高考数学一轮复习学案 空间向量

2013版高考数学一轮复习精品学案：第七章立体几何

7.3空间向量

【高考新动向】

一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示

1、考纲点击

(1)理解直线的方向向量与平面的法向量；

(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；

(3)能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)

2、热点提示

(1)用直线的方向向量和平面的法向量证明线线、线面的平行关系及垂直关系是本节的重点；

(2)多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力及数形结合思想。

二、空间直角坐标系

1、考纲点击

(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置：

(2)会推导空间两点间的距离公式。

2、热点提示

(1)通过求点的坐标考查空间想象能力；

(2)通过求两点距离考查计算能力；

(3)渗透在空间向量的坐标法应用中位进行考查；

(4)多以选择、填空的形式考查。

三、空间向量用其运算

1、考纲点击

(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标

表示；

(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

2、热点提示

1、利用向量法证明点共线、线共面、平行、垂直等；

2、数量积的运算及应用是考查热点；

3、多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中。

四、立体几何中的向量方法

1、考纲点击

（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；

（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系：

（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在

研究立体几何问题中的应用。

2、热点提示

（1）考查向量法判定线面位置关系；

（2）利用向量法求空间角与距离；

（3）在解答题中综合考查空间想象能力，计算能力及数形结合思想。

【考纲全景透析】

一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示

1、直线的方向向量与直线的参数方程

空间内线的向材参数

图形方向向情

方程

AP=la（t为参数）

a//Ali.A

叫ft：线IOP=OA^-taU为参数）

南方向

向情op（1DOA+lOB

Oa为参数）

2、用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行

设直线lx和A的方向向/]〃“2（或/】与k币i合）

fit分别为幼和a0。//5

已知两个不共线向垃/〃a（或/在a内）㈡存在

必与平面a共面.一条直两个实数

线1的一个方向向址为：使+_y心

点M在平面ABC内㈡存

在一对实数八小使向量

如果A、B、C三点不共线

表达式A”。.rA3+

yA(,成立

已知两个不共线的向量a〃似或。与P重合)=£

vi.vz与平面a共面〃S且二〃P

3、用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

设直线4和4所成的角为。，方向向量分别为匕,修，则有4o匕,匕，cos0=|cos<v,,v2>|»

4、平面的法向量与平面的向量表示

(1)平面的法向量

已知平面a,如果向量〃的基线与平面a垂直，则向量”叫做平面a的法向量或说向量〃与平面a正

交。

(2)平面的向量表示

设A是空间任一点，〃为空间内任一非零向量，任取两点Mi、M：和A:点不共线)，且

A应・,；=().,\\!•,；=0,则适合条件AA)・，；=0①的点M都在平面AMIMZ内。①式通常

称为一个平面的向量表示式。

(3)平面的平行或垂直

设”；•孙分别是平面a,B的法向量，

a〃B或a与B重合=Mi/in,

aJ_S«。。

(4)三垂线定理与逆定理

①三垂线定理

如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。

②三垂线定理的逆定理

如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

方法提示：

平面的法向量的求法

设出平面的一个法向量；—(/•1'，：)，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0,列

出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到

这个法向量的坐标。注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一。

二、空间直角坐标系

1、空间直角坐标系及有关概念

(1)空间直角坐标系：以空间一点。为原点，建立三条两两垂直的数轴：X轴，y轴，z轴。这时建

立了空间直角坐标系Oxyz,其中点0叫做坐标原点。X轴，y轴，z轴统称坐标轴。由坐标轴确定的平面

叫做坐标平面；

(2)右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴方向时，中指一定指向z

轴的正方向；

(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x,y,z)，记作M(x,y,z),其中x叫做M的横坐标，y叫做点

M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。

2、空间两点间的距离公式

222

设A(x1(yi,zi),B(x2,y2>z2),贝AB\=y1(xl-x2)+(yt-y2)+(z,-z2)

