2021-2022学年上海市闵行区文来中学九年级上学期期中考数学试卷（含详解）

2021-2022学年上海市闵行区文来中学

九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

I.在中，ZC=90°,ZB=a,AC=m,那么边AB的长为（）

A.----B.rn-cosaC.m­sinaD.mcota

sina

2.在《ABC中，点0、E分别在边AB、AC上，ED//BC,如果5^^=S四边形KED，那么下列结论

中，正确的是（）

A.DE:BC=1:2B.DE:BC=T:垃

C.DE:BC=1:3D.DE:BC=1:4

3.如图，在二ABC中，。、E分别在边A3、AC上，DE//BC,EFUCD^AB^F,那么下列比例式

中正确的是（）

EFDEAFAD

C--------D.--------

CDBCBDAB

①卜a卜攵卜|

IIIII

②%为单位向量,则。=忡%

③平面内向量a、c，总存在实数加使得向量°=〃/

④若4=万+〃，乃〃4,万〃a2，则乃、〃就是a在q、%方向上的分向量

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.已知点E、尸分别在的A3、AC边上，则下列判断正确的是（）

A.若.AEF与,ABC相似，则EF//BC

B.若=A尸则，A£尸与cABC相似

APEF

C.若丁=1,则AE尸与相似

ABBC

D.若AF・BE=AE・FC,则「AE厂与一ABC相似

6.如图，。、E、厂内分正,ABC的三边AB、BC、AC均为1:2两部分，A。、BE、CF相交成的

的面积是ABC的面积的（）

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.已知2x=3y,则（x+y）:y的值为.

8.如图，已知在梯形A8CO中，AD//MN//BC,MN分别交边A3、OC于点〃、N,如果

AM:MB^2:3,AD=2,BC=7,那么MN的长.

9.在乙ABC中，若交8C于。，BE交AC于E,CF交物于F,AD>BE、。尸相交于一点,

BDCE

=3则

~EAFBDC

10.如图，乙ABC三边的中点分别为O,E,F.联结CO交AE于点G,交EF于点、H,则

DG:GH:CH=.

11.已知0°<，<90°,且sin8+cos6=m,则tan（9+cote=.

12.已知点P是线段A3上的一点，且Ap2=A8-F>8，如果AB=2，那么AP=___.

13.如图，在边长为10正方形ABC。中，内接有六个大小相同的正方形，点P,Q,M,N是落在大正方

形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为.

DM

APB

14.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全

等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线8。是它的相似对角

16.如图，在一ABC中，AB=2,AC=3,点。为边AC上一点，点P是线段8。中点，如果

ZABD=ZACP,那么A。的长是.

17.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=4,点尸在边6C上，联结AP,将△A8P

绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点3的对应点是点8'，联结8B'，则tanNA66'=

3

18.在梯形ABC。中，ABDC,ZB=90°,BC=6,CD=2,tanA=-.点£为8c上一点，过

4

点E作瓦'〃AO交边AB于点F.将一班厂沿直线所翻折得到△GE/L当EG过点。时，BE的长

为.

三、解答题：(本大题共7题，满分78分)

19计算：V6cot600-11-2cos45°|+4sin230°-----5——.

11tan600-2

20.如图，E是平行四边形A8CO的边BA延长线上的一点，CE交AQ于点尸，交BD于点、G,AE；AB=

I：3,设84=。，BC=b-

(1)用向量4、8分别表示下列向量：

UUU

AE=，EC=，EG=

(2)在图中求作向量8G分别在a、b方向上分向量.(不写作法，但要写出画图结果)

21.已知：如图在中，AO是边上的高，E为边AC的中点，3c=14,4)=12,

4

sinB=-.求：

5

(1)线段的长；

(2)tanZEDC的值.

22.已知：如图，在RtZXABC中，NB4C=90。，。是线段A3上的点，DELBC,垂足为点E,联结

CD、AE交于点G,且

F

D

B

E

(1)求证：点。在NACB的角平分线上.

(2)延长84与NACB外角的平分线交于点尸，求证：—+—=^.

