高中数学几何证明题

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD是空间四边形，旦己6,〃分别是边43,8。,。。,04的中点

(1)求证：EFGH是平行四边形

(2)若BD=2jLAC=2,EG=2o求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

证明：在中，:E,H分别是AB,AD的中点；.EH〃BD,EH=工BD

2

同理，FGHBD,FG=LBD：.EH//FG,EH=FG：.四边形EFGH是平行四边形。

2

(2)90°30°

考点：证平行(利用三角形中位线)，异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形ABC。中，BC=AC,AD=BD,E是A3的中点。

求证：(1)A8_L平面CDE;

(2)平面COEJ•平面ABC.

BC^AC]

证明:(1)=>CE±AB

AE=BE\

AD=BD\

同理,=>DELAB

AE=BE\

又,：CEcDE=EAB_L平面CDE

(2)由(1)有AB,平面COE

又•；ABc平面钻。，，平面CDE±平面ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体ABC。-A4GA中，E是A%的中点,

求证：AC〃平面BDE。

证明：连接AC交BO于。，连接EO,

•••£为A4的中点，。为AC的中点

E0为三角形4AC的中位线EO//A.C

又EO在平面BDE内,4c在平面BDE外

/.A。〃平面3DE。

考点：线面平行的判定

4、已知A46c中N4C8=90,S4L面A8C,A£>_LSC,求证：4D_L面SBC.

证明：VZACB=90oBC±AC

又面ABC:.SA±BC

BC±AD

又SC上AD,SCcBC=C.犯±面SBC

考点：线面垂直的判定

5、已知正方体48co—44G。，。是底ABC。对角线的交点.

求证：(1)GO〃面A42；(2)4C_L面Ago一

证明：⑴连结4C，设4Gc3Q=a,连结401

•••ABCD-^B^D,是正方体4ACG是平行四边形

...AC〃AC且4G=AC

又。1，。分别是4。1,4。的中点，.・.0心〃4。且06=4。

；.AOG。是平行四边形

.•・G°//A°|,Aau面ABQ,“Z面ABQ.•.G。〃面ABQ

(2)vCC,_1面44GACC,±BQ、

又•.•AG，42,面A。。即qc,42

同理可证AC又£>隹cA£>|=£>1

AC-L面ABQ

考点：线面平行的判定(利用平行四边形)，线面垂直的判定

6、正方体ABC。'中，求证：（DAC_L平面8'O,DB；⑵3。」平面4。3'

考点：线面垂直的判定

7、正方体A3CD—481clQi中.（1）求证：平面A山。〃平面8QC；

⑵若E、尸分别是AA”CG的中点，求证：平面E8Q〃平面FBD.

证明：（1）由8出〃力助，得四边形BBQ1。是平行四边形，.•.8|Oi〃B£）,

又BO<z平面81DC，-U平面81QC,

.•.20〃平面8QC.

同理A。〃平面BiDiC.

而4。。8。=。，平面48。〃平面BCD

⑵由得8。〃平面EBQi.取BBi中点G,，AE〃BiG.

从而得8|E〃AG,同理GF〃AO.，AG〃QF.，B|£：〃。尸....QF〃平面EBQi....平面EB|£)i〃平面FBD.

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、如图尸是AABC所在平面外一点，24=依,。？_1平面抬3,是尸。的中点，N是4B上的点，

AN=3NBp

（1）求证：MN±AB；（2）当NA尸8=90°,A5=2BC=4.时，求MN的长。A

证明：（1）取Q4的中点。，连结MQN。，是的中点，M//\

J.MQUBC,VCB_L平面PLB,/.MQ_L平面HAS//\

...QN是MN在平面A钻内的射影，取A6的中点。，连结PD,I24=28,c//\A

PDLAB,又AN=3NB,：.BN=ND\/

由三垂线定理得

：.QN//PD,：.QN1AB,"N_LABBV^N

（2）VZAPB=90\PA=PB,；.PD=；AB=2,：.QN=l,：MQ_L平面MQJ.NQ,且

MQ=gBC=\,：.MN=&

考点：三垂线定理

10、如图，在正方体ABC。一AgG2中，E、F、G分别是43、AD.GQ的中点.求证：平面0E尸〃

平面BOG.