注：在空间直角坐标系中，点M(x,y,z)的坐标满足x、y2+z2=l,则点M的轨迹是一个以原点为球心，

以1为半径的球面。

三、空间向量及其运算

1、空间向量的概念及运算

空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数

量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个

竖坐标。

2、空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b^O),a〃匕的充要条件是存在实数入，使得a=

xb；

(2)共面向量定理：如果两个向量a,。不共线，那么向量c与向量a,b共面的充要条件是存在唯

一的有序实数对(x,y),使。=工〃+了江

注：若a与〃确定平面为a,则表示c的有向线段与a的关系是可能与a平行，也可能在a内。

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,。不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数

组｛x,y,z｝,使得p=xa+y8+zc。其中，｛。也c｝叫做空间的一个基底。

3、空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

己知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作04=a,06=匕，则NA0B叫做向量a与人的夹角，

记作,6>,其范围是0W<a,b>Wn,若,6>=口/2,则称。与。互相垂直,记为a±b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a,b,则MMcos<a，》叫做a,b的数量积，记作。•力，即

a•Z?=pj||z?|cos<a,b>

(2)数量积的运算律

①结合落2七食储・)

②交换律8=5

③分配律：a•(b+c)=a•a•c.

四、立体几何中的向量方法

1、直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量；

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设4,〃是平面a内两不共线向量，〃为平面a的法向量，则

na=0

求法向量的方程组为4»

nb-0

注：所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？(给其中一个变量恰当赋值，求出

该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标。)

2、空间向量与空间角的关系

0

(1)设异面直线4,4的方向向量分别为犯,g,则4与4所成的角满足cos0=\cos<m],m2>|；

(2)设直线/的方向向量和平面a的法向量分别为加，〃，则直线/与平面a所成角0满足sinG

|cos<w,n>\;

(3)求二面角的大小

①如图①，AB,CD是二面角a-/-B的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小0=<A8,CD>

②如图②，方I,而分别是二面角a-/-B的两个半平面a,B的法向量，则二面角的大小。满足cos

布方减-cos〈氤定>

0=cos<

3、点面距的求法

d=AB•n

如图，设AB为平面a的一条斜线段,n为平面a的法向量,则B到平面a的距离n

【热点难点全析】

一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示

(-)用向量法证明平行、垂直

※相关链接※

1.用向量证明线面平行的方法有：

(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.

2.用向量法证垂直问题

(1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为0;

(2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为

证明线线垂直；

(3)证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线

面垂直.

3.利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂

直.

（1）设直线/的方向向量为%=（4，々,。1）直线’的方向向量为4=（生为2，。2）则

/"/go%///0（4舌，0）=4（4,62,。2）；

（2）设直线1的方向向量为%=平面a的法向量为n=（4也,c\）则

L7a。/J_〃=axa2+bxb2+c,c2=0;

/J_a=u/n=(%，4，C1)=k(a2,b2,c2)(ke/?).

(3)设平面a的法向量为n[=(qcj平面B的法向量化=(外,4,。2)则

aII^<=>th〃/Q(5・仇・q)。"・q)(A€R):a_L^=>«i+仇加+ac-0.

※例题解析※

K例》如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC_L平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中，ZB=Z

C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.

⑴求证:CM〃平面PAD;

（2）求证:平面PABJ_平面PAD.

思路解析：题目中存在从点C出发的三条两两垂直的直线，故可建立空间直角坐标系，用向量的坐标

运算证明线面平行,线线垂直,面面垂直.

解答：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的

•••PC_L平面ABCD,

ZPBC为PB与平面ABCD所成的角,

，NPBC=30°.

；PC=2,，BC=26,PB=4.

，D(0,l,0),B(260,0),

A(2V3,4,0),P(0,0,2),M(——,0,-),

22

DP=(0,-l,2),DA=(2百,3,0),CM=(当，当，

22

DP•，；=()・

(1)令，；=(]•»•：)为平面PAD的一个法向量，则=

1

工=5”

j—y+2w=O・:

即(2岳+3y=O・卜=FC

令y=2,得；=(_"・2.D.

Vn•CM=-V3Xy4-2XO4-lX-1-=O.

；.7_1加.又CMC平面PAD.