ADAFAC

23.已知：如图，AD//BC，ZABD=ZC,AE±BD，DFLBC,点、E、尸分别为垂足.

(1)求证：BDCD=ABBC；

(2)联结所，如果=求证：DFDC=EFBC.

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+7nx+〃经过点B(6,1),C(5,0),且与)，轴交于

点A.

(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；

(2)点尸是y轴右侧抛物线上的一点，过点尸作尸。，。4,交线段OA的延长线于点Q,如果/%B=

45°.求证：4s△4C&

(3)若点F是线段AB(不包含端点)上的一点，且点F关于AC的对称点F'恰好在上述抛物线上，求

FF'的长.

25.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,BC=18,DB=DC=15,点E、尸分别在线段6。、

CO上，DE=DF=5.AE的延长线交边BC于点G,AE交5。于点N、其延长线交8c的延长线

于点H.

(1)求证：BG=CH；

(2)设A。=x,AAD/V面积为y,求y关于X的函数解析式，并写出它的定义域;

(3)联结尸G,当一〃FG与相似时，求AO的长.

2021-2022学年上海市闵行区文来中学

九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

I.在中，ZC=90°,ZB=a,AC=m,那么边AB的长为（）

A.------B.rn-cosaC.m•sinaD.mcota

sina

【1题答案】

【答案】A

sr

【分析】先画好直角三角形，再利用sina=——，从而可得答案.

AB

【详解】解：如图，ZC=90°,NB=a,AC^m,

.AC

sina=---

AB

sina

故选A

【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数求解三角形的边长，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键

2.在cABC中，点。、E分别在边A3、AC上，ED//BC，如果=S四边形叱如，那么下列结论

中，正确的是（）

A.DE.BC=\:2B.DE:BC=1：6

C.DE:BC=1:3D.DE:BC=1:4

【2题答案】

【答案】B

【分析】先证明，ADEs-ABC,可得上巫=（匹］，结合S0°£=S四边形BCED，可得（匹］=！，从而

sABCVBC）［BC）2

可得答案.

【详解】解：如图，ED//BC,

.-ADEs.ABC,

.(DE>\-1DE1

■\5cJ-于丽一万

故选B

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”是解题的关

键.

3.如图，在：ABC中，D、E分别在边43、AC上,DE//BC,EFIICD交ABTF,那么下列比例式

中正确的是（）

AFDEDFAFEFDEAFAD

A.--------------

DFBC~DB~^F^D~~BC

【3题答案】

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断.

.AFAEAEDEAFDE

【详解】A、：EF〃CD,DE〃BC,YCEWAC,•____土____故_本选项错

'~DF~~ECAC-^C"DFBC

误;

AEAE_ADADDFAF

B、VEF//CD,DE〃BC,••-----••----・.,ADWDF,J------0故

DF~EC,ECBD，DF~BD,DB~DF,

本选项错误；

DEAEEFAEEFDE

C、VEF/7CD,DE〃BC,；・---=---=故本选项止确；

BCACCDACCDBC

ADAEAFAF,AFADAFAD

D、VEFZ/CD,DE//BC,---=---=•「ADWDF,—w故

ABACADACADABBDAB

本选项错误.

故选C.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的新三角形

与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找对应线段是关健.

4.下列正确的有（）

①上耳=4

②为单位向量，则）=性为

③平面内向量a、c，总存在实数加使得向量c=

④若。=乃+”，乃〃6,7T//a2,则万、〃就是a在q、%方向上的分向量

A.0个B.1个C.2个D.3个

【4题答案】

【答案】A

【分析】根据向量的有关知识，对选项逐个判断即可.

【详解】解：①卜《=网何，错误

②/为单位向量，则。=件/或。=一忖4，错误，

③平面内向量a、c，总存在实数俄使得向量c=根〃，只有a、c共线时才成立，说法错误,

④加、“也可能是［在。］、的反方向上的分向量，说法错误

故选A

【点睛】此题考查了平面向量的基本知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.

