面ECD进而得出4EJ.OF,就可求到△4BE三△4FE,进而求出所以

尸为线段AC上的中点，进而求出答案；

(2)先建立空间直角坐标系，然后设福•为平面4BC的法向量，联立方程求出/坐标，同样设布为平面

4'DC的法向量，联立方程求出司的坐标，最后求出二面角B-AD-C的平面角.

12.答案：(1)证明：如图所示，取的中点。，连结A£>,

因为44i=4B,则4D141B,

又平面AiBC1侧面48当41，平面AiBCn侧面=ArB,

所以AD，平面&BC,

又BCu平面A$C,

所以AD1BC,

又三棱柱4BC-4181cl为直三棱柱,

则441底面ABC,

所以441BC,y.AAyC\AD=A,

所以BC1侧面力BB14，

又ABu侧面488出，

故A81BC；

(2)过点A作AE14C于点E,连结DE,

由(1)可知，BC1AB,

因为48=2,BC=2,所以4c=2&,

由(1)可知I,AD_L平面&BC,

则力DJLAiC,S.AEnAD=A,

所以N4ED为二面角4-ArC-B的一个平面角，

在RtA/UiC中，AE==―,

141c2V33

又力。=V2,Z.ADE=壬

所以sin-ED=果=装=*

3

由二面角4—41C—B为锐二面角，所以乙4EC=W，

故锐二面角4-41c-B的大小为会

解析：(1)取的中点。，连结A。，推导出4。_148,利用线面垂直的判定定理以及性质定理进

行分析，即可证明；

(2)过点A作AEJ.&C于点E,连结OE,推导出“ED即为二面角的平面角，求解即可.

本题考查了线线垂直的证明，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的性质定理的应用，

考查了二面角的求解，解题的关键是正确找到二面角的平面角.

13.答案：解：方法一：

(I)W-BE1AC,连接EC,由ABCE三△DCE知，DE1AC,

又BECDE=E,

AC1面BDE,

•••ACLBD.

(n)作4。1面BOE,垂足为0,则乙4。。=%,

BCLAB,AO1BC,

•••BCIffifAOB,

BC1OA.

同理，CDLOD,

,:AB=AD,

•••OA=OD,

・・•OC是4BCD的角平分线.

2

计算得，OB=—，CO=AC=Vt+1»cos61=2^—，

3313Vt2+l

由(I)得，4BE0为二面角8-4。一。的平面角，

BE2+DE2-BD2t2-l

则COS”=

2BEDE

化简得(3/-l)(t4-6/-3)=0,Vt>1,,,34_6c2_3=o.

解得12=3+2^3»t―^3+2>/3,

----------------------

C

方法二：

(<l)"AC'BD=AC-(AD-AB)=AC-AD-AC-AB=O,

•••AC1BD.

(口)如图，建立空间直角坐标系，易得B(9,0,0)，C(y,l,O).D(-y,|,O).

设4(0,0,z),则不=(一果一l,z),

显然平面BCD的法向量元=(0,0,1),故S)%=后］

设平面A8C的法向量为可=(%y,1),

-BC=0（y=0

由即|fx+y-Z=0得而=（百Z，°，l）；

-AC=0'

1

6=__n

由匹.”=0,即---2X---2VJ0汨一＞x4r3-z3z1、

0，^m2=（一-厂，彳，1〉

\jn2•AC=0yX+y-Z=022

•济+i

故cos4=

V3Z2+1-V3Z2+1

由。1=82，可得z?=g+2百，从而.,・亡2==3+2次,

t=73+2V3-

解析：方法一：

(1)作8后14。，连接ED,证明DEJ.AC,推出ACJ_面BDE,然后证明AC1BD.

(11)作4。，面8。£垂足为O,则乙4C0=%,说明NBEO为二面角B-4C-D的平面角，转化求

解即可.

方法二：

(I)通过向量的数量积为0,证明AC18D.

(H)建立空间直角坐标系,设做0,0,2)，求出平面BCD的法向量，利用空间向量的数量积求解,sin%=

后,求出平面A8C的法向量，推出cos%=下二争」.然后求解即可.

^3NV3z2+lV3z2+l

本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角所成角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推

理能力以及计算能力，是中档题.

14.答案：证明：(I)证明：由四边形A8CZ)为菱形，^ABC=60°,可得△ABC为正三角形.

因为《为夙7的中点，所以4E1BC.

又BC〃AD,因此力E_L4D.

因为PA_L平面ABCD,AEu平面ABCD,所以P41AE.

而24u平面尸40,AOu平面PA。且24n4。=4,

所以4E1平面尸4力，又PDu平面尸40,

所以AE1PD.

解：（口）设43=2,H为尸。上任意一点，连接AH,EH.

由（I）知ZE1平面PAD,

则NEHA为E/7与平面PAQ所成的角.

在Rt△E4H中，AE=V3,

所以当4H最短时，/E/M最大，

即当AH1PD时，NEHA最大.

此时tan/EHA=—=—=—，

AHAH2

因此4H=近，MD=2,所以乙4D〃=45。，

所以P4=2,

因为PA，平面ABCD,PAu平面PAC,

所以平面PACJL平面ABCD.

过E作E。1AC于O,则E。_L平面PAC,

过。作。S14F于S,连接ES,则NES。为二面角E—4F-C的平面角,

在RtAAOE中，EO=AE-sin300=—>AO=AE-cos300=

22

又尸是PC的中点，在RtAAS。中，SO=AO-sin45°=—，

4

又SE=>JEO2+SO2=I-+-=—，

y]484

3叵,—

在RtAES。中，cosZ-ESO=—=^=—,

SEV305

"4-

即所求二面角的余弦值为叵.