.'.CM〃平面PAD.

⑵取AP的中点E,则E(—・2.1)«HE(-73.2.1).

PH=AIi.：.HELPA.

又，；B电•DA=(-V3.2.1)

•(273.3.0)=0.

BE±DA.：.HE±DA.又PAflDA=A.

.,.BE_L平面PAD.

又TBEU平面PAB.

平面PAB_L平面PAI).

(二)异面直线所成的角

※相关链接※

高考中对异面直线所成的角的考查,一般出现在综合题的某一步,一般步骤为：

(1)平移：要充分挖掘图形的性质，寻找平行关系,如利用“中点”特征等.

(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角.

寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

(4)取舍：因为异面直线所成的角0的取值范围是0°<0^90°,所以所作的角为钝角时，应取它的

补角作为异面直线所成的角.

若用向量法，则转化为求两向量的夹角.

※例题解析※

1例》如图，矩形/腼和梯形麻尸C所在平面互相垂直，BE//CF,BCLCF,AD=g,E行2,B及3,

华4.

(I)求证："平面DCE；

(H)当4?的长为何值时，二面角/-£尸七的大小为60°.

解析：(I)证明：在△%中，BCLCF,BC=AF6B拄3,二EC=?四,

:在中，C户=后户+密,J.EFLCE'...........3分

由已知条件知，%_L平面EFCB,ADClfiP,

又DC与星相交于C,............................5分

,:阮1平面仇召...............6分

(II)如图，以点C为坐标原点，以CB,)和切分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系

C-xyz,7分

设四=a(a>0),则C(0,0,0),4(6,0,a),8(百，0,0),£(JL3,0),F(0,4,0).

从而EF=(-73,1,0),AE=(0,3,—a),............9分

设平面46F的法向量为几=(x,y,z),由七7九〃=0,AE•拉=0得，

—6x+y=0而,R36

«,取产1,则丁=。3*=----，

3y-〃z=0a

即〃=(1,6,空)，....................11分

a

不妨设平面EFCB的法向量为BA=(0,0,6/),

n-BA3y/3a_1

由条件，得|cos<〃,BA>|=

\n\\BA\ad4/+272

解得a=2.所以当AB=2时，二面角力-跖-C的大小为60°.

22

(三)利用向量法解决开放性问题

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1.开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有一定的思维深度，用向量法较容易解决.

2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有

解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.

※例题解析※

K例1如图，已知正方形0BCD所在平面与等腰直角三角形A0I)所在平面互相垂直，0A=0D=4,点E、

F分别为CD、0A的中点.

⑴求证：DF〃平面AEB；

(2)线段AD上是否存在一点M,使BM与平面AEB所成角的正弦值为逅？若存在，请求出四的值;

18MA

若不存在，请说明理由.

思路解析：第(D问用传统方法证明，即利用中位线定理在平面AEB内找一条直线与DF平行；第(2)

问用向量法解答比较容易入手.

解答：⑴如图，取AB中点G,连结FG,EG；

VFG//OB,

，FG〃DE,

又FG=』OB,I

DE=-OB,

22

；.FG=DE,

...四边形EDFG为平行四边形,

；.DF〃EG,

又EGu平面AEB,DFtZ平面AEB,

；.DF〃平面AEB.

(2)依题意知平面OBCD_L平面AOD,OB±OD,

；.OB_L平面AOD,得OB_LOA,

又AOJ_OD,0B10D.

如图，以0为原点，建立空间直角坐标系Oxyz,

VAO=OD=4,可得A(0,4,0)、E(4,0,2)、B(0,0,4),

AE=(4,-4,2),AB=(0,-4,4).

设平面AEB的一个法向量为n=(1,b,c),

,n-AE=O_f2-2b+c=0

由《得z《

n-AB=Ol-b+c=O

解得b=2,c=2,

n=(l,2,2).

设线段AD上存在一点M(t,4-t,0),

其中0WtW4,则BM=(t,4-t,-4).