5.已知点£、F分别在「ABC的A3、AC边上，则下列判断正确的是（）

A.若&AE/与二ABC相似，则E尸〃BC

B.若贝与'45c相似

AJ7EF

C.若一=—,贝UAEF与_ABC相似

ABBC

D.若AF-6£=AE•bC,则，A£F与cABC相似

【5题答案】

【答案】D

【分析】若二AEF^.ACB,则NAEF=ZC,则EF与BC不一定平行，从而可判断A,再逐一把BCD选

项中不是比例式的化为比例式，结合公共角要作为夹角，逐一判断即可.

【详解】解：如图，若cAEEs-ABC,则NAEF=NB,则E/7/5C,

若右AEEs_AC比则NAEF=NC,则所与8。不一定平行，故A不符合题意;

APA17

若AEBE=AFFC,则一=——，不能推出AM与一A5C相似，故B不符合题意;

FCBE

AfFF

若一=——，而夹角不一定相等，推不出.A£/与_ABC相似，故C不符合题意;

ABBC

RFAPAp

若AFBE=AEFC,则~=迫，则空=上，而44=NA,

AFAEABAC

所以AE尸与一ABC相似，故D符合题意；

故选D

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质与判定，掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”

是解题的关键.

6.如图，D、E、/内分正，ABC的三边A3、BC、AC均为1:2两部分，AD>BE、CF相交成的

夕”的面积是一ABC的面积的（）

A

【6题答案】

【答案】D

【分析】如图，过。作OH〃AC,交BE于H,设等边三角形ABC的边长为：3a,结合题意可得:

PD1

BD=AF=CE=a,CD=BF=AE=2a证明_BDHS&BCEQPDHSJPAE,证明---=—,

AP6

EQFR1,

-z^=—=7，设等边三角形ABC的面积为：3m,可得

BQ/vCo

3/w1「，一

=

SPQR-S.CBF~S.up/)—S四边形SPRF—S四边形p0co-~SA[jC,从而可符合案•

【详解】解：如图，过。作。"//AC,交BE于H,

设等边三角形A8C的边长为：3a,

结合题意可得：BD=AF=CE=a,CD=BF=AE=2a

DH//AC,

：.BDHs.BCE,PDHs.PAE,

BDDHDHPD

-----=---------------=------

BC~CE'AE~AP

a

aPD__1

：.DH

~3，^\P~2a~6,

EQFR\

同理:1BQ~~RC~6,

设等边三角形ABC的面积为：3m,

,,SBCF=2加,SBCE=m,

S.AFR-qS.ACF_qm,SABP

S四边形BPRF=SABp-S.AFR='6=S四边形CDP°>

一SPQR=S.CBF-SBPD—S四边形BPRF~S四边形==~SABC,

・•・-尸QR的面积是ABC的面积的I

7

故选D

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积问题，掌握“作出适

当的辅助线构建相似三角形”是解题的关键.

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.已知2x=3y,则(x+y):y的值为—

【7题答案】

【答案】-

2

3

【分析】由2x=3y,可得x=5%再代入(x+y)：y进行计算即可.

【详解】解：2x=3y,

3

x=2y,

...(x+y):y=(|y+),卜=寻卜=1.

5

故答案

2

【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟悉比例的基本性质是解题的关键.

8.如图，己知在梯形ABCD中，AD//MN//BC,MN分别交边AB、于点/、N,如果

AM:MB=2:3,AD=2，BC=7,那么MN的长.

【答案】4

【分析】过点A作A/〃。C,交MN于E,交BC于F,证明四边形AEN。，四边形AECD都是平行四边

形，求解3f=5,证明AMEsABF,利用相似三角形的性质求解ME=2,从而可得答案.

【详解】解：过点A作AfV/OC,交.MN于E,交8C于£

AF//DC,AD//MN//BC

：.四边形AEN。，四边形4尸8都是平行四边形,

:.AD=EN=FC=2,而BC=7,

:.BF=5,

ME//BF,

:.二AMES_ABF,

,MEAM

一而一而‘

：.AM:AB=2:5,

ME_2

~5~~5,

：.ME=2,

:.MN=ME+EN=4.