证明：•:E、/分别是A3、A。的中点，.♦.EF〃89

又£户。平面BDG,BOu平面BDG：.EF〃平面BDG

■：D,G&EB四边形DQBE为平行四边形，D,E//GB

又DtE<z平面BDG,GBu平面BDG。田〃平面BDG

।♦.平面AE/7〃平面BOG

考点：线面平行的判定(利用三角形中位线)

11、如图，在正方体ABC。—4AG3中，E是A4的中点.

(1)求证：4c〃平面

,:E、。分别是AA「AC的中点，.•.4C〃E。

又AC<Z平面BOE,EOu平面6DE,r.4。〃平面6DE

(2)•；A4,_L平面A8CO,比>(=平面48。，AA,VBD

又BOLAC,A°CA4|=A,..即，平面4AC,3。(=平面3。E，.・.平面3£>£_1_平面44。

考点：线面平行的判定(利用三角形中位线)，面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，24,平面ABCD,43=2,PA=AD=4,Ep

为6C的中点.卜、

(1)求证：平面B4E；(2)求直线QP与平面Q4E所成的角.\X.

证明：在ZVLDE中，AD1=AEr+DE2,AELDE\

:%_L平面ABC。，OEu平面ABC。，A\.............

又Q4cAE=A，,。七，平面PAE

(2)NOPE为DP与平面QAE所成的角

在用AELD,PD=46,在R/ADCE中，DE=2母

在RtADEP中，PD=2DE,:.ZDPE=30°

考点：线面垂直的判定，构造直角三角形

13、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是ND钻=60°且边长为。的菱形，侧面P4Q是等边三角形,

且平面PAD垂直于底面ABCD.

(1)若G为4)的中点，求证：8G_L平面尸AD；P"

(2)求证：ADLPB；/VX.

(3)求二面角A—BC-P的大小./

证明：(1)ZVIB。为等边三角形且G为AD的中点，；.BGLAO/

又平面PAD_L平面ABCD,BGJ•平面PAD/..........，

(2)BAO是等边三角形且G为AO的中点，AD,PG/?'<'、、、.\/

且ADL6G,PGc5G=G,：.平面「BG,A上.......—

PBu平面PBG,AD±PB

(3)由AD_LP3,AD//BC,:.BCVPB

又BG上AD,AD//BC,BGA.BC

：.NP8G为二面角A—BC-P的平面角

在HAPBG中，PG=BG,:.ZPBG=45°

考点：线面垂直的判定，构造直角三角形，面面垂直的性质定理，二面角的求法(定义法)

14、如图1,在正方体ABCD-A5CQ中，M为CC］的中点，AC交8。于点。，求证：4。_1平面加8£).

证明：连结MO,AM，：QB_LA1A,DB±AC,44cAe=A,

...£)8_L平面AACC；，而4。u平面4ACC；：.DB1.AQ.

设正方体棱长为a,则AO2='q2,M02=_a2

"24

9

在RtZ\AGM中，4M2=彳。2••AO2+MO2A^M2TAA0±0M

'：OMHDB=O,：.A0_L平面MBD

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图2,在三棱锥4一仇力中，BC=AC,AD=BD,

焊BE,CD,为垂足，作AHLBE于H.求证：4L平面融力.

证明：取的中点尸，连结5DF.

:AC=BC,；,CF上AB.

•：AD=BD,C.DFA.AB.

又C/n。尸=/，平面以巩

•••8u平面的CDJ.AB.

又CD工BE,BEcAB=B,

C£)_L平面/防，CD1AH.

•：AHLCD,AH±BE,CDcBE=E,

：.A"_L平面65.

考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD-AIBICIDI中，A|C_L平面BCQ

证明：连结AC

•/BD±ACAC为AC在平面AC上的射影

/.BD1A.C

>nACL平面BG。

同理可证ACL8G

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且