NB-t

cos〈〃.BM〉=-----*---M--=------,

|n|.|BM|3X4+(4一万+16

________22______

3X72/2-8/+32*

依题意：|cos〈万.而5〉|=媒・

lo

即——'/=旦.

3X5/27一&+3218

可得t2+2t-8=0,解得t=2或t=-4(舍去).

所以AD上存在一点M(2,2,0),它是AD的中点,

所以需4

二、空间直角坐标系

(一)求空间中点的坐标

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1、通过分析几何体的特点，恰当的建立坐标系，可以方便的写出点的坐标，“恰当”的原则是：①充

分利用几何体的垂直关系；②尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上。

注：不同的建系方法，求出的点的坐标也不同。

2、求空间点P坐标的方法

方法一：(1)过点P作一个平面平行于坐标平面yOz,这个平面与x轴的交点记为《，它在x轴上的

坐标为X,这个数x叫做点P的横坐标；

(2)过点P作一个平面平行于坐标平面xOz,这个平面与y轴的交点记为匕，它在y轴上的坐标为y,

这个数y叫做点P的纵坐标;

(3)过点P作一个平面平行于坐标平面xOy,这个平面与z轴的交点记为，，它在z轴上的坐标为z,

这个数z叫做点P的竖坐标。显然x轴上点的坐标形如(x,0,0),x0y平面上点的坐标形如(x,y,0).

方法二：从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，

进而可求点P的坐标。

※例题解析※

K例?己知正方体ABCD-ABCD的棱长为2,M为AC中点，N为AB1中点，建立适当的坐标系，写出

M,N两点的坐标。

思路解析：利用正方体的共顶点的三棱两两垂直建系，然后用求空间中点的坐标的方法来求。

解答：如图，

AY____

以A为原点，AB,AD,AA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间坐标系。从M点分别向平面yAz,平面xAz,

平面xAy作垂线。•.•正方体的棱长为2,.•小点的坐标为(1,1,2).同理，N点坐标为(1,0,1).

(-)空间中点的对称问题

※相关链接※

1、常见对称点的坐标规律

在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z),则点P

(1)关于原点的对称点是Qx,-y,-z);

(2)关于x轴的对称点是(x,-y,-z);

(3)关于y轴的对称点是(-x,y,-z);

(4)关于z轴的对称点是(-x,-y,z);

(5)关于xOy坐标面的对称点是(x,y,-z);

(6)关于yOz坐标面的对称点是(-x,y,z);

(7)关于zOx坐标面的对称点是(x,-y,z).

2、中点坐标公式

若A(xi,y,.Z1),B(X2,y2,z。，则线段AB的中点P的坐标为(土卫.，上土&，红卫)

222

3、利用中点坐标公式也可求对称点的坐标。

※例题解析※

K例』已知矩形ABCD中，A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),求顶点D的坐标

思路解析：AC的中点即为BD中点，利用中点坐标公式可求

7

解答：•.•矩形的对角线互相平分，，AC的中点即为BD的中点。由已知，AC中点M为(一，4,-1)»

2

1z+27y—5z+1

设D(x,y,z),则2—2'2'2一•，x=5,y=13,z=-3.；.D(5,13,-3).

(三)空间两点间距离公式的应用

K例》已知直三棱柱ABC-ABG中，ZBAC=90o,AB=AC=AA,=2,M为BG的中点，N为AB的中点，求|MN|

思路解析：建立空间直角坐标系—确定点M、N的坐标—求|MN|。

解答：如图，

以A为原点，AB,AC,AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0),C)(0,

222

2,2),A.(0,0,2),B,(2,0,2),ANCl,0,2),M(l,1,1)。|MN|=^(l-l)+(0-1)+(2-1)=72o

注：利用空间中两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长，只要建立恰当的坐标系，通

过简单的坐标运算即可解决。

三、空间向量及其运算

(-)空间向量的线性运算

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用已知向量表示未知向量，一定要结合图形。可从以下角度入手。

(1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；

(2)把要表示感谢向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向

量的关系。

(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否

则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘。

(4)注意应用以下结论，

OB+OC

①A为BC中点，0为空间任一点，则。4=

2

②A、B、C三点共线，。为空间任一点，则。4=九。8+（1-X）OC等。

※例题解析※

K例1如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AB=b,AD^c,M、N、P分别

是AAi、BC、CD的中点，试用a,b,c表示以下各向量:

(1)AP；(2)AN；⑶MP+NC.