故答案为：4

【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建相似

三角形是解题的关键.

9.在二ABC中，若交于。，BE交AC于E，CF交84于尸，AD>BE、CF相交于一点,

BD△CE\AF

----=2,=3,贝nIl=

EAFBDC

【9题答案】

【答案】|

6

BDSA3。42=芸=¥，再结合比例

【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得标

q

°ACD、、CPD、BPDFD□pDC

器=4=泮=泮,同理可得：

的基本性质证明丁比=1也2，可得

〉APC〉PDC°ACDUCPD°APC

1=工3北=£也可得处.丝.丝=9^丝.口=1从而可得结论

EASAPHFBSBPCDCEAFBSAPCSAPBSBPC人而丁得川匕.

【详解】解：如图,

BD_SABQ_SBPDSA8P__$ABC

DC9-qqPDs

口LuACD°CPD°BPD'"°PDC

u八8P_uBPD

s-s

uAPCuPDC

•BD_SABD__°BPD_©ABP

DCS-s

ACDsuCPD°APC，

CE_SBPCA*_SAPC

同理可得：—"

EASmJFBSRpJ

.BDCEAF_SwSBPCSw_1

一••一1,

"~DC'~EA~FBqqq

°APCUAPB°BPC

BDcCE.

------=2，=3

EAFB

c°Ab

2x3x=

DC

*_A_F___1

"DC~6'

故答案为：—

6

【点睛】本题考查的是三角形的面积关系，比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行比例的变形是解题

的关键.

10.如图，ABC三边的中点分别为。，E,F.联结CD交AE于点G,交EF于点H,则

DG:GH:CH=.

【10题答案】

【答案】2：1：3

【分析】根据三角形中位线定理得到E/〃=证明△CHES^CDB,根据相似三角形的性质

2

得到C”=。”，证明△EGHS^AG。，根据相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：F分别为c&CA的中点，

...EF是aABC的中位线，

/.EF//AB,EF=-AB,

2

.♦.△CHEs^CDB,

.CHCEEHI

"布一而一访一5'

，CH=DH,

\'AD=DB,

.HE1

••一~~~~，

AD2

••,EF//AB,

:.△EGHsMAGD,

.HGEHI

"DG-AD-2)

：.DGtGH-CH=2：1：3,

故答案为：2：1：3.

【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系

是解题的关键.

11.已知0°＜。＜90°，且sin8+cose=m,则tan6+cot6=.

[11题答案】

【答案】一―

m-1

2[

【分析】根据题意利用同角的三角函数的基本关系，可得到sine-cos6=2」,再由

2

八八Si。。COS。1ar.-r_U.A7,

tan6+cot夕=-----+-----=-----------,即可求解.

cos0sin0sin。•cos0

【详解】解：：sin8+cosg=〃2,

(sinS+cos。)-=m2,即sin2^+cos2<9+2sin0-cos^=m2，

sin28+cos20-\,

・'l+2sine・cose=>，

2[

sin0cos6=------

2

八八sin。cos。112

tan6+cot6=------+------=--------------=­、——

cos。sin。sin/cos。mm2-1.

2

故答案为：一2---

m~-1

【点睛】本题主要考查了同角的三角函数的基本关系的应用，熟练掌握同角的三角函数的基本关系是解题

的关键.

12.已知点P是线段AB上的一点，且AP2=AB-PB，如果A3=2，那么AP=.

【12题答案】

【答案】V5-l##-l+V5

【分析】设AP=x,则PB=2-x,再利用AT?=ABPB，建立方程，解方程并检验即可得到答案.

【详解】解：设AP=x，点P是线段A3上的一点，A3=2，

:.PB=2-x,

AP2=ABPB'

.,.x2=2(2-x),

整理得：X2+2X-4=0,

；q=4-4xlx(-4)=20X),

：.x=-2土2下=7土区

2

x>0,

AP=x=V5—1.

故答案为：V5-1

【点睛】本题考查的是成比例的线段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解题

的关键.