5

解析：本题主要考查了立体几何知识，考查空间中的位置关系，考查了相关判定定理，属于中档题.

(I)要证明AE1PD,我们可以证明4E，面PAD,由已知易得4E1PA,我们只要能证明力E14。即

可，由于底面ABC。为菱形，故我们可以转化为证明4E1BC,由已知易得到结论.

(I)由E”与平面所成最大角的正切值为?，我们分析后可得尸A的值，由(I)的结论，我们进

而可以证明平面PAC，平面4BCC,则过E作E。1AC于0,则E。_L平面PAC,过0作OS1AF于S,

连接ES,则4ES。为二面角E-AF-C的平面角，然后我们解三角形4S。,即可求出二面角E-AF-C

的余弦值.

15.答案：(1)证明：因为△4BC是以A为直角的等腰直角三角形，

所以4CJ.AB,/

又平面ABEF1平面4BC,平面力BEFn平面48c=AB,/

所以AC，平面ABEF.9二

因为BFu平面ABE凡所以4CJ.8F.

B

(2)解：在矩形A8EF中，AB=2,AF=2同

则BF=4,又PF=3,

所以尸42=PF.BF,所以BF_LAP,

由(1)知4c_LBF,又4CClAP=4,所以8尸_L平面P4C,

则ZBCP为直线8C与平面PAC所成的角；

如图，过点P作PM〃4B交BE于点M,过点P作PNJ.AB于点N,

连接NC,

因为BF=4,PF=3,所以PB=1,则/=等=案=：,

EFBEBF4

所以PM=BN=-,BM=PN=AN=AB-BN=2--=-,

2222

所以CN=、4N2+4/2=J(|)2+22=|,PC=7PN2+NC2=J(|)2+(|)2=夕.

在RtABCP中，tan^BCP=—=^.

PC7

故直线BC与平面PAC所成角的正切值为先.

7

解析：【试题解析】

(1)证明AC1AB,推出AC1平面力BEF.然后证明AC1BF.

(2)说明/BCP为直线BC与平面PAC所成的角：过点尸作PM〃/1B交BE于点、M,过点P作PN1AB

于点N,连接NC,通过在Rt^BCP中，求解tan/BCP,得到直线BC与平面PAC所成角的正切值.

本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，是中档题.

16.答案：（I）证明：••・底面4BCZ）是正方形，.•.ABLBC,

又平面PBCJ_底面ABCD,平面P8CC平面ABCO=BC,ABu平面ABCD,

AB_L平面PBC

又PCu平面PBC

■■■ABLCP.

（n）W：-BC//AD,BC0®PAD,ADcfflPAD,

BC〃面PAD

取BC中点O,再取AO中点M

•••AD1.MO,AD1MP,MOC\MP=M,MO,MPc®MOP,

ADiffiMOP,

"ADu面ADP

:.^ADP1面MOP

过点。作。HlPM,面ADPn面MOP=PM,OHcffiMOP,

则OH_L面ADP

在RtAMPO中，由。H-PM=PO-M。，可得OH=企

二点B到平面PAD的距离为近.

（皿）解：：8（7/4。，BCC面PA。，40u面PA。,

BC〃面PAD

••♦面PADn面PBC=I,BCcffiPBC

BC//1

•••OP11,MP1I

NMP。就是二面角4-I-B的平面角.

MO

AtanZ.MPO=——=1

PO

Z.MPO=45°

二二面角4-I-B的大小为45。.

解析：本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查点到面的距离的计算，考查面面角，考查学

生分析解决问题的能力，属于中档题.

(I)利用面面垂直的性质证明4BJ_平面PBC,从而可证4B±CP；

(U)取BC中点。，再取中点过点。作。H1PM,则0"_1面4。?，利用等面积，即可求点

8到平面PAO的距离；

(HI)证明4MP。就是二面角A-I-B的平面角，从而可求二面角AB的大小.

17.答案：解：⑴画出过点P且平行于AC和BD的截面PQRS,如图所示:

该截面PQRS是平行四边形，证明如下：

由AC//平面PQRS,ACABC,平面4BCn平面PQRS=PQ,所以AC〃PQ；

同理，AC//SR；所以PQ〃SR.

同理，PS"QR,所以四边形PQRS是平行四边形.

(2)当P为AB的中点时，PQ//AC,且PQ=1AC=4；

PS//BD,且PS=：BD=3；

由AC与B4所成角为60。，所以PS、P。所成的角也是60。，

所以截面四边形PQRS的面积为

S平行四边形PQRS=PS-PQ-sin60°=3x4x，=6V3.

解析：(1)画出过点尸且平行于AC和2。的截面，该截面是平行四边形，利用线面平行的性质即可

证明出结论.

(2)P为AB的中点时求出PQ、PS的长和所成的角，计算平行四边形的面积.

本题考查了线面平行的性质定理应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

18.答案：证明：⑴•MB=4C,••.△ABC为等腰三角形

•••。为8c中点，［AD1BC,

为直棱柱，.•.面ABC，面BQ

•••面ABCn面BG=BC,ADu面ABC,

AD1面BCi，

•••AD1Bg.

(2)取CG中点凡连结。凡EF,

•：D,E,尸分别为BC,CCi，A&的中点

:.EF〃AG，DF〃BG，

「4iGnBC1=CrDFnEF=F

.•.面DEF〃面AC/,

vDEu面DEF

DE〃面AiGB.

解析：【试题解析】

本题考查线面垂直，线面平行，正确运用线面垂直，线面平行的判