思路解析：结合图形，利用空间向量加减法及数乘运算法则和运算律即可。

解答：（1）；P是GDi的中点,

A.P——AA|+AD]+Z)|P—aADH—01G=a+cd—A5=a+cd—b

(2)：N是BC的中点，：.MP^MA+AP^-AiA+AP^-a+(a+c+-b)^-a+-b+c,

又NG=NC+CG」3。+的=-AD+AA1=-c+a,

111313

MP+NC]=(—aH—/?+<?)+(aH-c)=一aH—bH—c

（二）共线向量定理、共面向量定理的应用

※相关链接※

应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面。

1、证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：

（1）PA=APB；

⑵对空间任-点o,OP=OA4-1AB；

（3）对空间任一点o,O1="C仄+丫。亩工+广口

2、证明空间四点共面的方法

对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面

小MP=xMA-yMB；

()P=()M+aMA4-3rMB；

（2）对空间任一点0,

(3)对空间任一点0,°PJ°V,-VjV2=1)；

（4）。\4〃八口（或「八〃％他或。3〃八》

1

T=V=N=---

注：在（3）中，若32,则点P即为AMAB的重心。

_%(+x2+x3

3

X+%+%

若M（X],y,Z1）,A（X2，y2，Z2），6（X3，y3，Z3），P（x，y，z）,则若p为AMAB的重心，则＜y=

3

4+Z2+Z3

Z=

3

此即为三角形重心坐标公式。

※例题解析※

R例』设A,B,C及卜,B.,C分别是异面直线（A上的三点，而M,N,P,Q分别是线段AAi,BA”

BBi,CG的中点，求证：M,N,P,Q四点共面。

思路解析：

A、B、C及Ai、11、C分别共线）Bd=;uM.B,d=/Ai1）|P、Q为中E_

P。用为4和B。表示If|P@用HA、AIB；表示|.|p。用Ni\；f、^＞市表示_

P、Q、M、\共面

解答：由题意得，NM=*A,NP=gABi，：.BA=2NM，ABi=2NP.又A,B,C及卜,B,,G

分别共线，，BC=尢BA,B©=fAB「又PQ=g(BC+Bg)，

PQ=；(ABA+fA4)=；(2ANM+2tNP)=入NM+tNP.

PQ,NM,NP共面.

.•.M,N,P，。四点共面

（三）空间向量的数量积运算

K例》如图，直三棱柱ABC-AB3中,BC-AB”BC」A£,求证：ABFA.C,

思路解析：利用直棱柱的性质，可证明AB=AC,则ABi=A£。

解答：BC]=BC+CC],A[C=AG+C]C。

________2

=(Bc+cc,)(AC,+GO=BC4G-CG=o

CCj=BCAG

同理：AB]=AB+BBi，BC}=BB]+Bg,

__22

+8及)+4G+8与=0.BB}=-ABfi.C,.

CC,=BBX,：.BCAG+ABBg=0.

又AG=AC,B1G=8C,.・.BC(AC+A3)=0.

取8耶中点O,连接AO,则BC2AD=0,.\BC1AD,：.AB=AC,

又A*B|B,

A©=AB1

注：(1)利用向量的数量积，可以求异面直线所成的角，两点间的距离，证明垂直等问题。当题目条

件中有垂直关系时，转化为数量积为零进行应用，非常方便。

(2)利用向量解决几何体中的长度、夹角、垂直等问题的基本思路是先根据已知条件选择基向量，

并求出其长度和数量积，再用基向量表示出有关的向量，并进行向量运算，从而得出相关结论。

(四)空间向量的坐标运算

※相关链接※

空间向量的有关运算

设a=(q,),人=(4，打也)

(1)坐标运算

ab=(ai±b],a2+b2,a3±b3)

则a±b=(aii6i♦ai6•ai6)•

Aa=(Aai,Xa,Xa).