13.如图，在边长为10的正方形ABC。中，内接有六个大小相同的正方形，点P,Q,M,N是落在大正

方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为.

【13题答案】

__,«136

【答案】—.

25

【分析】根据相似三角形判定与性质与正方形的性质找出相似三角形并根据相似比求解即可.

【详解】解：过。作于E,如下图所示,

在和△NEQ中，NMDN=NNEQ=90°,ZDMN^ZENQ,

：./\MDN^/\NEQ,

.DMDNMN1

''~NE~~EQ~~NQ~3'

1

；.DN=-xl0=2,

5

在△M£W和△PBQ中，

ZDMN=NBPQ

<MN=PQ,

NDNl=ZBQP

：./\MDN^/\PBQ(ASA),

：.DM=BP,DN=BQ=2,

：.NE=AD-DN-EA=AD-DN-BQ=10-2-2=6,

1,6

.•.DM=-x6=-

55

每个小正方形面积为DM2+DN2=(-)2+22=—,

525

136

故答案为:

25

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题的关键是

找出相似三角形并根据相似比求出小正方形的面积.

14.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全

等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线8。是它的相似对角

线，NABC=70。，8。平分/A8C,那么度

【14题答案】

【答案】145

【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在4ABD和ADBC中，已知NABD=NCBD,所以需

另一组对应角相等，若/A=/C,则4ABD与ADBC全等不符合题意，所以必定有NA=/BDC,再根据四

边形的内角和为360°列式求解.

【详解】解：根据题意画出示意图，已知NABD=NCBD,

△ABD与ADBC相似，但不全等，

/A=NBDC,ZADB=ZC.

XZA+ZABC+ZC+ZADC=360°,

2ZADB+2ZBDC+ZABC=360°,

AZADB+ZBDC=145°,

即/ADC=145°.

【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.

15.如图，的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin/AC8的值为

【15题答案】

【答案】叵

10

【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，再利用正弦函数的定义直

接求解即可.

【详解】解：如图：连接格点GP交BC与H,由正方形对角线互相垂直平分可知：ZGHC=90°,

GC=df+*=5GH=-GP=--Jl2+l2=—

222

所以GH2厢,

sinZACB=~GC~lf5~~W

故答案为：叵.

10

【点睛】本题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，解题的关键是根据图形构造直角三角形并利用勾股

定理求得GC、GH边的长，难度不大.

16.如图，在二ABC中，AB=2,AC=3,点。为边AC上一点，点P是线段的中点，如果

ZABD^ZACP,那么的长是.

36题答案】

【答案】3+也

【分析】作AO的中点E，连接PE,则尸E=1等量代换得N£PD=NACP,

2

PEED

又因为NPEZ）是公共角，所以』ED〜CEP,即二之二£上，进行计算即可得.

【详解】解：作4。的中点E,连接PE,

是BO的中点，

APE=-AB=l,PE//AB,

2

/.ZABD=ZEPD,

•；ZABD=ZACP,

：.ZEPD=ZACP,

,/NPE。是公共角，

:.PED；CEP,

.PEED

''~CE~~EP'

1\AD

3--AD1

2

3I

-AD--AD2=\

24

AD2-6AD-4=0,

解得：A£)=3-石或AO=3+6

"：AC=3,3+有>3

AD=3-y/5,

故答案为：3+75.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点.

17.如图，在中，ZABC=90°,AB=2,BC=4,点P在边8C上，联结AP,将/XABP

绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B'，联结88'，则tanNAaB'=

A

【17题答案】

【答案】3

【分析】如图，延长AB'交BC于E,过3'作B'O_LA6于。求解AC=2j?,AM=瓜由旋转的性

质可得：AP=AM=V5,ZPAB=ZCAE,AB=AB'=2,求解PB=>jAP2-AB2=1,证明

53

_ABPs一CBA,证明CE=AE,结合人炉=4斤+^炉，求解CE=A£=巳,BE=~,证明

22

^AB'D^.AEB,再利用相似三角形的性质求解AO=|,B'D=g,BD.从而可得答案.

【详解】解：如图，延长A3'交6c于瓦过8'作于。，

A

C

ZABC=90°,AB=2,BC=4,

AC=yjAB2+BC2=2区

〃是AC的中点，

AM=V5,

由旋转的性质可得：AP=AM=区NPAB=ZCAE,AB=AB'=2,

:.PB7Ap2-AB。=1,

—=2=—,ZABP=NABC=90°,

PBAB

:…ABPs.CBA,

：.NPAB=ZC,

ZC=NCAE,

：.CE=AE,

-AE2=AB2+BE2,

：.CE2=4+(4-CE)2,

:.CE=AE=-,

2

2

B'D1AB,ZABC=9O°,

B'DUBC,

AB'ADB'D

2ADB'D

22

AD=-,B'D^~,

55

BD=~,

5

6

tan^ABB'=——=2=3.

BD2

5

故答案为：3

【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建

相似三角形是解题的关键.

3

18.在梯形ABC。中，ABDC,ZB=90°,BC=6,CD=2,tanA=—.点£为BC上一点，过

4

点E作EF〃AD交边AB于点F.将，BEF沿直线EF翻折得到AGEF,当EG过点。时，BE的长

为.

【18题答案】

【答案】—

12

【分析】根据平行线的性质得到NA=NEFB,/GFE=NAMF,根据轴对称的性质得到/GFE=NBFE,

求得NA=/AMF,得到AF=FM,作DQ_LAB于点Q,求得/AQD=/DQB=90°,根据矩形的性质得

到CD=QB=2,QD=CB=6,求得AQ=10-2=8,根据勾股定理得到AD=J64+36=10,设EB=3x,

求得FB=4x,CE=6-3x,求得AF=MF=10-4x,GM=8x-10,根据相似三角形的性质得到GD=6x-"，

2

求得DE="-3x,根据勾股定理列方程即可得到结论.

2

【详解】如图，［EF〃AD,

AZA=ZEFB,NGFE=NAMF,

・・•AGFE与ABFE关于EF对称，

AAGFE^ABFE,

，NGFE=NBFE,

AZA=ZAMF,

•••△AMF是等腰三角形，

・・・AF=FM,

作DQJ_AB于点Q,

・・・NAQD=NDQB=90。.

・.・AB〃DC,

.•.ZCDQ=90°.

VZB=90°,

・・・四边形CDQB是矩形，

・・・CD=QB=2,QD=CB=6,

/.AQ=10-2=8,

在Rt^ADQ中，由勾股定理得

AD—J64+36=10，

3

VtanA=—,

4

BE3

/.tanZEFB=-----二一,

BF4

设EB=3x,

・・・FB=4x,CE=6-3x,

・・・AF=MF=10—4x,

/.GM=8x-10,

,.,NG=NB=NDQA=90°,NGMD=NA,

AADGM^ADQA,

DGGM

：'~DQ=^Q'

15

，GD=6x——，

2

15

，DE=——3x,

2

在RtZXCED中，由勾股定理得

(--3x)2-(6-3x)2=4,

2

解得：3x=—,

12

AV

.•.当EG过点D时BE=——.

12

故答案为：—

12

QB

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾

股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

2]

19.计算:V6cot60°-|l-2cos45°|+4sin30°-

tan600-2

39题答案】

【答案】4+6

【分析】先分别求解特殊角的三角函数值，再进行二次根式的乘法运算，化简绝对值，计算乘方，分母有理

化，再合并即可.

]

【详解】解:V6cot600-|l-2cos45。|+4sin230。-

tan600-2

>2?等1

=+1->/2+1+2

=4+

【点睛】本题考查的是特殊角的锐角三角函数值的混合运算，化简绝对值，分母有理化，掌握

“30•0,45?的三角函数值”是解题的关键.