(2)共线与垂直的坐标表示

a//u=X㈡cii=入bi.a=Xb♦a,=Xb(入GR),

a•6=0<=?ai61-abab=Q(a"均为非零向量)。

(3)模和距离公式

aI=Va•a=Va-a+a,

CIAB=!AB

若八(a,5.G),B(a,b,c)测=y(aai)+(bb\)4"(c-Q).

※例题解析※

(例》设向量a=(3.5'D,3=(2.1.8).计算:la3/人3a以及

►►-A,♦

a与卜所成角的余弦值，并确定入，口应满足的条件，使人61.与z轴垂直。

思路解析：代入向量坐标运算的公式求：?"36,3a2b,a*b,利用数量积求a与'的夹

角余弦值，利用1确定入，口的关系。

解答：2。+39=2*(3,5，—4)+3><(2,1,8)=(6>10(_8)+⑹3,24)=(12,13,16),

3a2东=3义(3,5,-4)-2X(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28)。

a•6=(3,5,-4)•(2,l,8)=6+5-32=-21.

4)=瓯"|=72H+8=麻

「八入•b-217

...a，a\\b\~x/50.V69---230―

AA

由(4a•p6).((J.0.1)=(3入+2u,5入+u,-4入+8u)•(0,0,l)=-4入+8u=0,即入=2u,

...当A,u满足X=2u时,可使入a.〃从与z轴垂直

四、立体几何中的向量方法

(-)利用空间向量证明平行和垂直

※相关链接※

利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直。

(I)设直线4的方向向量为风=(a'8'G),直线4的方向向量为"=(6•、•c),则4〃

/匕ti〃/㈡(4山，G)=Ka♦加•c)(R)；

’2

ZiJ_ZJ_u<=>aia4~b\I)-cic=0.

(2)设直线/的方向向量为"=(出•'"°),平面a的法向量为n=(a.b.c),则

/〃a<z>"_H->U|a•«/)卜6C=0；G_g/涓(q•，•「)=k(。J,，>(R).

(3)设平面a的法向量为m=(a,.61,C,),平面B的法向量为〃=(a,/)，C),则a〃B

0油〃沱，㈡(a,G)=­a•c)(ASR)；a_L的独_1_”a+b,b-。c=o.

※例题解析※

K例》如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABCD,AB±AD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC

的中点。

(1)证明AE±CD；

(2)证明：PD_L平面ABE。

♦A

思路解析：①建立空间直角坐标系一确定八、的坐标.计算/帝.

ECD(：rj_>AE±CD;

»—•-*-*-*

②求面ABE的法向量〃—判断满足PD=k〃(feeR)fPDL平面ABE或确定PD、AB、AE坐

PD±AE

标一计算PI‘.Al),PI)•AEFPD_ABFPD,平面ABE

解答：(1)VAB,AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

设PA=AB=BC=L则P(0,0,Do

VZABC=60%

.'.△ABC为正三角形.'

LL44Z

设D(0,y,0),由AC_LCD,得AC*C6=O,

即y=厚，则D(0,*,0)，

•Jo

CD=(

vv_z1口1、

又AAE一(丁，丁,二7),

44Z

AAE•cb=-+x}+gxg=0,

，464,

AAE±CD.PpAE±CD.।

(2)方法一：1P(0,0,D,；.PD=(O,^»-1).

又AE*PD=^X^+yX(-l)=0»

APD±AE^PPD±AE.

IAB=(1,0,0),；.PD・AB=0,

[jPD±AB,又ABDAE=A^,.\PD_L平面AEB.

方法二：:AJB=（1»0»0）*AE=（：,坐',（），

442

；•设平面ABE的一个法向量为J=（£,y,z）,

x=0

令>=2,则z=一々,••・?；=（0,2,一旧）.

•.•P6=（O,空,一1）,显然P5=£

OO

:.PD//n,

Pf5_L平面ABE,即PD-L平面ABE.

（二）利用空间向量求点面距

※相关链接※

利用向量法求点面距，其步骤如下：

（1）求出该平面的一个法向量；

（2）找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量;

（3）求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面平面的距

离，如图:

,PA・n

d=---------

点P到平面a的距离

=n

由于可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该

d=AP,n

点出发的斜线段所对应向量的数量积的绝对值，即

※例题解析※

K例1（北京卷16）如图，在三棱锥P—ABC中，AC=8C=2,ZACB=90,AP=BP=AB,

PCVAC.

(I)求证：PCLAB；

(ID求二面角5-AP-C的大小;

(III)求点C到平面APB的距离.

思路解析：题中⑴利用PAC'^P8C证明；题中(II)(III)可利用题中⑴的结论:

PC,AC,BC两两垂直，建立空间直角坐标系求解。

解法一：

(I)取AB中点。，连结PD,CD.

AP=BP,

PD1AB.

AC=BC,

CDLAB.

PDCD=D,

AB±平面PCD.

PCu平面PCD,

PCrAB.

(II)AC=BC,AP=BP,

:.△APC9XBPC.

又PCJ.AC,

PC±BC.

又ZACB=90,即AC，8C,且ACPC=C,

BCd.平面PAC.

取AP中点E.连结BE,CE.

AB=BP,BEYAP.

EC是BE在平面PAC内的射影,

CE1.AP.

：.N8EC是二面角8-AP—C的平面角.

在△BCE中，NBCE=90,BC=2,BE=­AB^^6,

2

sinZBEC=—=—.

BE3

二二面角B-AP-C的大小为arcsin45

3

(Ill)由(I)知AB_L平面PC。,

平面APB，平面PCD.

过C作垂足为

平面APB平面PCD=PD,

.♦.CHJ■平面APB.

：.CH的长即为点C到平面APB的距离.

由(I)知PCLA5,又PCLAC,且ABAC=A,

PCmABC.

CDu平面ABC,

PCICD.

在RtZ\PCO中，CD=LAB=4I,PD=@PB=R,

22

:.PC=4PDr-Of=2.

“PCxCD2V3

Ctd-------------=-------

PD3

.•.点C到平面APB的距离为2回.

3

解法二:

(I)AC=BC,AP^BP,

.,△APC当ABPC.

又PCJ.AC,

PCA.BC.

ACBC=C,

PCmABC.

AZ?u平面ABC,

PCLAB.

(H)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-型.

则C(0,0,0),A(0,2,0),8(2,0,0).

Z

P

EH

y

设尸(0,0,r).

|PB|=|A8|=20，

:.t=2,尸(0,0,2).

取AP中点E,连结CE.

|AC]=|PC|.|AB|=|BP|,

CEYAP,BE1AP.

N8EC是二面角5-AP—C的平面角.

E(O,L1),£C=(0,-L-l),£6=(2,—1,一1),

EC・EB2

cos/BEC=

ECIEBV2xV63

.,.二面角3-AP-C的大小为arccos

3

(HI)AC=BC=PC,

.•.C在平面APB内的射影为正AAPB的中心“，且C”的长为点C到平面APB的距离.

如（II）建立空间直角坐标系。-孙z.

BH=2HE,

.•.点”的坐标为（2,2,21.

（333）

半昨孚

.•.点C到平面APB的距离为—.

3

（三）利用空间向量求空间角

K例H湖北卷18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC—A4G中，平面ABC_L侧面4AB凸.

（I）求证：ABLBC；

（H）若直线AC与平面ABC所成的角为。，二面角A,—BC-A的大小为夕，试判断。与夕的大小关系,

并予以证明.

思路解析：(I)利用面面垂直的性质转化为线面垂直，再证线面垂直，进而得到线线垂直;

(II)建立空间直角坐标系，求出。与夕的某个三角函数值，然后比较两角的大小。

解答：本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能

力和推理能力.

(I)证明：如右图，过点4在平面内作于。，则

由平面4aL侧面4月微,且平面AyBC侧面得

AD_L平面ABC,又BCu平面A{BC,

所以AD