20.如图，E是平行四边形A8CO的边加延长线上的一点，CE交AO于点F,交BD于点G,AE：

1：3，设区4=a，BC=b-

（1）用向量匕分别表示下列向量：

UUU

AE=，EC=，EG=

（2）在图中求作向量BG分别在a、b方向上的分向量.（不写作法，但要写出画图结果）

【20题答案】

14416,

【答案】（1）—a，b—Q，~b~-a?（2）见解析

33721

i._,4

【分析】(1)根据即可求出AE，根据EC=£B+BC即可求出EC，先证明EG=,EC,即可

UUU1

求出EG；

(2)如图，过点G作GM〃AB,GN//BC,根据平行四边形法则即可求得答案.

【详解】解：(1)：84=a，AE=；BA,

I

・・AE=­a，

4

•；EC=EB+BC，EB=--a^BC=b，

.4.

・・EC=b-§。，

,:CD〃EB,

：.EG：CG=EB：CD=4：3,

：.EG：EC=4：7,

uuui416

•#-EG=-b■-a，

,,八4工14416

故答3V案为：-a，b'—a—h~a；

(2)如图，过点G作GM〃A8交8c于M,GN〃8C交A8于N,则向量BN、5M是向量5G分别在

a，。方向上的分向量.

【点睛】本题考查/平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、向量的线性运算和平行四边形法则等

知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.

21.已知：如图在ABC中，A£>是边8C上的高，£为边AC的中点，BC=14,AD=12,

4

sin5=—.求：

5

(1)线段QC的长；

(2)tanZEDC的值.

[21题答案】

【答案】(1)5:(2)y

4

【分析】(1)利用直角三角形中sin8=w求解AB,再利用勾股定理求解6。，从而可得答案；

(2)先利用直角三角形斜边上的中线的性质证明£D=E4=EC,可得NEDC=NECD,再求解

tan?£Z)Ctan?ECO"=乜，从而可得答案.

CD5

4

【详解】解：(1)AD是边8c上的高，AD=12»sinB=—,

412

・..ZAT>B=ZADC=90°,sinB=-=——,

5AB

\AB=15,=\/152-122=9,

Q8C=14,

\CD=BC-30=14-9=5.

(2)E为边AC的中点，ZADC=90°

\ED=EA=EC,

：.NEDC=NECD,

\tan?EDCtan?ECD.

CD5

【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半，等腰三角形的性质，掌握“等角的三角函数值相等”是解题的关键.

22.已知：如图，在Rt/XABC中，ABAC=90°，。是线段AB上的点，DELBC,垂足为点E,联结

CD、AE交于点G,且C£>_LAE.

（1）求证：点。在NAC8的角平分线上.

（2）延长84与NAC8外角的平分线交于点尸，求证：丝+丝=2些.

ADAFAC

【22题答案】

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）如图，取CD的中点。，连接AQ,EQ,可得AQ=LCO=EQ,证明A,O,E,C在以。为圆

2

心，为半径的同一个圆上，再利用垂径定理可得结论；

（2）如图，延长BC至”，由（1）得：44。。=/七。,而。尸是乙4由的平分线，证明。CLCE

ARRFARRF

证明AE〃CF,可得——=——,AC=CE.AD=DE,可得——=—，再分别证明左边，右边都为

AFCEAFAC

1BE

1+--+—,从而可得结论.

sinBAC

【详解】证明：（1）如图，取CO的中点Q,连接AQ,EQ,

ABAC=90°，CD1AE.

AQ=^CD=EQ,

AA,D,E,C在以。为圆心，QA为半径的同一个圆上，

:.AD=DE,

,.ZACD=ZECD,

二点。在NACB角平分线上.

(2)如图，延长至4，

由(1)得：NACD=NECD,而。尸是NAC”的平分线,

DC1CF,而C£>_LAE,

AE//CF,

.ABBE

-AF"CE'

由（1）可得：ZACD=ZECD,而CD_LAE,结合对称性,

：.AC^CE,AD=DE,

AB_BE

AF-AC

AB___A_D__+_BD_II_、__B__DII_、__B_DII_、____1

AD~~AD--而一~DE~sinB

1BE

空=i+-------1------,

ADAFsinBAC

2BC=BC+BE+CE=BC+BE+l^+BE

ACACACACsinBAC

ABAB2BC

•----1-----..